Chua-Schaltkreis

Der Chua-Schaltkreis (englisch Chua’s Circuit) ist eine elektronische Schaltung, die erstmals 1983 von Leon. O Chua beschrieben und 1984 veröffentlicht wurde. Die Schaltung weist chaotisches Verhalten auf und eignet sich als Demonstrationsobjekt für Effekte der Chaostheorie und nichtlineare Dynamik.

Elektronischer Aufbau

Schaltskizze des Chua-Schaltkreises.

Die nebenstehende Schaltskizze zeigt einen Chua-Schaltkreis. Der Operationsverstärker OPA zusammen mit den beiden 290-Ohm-Widerständen und R1 bildet einen negativen Widerstand mit dem Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -R_1.} Zusammen mit dem linken Schaltungsteil bildet sich eine oszillierende Schaltung. Soweit die variierende Spannung die Flussspannung der Dioden D1, D2 überschreitet (in positiver wie in negativer Richtung), steigt der differentielle Leitwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d I/\mathrm d U} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/R_2 - 1/R_1.}

Die das System beschreibende Differentialgleichung wird somit nichtlinear und die Dynamik des Systems weist die typischen Effekte chaotischer Systeme, wie Bifurkation und einen seltsamen Attraktor auf. Das Verhalten des vorliegenden Systems wird zumeist in Abhängigkeit vom Wert des Kopplungswiderstands $R$ beschrieben.

Theoretische Beschreibung

Phasenraum des dynamischen Systems eines Chua-Schaltkreises mit einer Trajektorie.

Der Schaltkreis lässt sich mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln beschreiben. Dazu wählt man beispielsweise die Spannungen an den beiden Kondensatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{C_1}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{C_2}} sowie den Spulenstrom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{L_1}} als dynamische Variablen, die den Phasenraum aufspannen. Das Verhalten des nichtlinearen Widerstandes lässt sich mit einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(U_{C_1})} modellieren, die dessen Strom-Spannungs-Kennlinie wiedergibt. Man beachte hierbei, dass am nicht-linearen Widerstand die gleiche Spannung wie am Kondensator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_1} anliegt.

Durch Anwenden der Knotenregel auf die Knoten über den beiden Kondensatoren erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_1\frac{\mathrm d U_{C_1}}{\mathrm dt}-\frac{U_{C_2}-U_{C_1}}{R}+g(U_{C_1})=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_2\frac{\mathrm d U_{C_2}}{\mathrm dt}-\frac{U_{C_1}-U_{C_2}}{R}-I_{L_1}=0 }

Aus der Maschenregel erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_1 \frac{\mathrm dI_{L_1}}{\mathrm dt}+U_{C_2}=0}

Dieses Differentialgleichungssystem charakterisiert die gesamte Dynamik des Systems. Die Lösung dessen ist eine Trajektorie im Phasenraum, die bei gegebenen Anfangsbedingungen die zeitliche Evolution des Systems beschreibt, wobei zu jedem Zeitpunkt der Zustand des Systems durch einen Punkt im Phasenraum gegeben ist. Da die Lösungstrakjektorie eindeutig ist, ist das Verhalten von Chuas Schaltkreis streng deterministisch.

Weblinks

• chuacircuits.com Schaltpläne, Gleichungen, interaktive Simulationen und Bilder
• Chua's circuit
• NOEL -- Berkeley