2-Brücken-Knoten

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In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind 2-Brücken-Knoten bzw. 2-Brücken-Verschlingungen (auch: Knoten bzw. Verschlingungen mit 2 Brücken) eine Klasse von Knoten bzw. Verschlingungen. Sie wurden unter dem Namen Viergeflechte 1956 von Horst Schubert klassifiziert. Weil sie durch eine rationale Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{p}{q}} klassifiziert werden können, werden sie häufig auch als rationale Knoten bzw. rationale Verschlingungen bezeichnet.

Definition

Ein 2-Brūckenknoten ist ein Knoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} , dessen Brückenzahl

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle br(K)=2}

ist. Das bedeutet, dass er sich so in Intervalle zerlegen lässt, dass für eine geeignete Ebene Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}} jeweils Intervalle in beiden von der Ebene berandeten Halbräumen liegen. (Äquivalent kann man auch verlangen, dass Intervalle in einer Ebene und die anderen beiden Intervalle in einem der berandeten Halbräume liegen.)

Analog definiert man eine Verschlingung mit 2 Brücken als eine Verschlingung mit Brückenzahl .

Eine äquivalente Definition besagt, dass der Knoten bzw. die Verschlingung nach einer geeigneten Isotopie genau 2 Maxima bzgl. einer Höhenfunktion hat.

Conway-Normalform

Schematische Darstellung einer 2-Brücken-Verschlingung

Aus der unten stehenden Klassifikation ergibt sich, dass man jede Verschlingung mit 2 Brücken wie im Bild rechts darstellen kann, wobei die Anzahl der Halbtwists in der jeweiligen Box bezeichnet und für gerade bzw. ungerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} positive links- bzw. rechtshändigen Halbtwists entsprechen.

Diese Darstellung wird als Conway-Normalform bezeichnet.

Man kann stets erreichen, dass alle dasselbe Vorzeichen haben.[1] Insbesondere gibt die Conway-Normalform dann ein alternierendes Knotendiagramm.[2]

Klassifikation

Die über einer 2-Brücken-Verschlingung verzweigte 2-fache Überlagerung der 3-Sphäre ist ein Linsenraum . Die 2-Brücken-Verschlingungen werden durch diese Linsenräume klassifiziert. Man bezeichnet deshalb mit diejenige Verschlingung, für die man den Linsenraum erhält.

Insbesondere entsprechen zwei rationale Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{p_1}{q_1}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{p_2}{q_2}} genau dann isotopen Verschlingungen, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1=p_2} und entweder oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_1q_2\equiv 1 \mod p} ist.

Modulo dieser Identitäten werden 2-Brücken-Verschlingungen also durch eine rationale Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{p}{q}} klassifiziert, wobei man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p>0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -p<q<p} annehmen kann.[3]

In der oben beschriebenen Conway-Normalform entspricht dem Kettenbruch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots\right]} :

(Die Kettenbruchdarstellung einer rationalen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{p}{q}} ist nicht eindeutig, aber alle Kettenbruchzerlegungen ergeben denselben Knoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(p,q)} .)

Das Spiegelbild eines 2-Brücken-Knotens ist . Einen orientierungsumdrehenden Homöomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (S^3,K(p_1,q_1))\to (S^3,K(p_2,q_2))} zwischen zwei unterschiedlichen 2-Brücken-Knoten gibt es genau dann, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1=p_2} und entweder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_1\equiv -q_2 \mod p} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_1q_2\equiv -1 \mod p} ist.

Insbesondere ist ein 2-Brücken-Knoten genau dann amphichiral, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q^2\equiv -1\ mod\ p} ist.

Für 2-Brücken-Verschlingungen (mit 2 Komponenten) gibt es einen orientierungserhaltenden Homöomorphismus genau dann, wenn

und entweder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_1\equiv q_2 \mod 2p} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_1q_2\equiv 1 \mod 2p} ist.[4]

Beispiele

Die einzigen Torusknoten unter den 2-Brücken-Knoten sind die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\pm 2,n)} -Torusknoten.[5]

Alle 2-Brücken-Knoten, die keine Torusknoten sind, sind hyperbolische Knoten.

Die Kleeblattschlinge ist der 2-Brücken-Knoten mit Conway-Normalform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[3\right]} , der Achterknoten ist der 2-Brücken-Knoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(5,2)} mit Conway-Normalform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[2,2\right]} .

KnotInfo gibt eine Liste aller 2-Brücken-Knoten mit bis zu 12 Kreuzungen und berechnet die bekannten Knoteninvarianten.[6]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(p,q)} ist genau dann ein Knoten, wenn ungerade ist. Wenn gerade ist, dann besteht die 2-Brücken-Verschlingung aus zwei Komponenten.

Eigenschaften und Invarianten

Die Knotengruppe der 2-Brücken-Verschlingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(p,q)} hat die Präsentierung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle a,b\mid ab^{\epsilon_1}a^{\epsilon_2}\ldots b^{\epsilon_{\alpha_1}}a^{-1}b^{-\epsilon_{\alpha_1}}\ldots a^{-\epsilon_2}b^{-\epsilon_1}\rangle}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon_k:=\left(-1\right)^{\left[\frac{k p}{q}\right]}} .

Die inkompressiblen Flächen in den Komplementen von 2-Brückenknoten wurden von Hatcher und Thurston klassifiziert.[7] Insbesondere bewiesen sie, dass es keine geschlossenen inkompressiblen Flächen gibt. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(p,q)} kein Torusknoten ist, dann gibt jede Dehn-Chirurgie eine irreduzible 3-Mannigfaltigkeit und fast alle Dehn-Chirurgien geben Mannigfaltigkeiten, die keine Haken-Mannigfaltigkeit und auch keine Seifert-Faserung sind.

Bereits Schubert bewies, dass die 2-fachen verzweigten Überlagerungen Linsenräume sind. Die Klassifikation aller endlichen verzweigten Überlagerungen wurde von Minkus erarbeitet.[8]

Die Komplemente hyperbolischer 2-Brückenknoten (mit Ausnahme des Achterknotens) sind zu keinen anderen Knotenkomplementen außer sich selbst kommensurabel.[9]

Es gibt Formeln für die Berechnung des HOMFLY-Polynoms und insbesondere des Jones-Polynoms von 2-Brücken-Knoten.[10]

Siehe auch

Literatur

  • Horst Schubert: Knoten mit zwei Brücken, Mathematische Zeitschrift 65, 133–170 (1956). doi:10.1007/BF01473875
  • John Conway: An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967) 329–358, Pergamon, Oxford (1970). PDF
  • Laurent Siebenmann: Exercices sur les noeuds rationnels, Université Paris-Sud (1975).
  • Louis H. Kauffman, Sofia Lambropoulou: On the classification of rational knots, L' Enseignement Mathématique, 49, 357–410 (2003). ArXiv
  • C. C. Adams, Das Knotenbuch. Einführung in die mathematische Theorie der Knoten, Spektrum Akademischer Verlag (1995) ISBN 3860253387

Weblinks

Tabelle rationaler Knoten mit bis zu 16 Kreuzungen

Einzelnachweise

  1. ↑ Exercise 9.2.6 in: Kunio Murasugi: Knot theory & its applications. Translated from the 1993 Japanese original by Bohdan Kurpita. Reprint of the 1996 translation, Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2008. ISBN 978-0-8176-4718-6
  2. ↑ Carl Bankwitz, Hans Georg Schumann: Über Viergeflechte. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 10 (1934), no. 1, 263–284.
  3. ↑ Murasugi, op.cit., S. 189.
  4. ↑ Schubert, op. cit.
  5. ↑ Jennifer Schultens: Bridge numbers of torus knots. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 143 (2007), no. 3, 621–625. (Der Satz geht ursprünglich auf Horst Schubert zurück.)
  6. ↑ KnotInfo:
  7. ↑ Allen Hatcher, William Thurston: Incompressible surfaces in 2-bridge knot complements. Invent. Math. 79 (1985), no. 2, 225–246.
  8. ↑ Jerome Minkus: The branched cyclic coverings of 2 bridge knots and links. Mem. Amer. Math. Soc. 35 (1982), no. 255
  9. ↑ Alan Reid, Genevieve Walsh: Commensurability classes of 2-bridge knot complements. Algebr. Geom. Topol. 8 (2008), no. 2, 1031–1057.
  10. ↑ Shigekazu Nakabo: Formulas on the HOMFLY and Jones polynomials of 2-bridge knots and links. Kobe J. Math. 17 (2000), no. 2, 131–144.
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