Burkholder-Ungleichung

Die Burkholder-Ungleichung (auch Burkholder-Davis-Gundy-Ungleichung) ist eine Ungleichung aus der Stochastik. Sie stellt den Zusammenhang zwischen der Größenordnung eines Martingals und seiner quadratischen Variation her. Benannt wurde sie nach Donald Burkholder, der emeritierter Professor an der University of Illinois war.

Formulierung

Es sei $M$ ein stetiges lokales Martingal mit $M_{0}=0\;$, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),P)\$. Dann existieren zu jedem $p>0\;$ Konstanten $c_{p},C_{p}\;$, so dass für jedes $t>0\;$

$c_{p}E[\langle M,M\rangle _{t}^{\frac {p}{2}}]\leq E[\sup _{s\leq t}|M_{s}|^{p}]\leq C_{p}E[\langle M,M\rangle _{t}^{\frac {p}{2}}]$

gilt. Dabei bezeichnet $\langle M,M\rangle _{t}\;$ die quadratische Variation von $M$.

Verwendung

Die Burkholder-Ungleichung ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Herleitung von Grenzwertsätzen für stochastische Prozesse.

Literatur

• D. L. Burkholder: Martingale transforms. In: Annals of Mathematical Statistics. Band 37, Nr. 6, 1966, S. 1494–1504, doi:10.1214/aoms/1177699141 JSTOR 2238766.
• M. Beiglböck, J. Sieorpaes: Pathwise versions of the Burkholder–Davis–Gundy inequality. In: Bernoulli. Band 21, Nr. 1, 2015, S. 360–373, doi:10.3150/13-BEJ570