Brückenzahl

Die Brückenzahl ist eine Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie.

Definition

Ein Knoten $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ besitzt eine Darstellung mit $b$ Brücken, wenn er sich so in $2b$ Intervalle zerlegen lässt, dass für eine geeignete Ebene $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ jeweils $b$ Intervalle in beiden von der Ebene berandeten Halbräumen liegen. (Äquivalent kann man auch verlangen, dass $b$ Intervalle in einer Ebene und die anderen $b$ Intervalle in einem der berandeten Halbräume liegen.)

Die Brückenzahl $br(K)$ eines Knotens $K$ ist die kleinste Zahl $b$, für die es eine Darstellung mit $b$ Brücken gibt.

Beispiele

Die Kleeblattschlinge hat Brückenzahl 2.

• Der Unknoten ist der einzige Knoten mit Brückenzahl $1$.
• Knoten mit Brückenzahl $2$ wurden 1956 von Horst Schubert klassifiziert, sie werden auch als rationale Knoten bezeichnet.
• Eine Klassifikation der 3-Brücken-Knoten ist bisher nicht gelungen.
• Die Brückenzahl des Torusknotens $T_{pq}$ ist $b(T_{pq})=\min(p,q)$.
• Die Brückenzahl eines n-strändigen Zopfes ist höchstens $n$.

Eigenschaften

• Für die Knotensumme $K_{1}\sharp K_{2}$ gilt die Gleichung

$br(K_{1}\sharp K_{2})=br(K_{1})+br(K_{2})-1$

• Linsenräume sind verzweigte Überlagerungen der $S^{3}$ mit einem 2-Brückenknoten als Verzweigungsmenge.
• Wenn eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht $2$ besitzt, dann ist sie eine verzweigte Überlagerung der $S^{3}$ mit einem 3-Brückenknoten als Verzweigungsmenge.

Literatur

• Gerhard Burde, Heiner Zieschang, Michael Heusener: Knots. (= De Gruyter Studies in Mathematics. 5). 3., vollst. überarb. und erw. Auflage. De Gruyter, Berlin 2014, ISBN 978-3-11-027074-7.
• Jennifer Schultens: Additivity of bridge numbers of knots. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 135, no. 3, 2003, S. 539–544.
• Jennifer Schultens: Bridge numbers of torus knots. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 143, no. 3, 2007, S. 621–625.