Bonferroni-Ungleichung
Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.
Benennung nach Bonferroni
Die Bonferroni-Ungleichungen werden nicht unbedingt zu Recht nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.[1]
Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.[2]
Die erste der folgenden Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolesche Ungleichung bezeichnet; oft werden die Ungleichungen aber auch ohne Namensbezug genannt.
Erste Ungleichung
Im Folgenden seien beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum . Es bezeichne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und die Vereinigungsmenge der Ereignisse . Dann gilt:
- .
Es gilt auch allgemeiner:
Diese Ungleichungen werden auch Boolesche Ungleichungen genannt.
Beweis
Setzt man
dann sind die paarweise disjunkt und es gilt
Damit folgt
Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.[3]
Zweite Ungleichung
Im Folgenden seien wieder beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum . Ferner bezeichne das Komplement von . Dann folgt:
Dritte Ungleichung
Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch als bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):[4]
Beispiele
- Sei die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfeln. Offensichtlich gilt und . Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also ,
- Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also ,
- Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage, da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit größer oder gleich Null ist.
- Jedoch folgt für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln, also ,
Literatur
- János Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u. a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
- J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
- Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
- Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
- Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1.
Einzelnachweise
- ↑ Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129.
- ↑ J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
- ↑ Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7. S. 15.
- ↑ Rosen et al: Handbook ... S. 433.