Nichtlineare Dynamik

Nichtlineare Dynamik bezeichnet einen Zweig der Theorie dynamischer Systeme, wo die auftretenden Differentialgleichungen (oder Differenzengleichungen) nichtlineare Funktionen enthalten. Diese nichtlinearen Gleichungen zeigen unter bestimmten Umständen interessante Merkmale und Lösungen, beispielsweise Flächen im Phasenraum als Attraktoren, Selbstähnlichkeit und fraktale Strukturen.

Wichtige Anwendungen der Nichtlinearen Dynamik finden sich beispielsweise in der Mechanik und der Astrophysik.

Beispiel

Ein Beispiel für eine nichtlineare Differentialgleichung ist die folgende, das Verhalten einer Schaukel beschreibende Bewegungsgleichung:

${\ddot {\varphi }}+2{\frac {\dot {L}}{L}}{\dot {\varphi }}+{\frac {g}{L}}\sin {\varphi }=0$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(t) = L_0 - \Delta L_0\cos(\Omega t).}

Da die Sinus-Funktion auf die nullte Ableitung angewandt wird, handelt es sich um ein nichtlineares System. Im konkreten Fall begrenzt die Sinus-Funktion die Instabilität der auftretenden parametererregten Schwingung, da das System bei größeren Amplituden in stabile Bereiche verstimmt wird. Der nichtlineare Anteil ist die Ursache dafür, dass die Eigenfrequenz von der Schwingungsamplitude abhängt.

Literatur

• Demtröder: Experimentalphysik 1, 5. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 978-3540792949, Kapitel 12