HOMFLY-Polynom

Das HOMFLY-Polynom, auch HOMFLY-PT-Polynom, ist in der Knotentheorie eine Verallgemeinerung von Alexander-Polynom und Jones-Polynom, die jedem Knoten ein Polynom in den Variablen $m$ und $l$ zuordnet. Auch ist es ein Beispiel einer Quanteninvariante.

Der Name setzt sich aus den Initialen der Mitentdecker zusammen: Jim Hoste, Adrian Ocneanu, Kenneth Millett, Peter Freyd, W. B. R. Lickorish, David N. Yetter, Józef H. Przytycki, Paweł Traczyk.

Definition

Das Polynom wird wie folgt definiert:

$P(\mathrm {unknot} )=1,\,$

$\ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,$

wobei $L_{+},L_{-},L_{0}$ Verbindungen sind, die durch Überkreuzen und Glätten gebildet werden.

Das HOMFLY-Polynom einer Verschlingung $L$, die die disjunkte Vereinigung zweier Verschlingungen $L_{1}$ und $L_{2}$ ist, ergibt

$P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).$

Eigenschaften

Es gilt

$P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,$,

wobei $\#$ die verbundene Summe bezeichnet; daher ist das HOMFLY-Polynom eines zusammengesetzten Knotens das Produkt der HOMFLY-Polynome seiner Komponenten.

Außerdem ist

$P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,$,

also kann das HOMFLY-Polynom oft genutzt werden, um zwischen zwei Knoten unterschiedlicher Chiralität zu unterscheiden, obwohl es chirale Paare von Knoten gibt, die dasselbe HOMFLY-Polynom haben, z. B. 9₄₂ und 10₇₁.

Das Jones-Polynom $V(t)$ und das Alexander-Polynom $\Delta (t)\,$ können aus dem HOMFLY-Polynom wie folgt berechnet werden:

$V(t)=P(l=t^{-1},m=t^{-1/2}-t^{1/2}),\,$

$\Delta (t)=P(l=1,m=t^{-1/2}-t^{1/2}).\,$

Allgemeiner lässt sich die ${{\mathfrak {s}}l}_{N}$-Quanteninvariante aus dem Homfly-Polynom berechnen.

Literatur

• Louis H. Kauffman: Formal knot theory, 1983

Weblinks

• Gukov, Saberi: Lectures on knot homology and quantum curves