Cartan-Projektion

In der Mathematik ist die Cartan-Projektion ein Hilfsmittel in der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Definition

Es sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ eine Cartan-Unteralgebra. Zu einem Wurzelsystem $\Sigma$ sei ${\mathfrak {a}}^{+}\subset {\mathfrak {a}}$ die positive Weyl-Kammer und $A^{+}=\exp({\mathfrak {a}}^{+})$.

Dann gibt es eine eindeutige maximal kompakte Untergruppe $K\subset G$ mit

$G=KA^{+}K$

und eine eindeutige Abbildung

$\mu \colon G\to A^{+}$,

so dass sich jedes $g\in G$ auf eindeutige Weise als $g=k_{1}\mu (g)k_{2}$ mit (von $g$ abhängenden) $k_{1},k_{2}\in K$ zerlegen lässt.

Die Abbildung $\mu \colon G\to A^{+}$ heißt Cartan-Projektion. Es gilt $\mu (g)=KgK\cap A^{+}$.

Beispiel

Es sei

$G=SL(n,\mathbb {R} ),K=SO(n),A^{+}=\left\{\operatorname {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\in G:\sigma _{1}\geq \ldots \geq \sigma _{n}>0\right\}$.

Dann ist die Cartan-Projektion gegeben durch

$\mu (g)=\operatorname {diag} (\sigma _{1}(g),\ldots ,\sigma _{n}(g))$,

wobei $\sigma _{i}(g)^{2}$ der $i$-te Eigenwert von $g^{t}g$ ist.

Jordan-Projektion

Eine andere stetige Projektion $\lambda \colon G\to {\overline {\mathfrak {a}}}^{+}$ kann man durch die Jordan-Zerlegung definieren, sie hängt mit der Cartan-Projektion über

$\lambda (g)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\exp ^{-1}(\mu (g^{n}))}{n}}$

zusammen. Im Fall $G=SL(n,\mathbb {R} )$ erhält man die Abbildung

$\lambda (g)=(\log \mid \lambda _{1}(g)\mid ,\log \mid \lambda _{2}(g)\mid ,\ldots ,\log \mid \lambda _{n}(g)\mid )$,

wobei $\lambda _{1}(g),\ldots ,\lambda _{n}(g)$ die Eigenwerte (evtl. mit Wiederholungen) in aufsteigender Reihenfolge sind.

Literatur

• Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7 (Kapitel 9)
• Benoist, Yves: Actions propres sur les espaces homogènes réductifs. (Kapitel 3) pdf

Weblinks

• Witte Morris, David: Cartan-decomposition subgroups