Cantorsche Normalform

Die cantorsche Normalform wird im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre behandelt, sie verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem bzgl. einer festen Basis auf Ordinalzahlen.

Cantorsche Normalform zur Basis β

Es sei $\beta >1$ eine Ordinalzahl. Dann gibt es zu jeder Ordinalzahl $\alpha >0$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $n$ und eindeutig bestimmte Ordinalzahlen $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}$ und $\tau _{1},\ldots ,\tau _{n}$ , so dass

\alpha =\beta ^{\sigma _{1}}\cdot \tau _{1}+\ldots +\beta ^{\sigma _{n}}\cdot \tau _{n}

und

\sigma _{1}>\ldots >\sigma _{n}

und

1\leq \tau _{i}<\beta

für

i=1,\ldots ,n

.^[1]^[2]

Zum Beweis

Der Beweis wird mittels transfiniter Induktion geführt. Mittels einfacher Lemmata über Ordinalzahlenarithmetik verschafft man sich die kleinste Ordinalzahl $\sigma _{1}$ mit $\beta ^{\sigma _{1}+1}>\alpha$ . Dann gibt es Ordinalzahlen $1\leq \tau _{1}<\beta$ und $\gamma <\alpha$ mit $\alpha =\beta ^{\sigma _{1}}\cdot \tau _{1}+\gamma$ . Schließlich ist $\gamma =0$ oder man kann auf $\gamma$ die Induktionsvoraussetzung anwenden, was ebenfalls den Beweis beendet.

Bemerkungen

Stellung der Koeffizienten

In obiger Darstellung der Ordinalzahl $\alpha$ bzgl. der Basis $\beta$ stehen die Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_i} rechts von den Potenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta^{\sigma_i}} . Das weicht von der üblichen Schreibweise beim Stellenwertsystem in der Zahlentheorie ab, dort schreibt man die Koeffizienten gerne vor die Potenzen. Das ist dort kein Problem, da die Multiplikation in den natürlichen Zahlen kommutativ ist, was aber für die Ordinalzahlenmultiplikation nicht der Fall ist. So ist zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\cdot \omega = \omega \not= \omega + \omega = \omega\cdot 2} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} die kleinste unendliche Ordinalzahl sei. Obiger Satz wird sogar falsch, wenn man die Koeffizienten vor die Potenzen setzt.

Basis ω

Ist speziell Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = \omega} , so nimmt obiger Satz folgende Form an:

Zu jeder Ordinalzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha > 0} gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n,k_1,\ldots, k_n} und Ordinalzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_1 > \ldots > \sigma_n} , so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \omega^{\sigma_1}\cdot k_1 + \ldots + \omega^{\sigma_n}\cdot k_n} .^[3]^[4]

Dazu beachte man, dass Ordinalzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_i<\omega} natürliche Zahlen sein müssen, die in dieser Formulierung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_i} bezeichnet sind. Diesen Satz nennt man auch den cantorschen Normalformsatz. Er wurde erstmals 1897 von Cantor für gewisse Ordinalzahlen bewiesen,^[5] der Beweis ließ sich aber auf beliebige Ordinalzahlen erweitern.

Basis 10

Verwendet man die Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = 10} , so erhält man für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha < \omega} , also für natürliche Zahlen, genau die übliche Dezimaldarstellung im Stellenwertsystem zur Basis 10. Darüber hinaus liefert der Satz aber auch Darstellungen für größere Ordinalzahlen, zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega = 10^\omega} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega+\omega + 37 = 10^\omega\cdot 2 + 10^1\cdot 3 + 10^0\cdot 7} .

Anwendungen

Die Darstellungen von Ordinalzahlen zur Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} werden zur Definition der sogenannten hessenbergschen natürlichen Operationen verwendet.

Des Weiteren ermöglichen sie einen Beweis des Satzes von Goodstein.

Einzelnachweise

↑ Edmund Weitz, Karsten Steffens, Michael Holz: Introduction to Cardinal Arithmetic, Springer Basel AG (2009), ISBN 3-0346-0327-4, Theorem 1.4.6
↑ Thomas Forster: Logic, Induction and Sets: Cambridge University Press (2003), ISBN 0-521-53361-9, Kapitel 7.1.2: Cantor's normal form theorem
↑ Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2, Theorem 2.26
↑ Joseph G. Rosenstein: Linear orderings, Academic Press (1982), ISBN 0-1259-7680-1, Theorem 3.46
↑ G. Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen (1897), Band 49, Seiten 207-246, §19: Die Normalform der Zahlen der zweiten Zahlenklasse

[1] Edmund Weitz, Karsten Steffens, Michael Holz: Introduction to Cardinal Arithmetic, Springer Basel AG (2009), ISBN 3-0346-0327-4, Theorem 1.4.6

[2] Thomas Forster: Logic, Induction and Sets: Cambridge University Press (2003), ISBN 0-521-53361-9, Kapitel 7.1.2: Cantor's normal form theorem

[3] Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2, Theorem 2.26

[4] Joseph G. Rosenstein: Linear orderings, Academic Press (1982), ISBN 0-1259-7680-1, Theorem 3.46

[5] G. Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen (1897), Band 49, Seiten 207-246, §19: Die Normalform der Zahlen der zweiten Zahlenklasse

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