Cauchyscher Grenzwertsatz

Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Cesàro–Stolz und besagt: Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesàro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert. Oder: aus  $a_{n}\to a$  folgt  $(a_{1}+\cdots +a_{n})/n\ \to a$ .

Verwandte Resultate und Erweiterungen

Betrachtet man statt des gewöhnlichen arithmetischen Mittels ein gewichtetes Mittel, so folgt aus der Konvergenz der ursprünglichen Folge auch die Konvergenz der gewichteten Mittel, das heißt, es gilt der folgende Satz:

Sei $(a_{n})$ eine beliebige Folge mit $a_{n}\rightarrow a$ und $(p_{n})$ eine Folge positiver Zahlen mit ${\frac {1}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}\rightarrow 0$, dann gilt auch: ${\frac {p_{1}a_{1}+\ldots +p_{n}a_{n}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}\rightarrow a$ .

Für das geometrische Mittel gilt ebenfalls ein analoger Satz:

Sei $(a_{n})$ eine Folge mit $a_{n}\rightarrow a$, dann gilt auch:   ${\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\ \rightarrow a$ .

Beweis des Cauchyschen Grenzwertsatzes

Sei $\varepsilon >0$ beliebig und $N\in \mathbb {N}$ so gewählt, dass  $|a_{k}-a|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$  für alle $k\geq N$ gilt.
Wegen  $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)=0$  gibt es ein  $M\in \mathbb {N}$  mit   $\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}$   für  $n\geq M$ .

Für alle $n\geq \max(N,M)$ folgt dann

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{n}}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)-a\right|&=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a)\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}(a_{k}-a)\right|\\&\leq \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {(n-N)\varepsilon }{2n}}\leq \varepsilon .\end{aligned}}$

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 177

Weblinks

• Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf PlanetMath (engl.)
• Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf SOS Math (engl.)