Chaitinsche Konstante

Die chaitinsche Konstante gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine universelle Turingmaschine für eine beliebige Eingabe anhält.

$\Omega$ ist ein Beispiel für eine nicht berechenbare Zahl. Sie ist nach Gregory Chaitin definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega=\sum_{p\ \mathrm{h\ddot a lt}}2^{-\left|p\right|}}

wobei die Summe über alle haltenden Programme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} gemeint ist (alle Programme, die ohne Eingabe nach endlicher Laufzeit halten) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |p|} die Länge des Programms in Bit bezeichnet. Das bedeutet also, dass jedes haltende Programm der Länge m Bit das m-te Bit der Binärdarstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} um 1 erhöht.

Bemerkung: Da es gewisse Freiheiten gibt, universelle Turingmaschinen zu definieren, hängt der genaue Wert der Konstante von der gewählten Maschinendefinition ab.

Durch Kenntnis der ersten n Bit der Konstante lässt sich das Halteproblem für bis zu n Bit lange Programme entscheiden, sodass sich durch genaue Kenntnis der ersten paar tausend Bit der Konstante viele interessante Probleme der Mathematik lösen ließen.

Da das Halteproblem aber nicht lösbar ist, kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} nicht berechenbar sein und ist also eine transzendente reelle Zahl.

Eine Forschergruppe um Cristian Calude von der Universität Auckland bestimmte im Jahr 2002 durch Überprüfen aller Turingprogramme von bis zu 80 Bit Länge die ersten 64 Bit der Zahl.

Literatur

• Cristian S. Calude: Information and Randomness - An Algorithmic Perspective. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-43466-6. 
• Gregory Chaitin: A theory of program size formally identical to information theory. (PDF; 249 kB; April/Dezember 1974) In: Journal of the ACM, 22, Juli 1975, S. 329–340 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Chaitinsche Konstante. In: MathWorld (englisch).
• Cristian S. Calude’s Website. (die ersten 64 Bit einer chaitinschen Konstante)
• Jörg Resag: Die Grenzen der Berechenbarkeit. joerg-resag.de, 2008, Kapitel 3.4
• Die seltsamste Zahl: Chaitins Omega – Erklärvideo von Edmund Weitz auf YouTube