David-Hartley-Pearson-Test
Der David-Hartley-Pearson-Test wurde 1954 von den Statistikern H.A. David, H.O. Hartley und E.S. Pearson entwickelt.[1] Er stellt ein statistisches Verfahren zur Identifikation von Ausreißern dar und überprüft konkret, ob es wahrscheinlich ist, dass ein beobachteter Extremwert (der kleinste oder der größte) zu einer normalverteilten Grundgesamtheit gehört oder dass es sich um einen Ausreißer handelt.
Voraussetzungen
Um Aussagen über einen extremen Beobachtungswert treffen zu können, setzt der David-Hartley-Pearson-Test die Normalverteilung der zugrundeliegenden Grundgesamtheit voraus, es handelt sich also um einen parametrischen Test.
Hypothese
Folgende Nullhypothesen werden beim David-Hartley-Pearson-Test aufgestellt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_{0}(1) \colon \!\ x_{(1)}} ist kein Ausreißer vs. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_{1}(1) \colon \!\ x_{(1)}} ist ein Ausreißer
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_{0}(n) \colon \!\ x_{(n)}} ist kein Ausreißer vs. Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle H_{1}(n)\colon \!\ x_{(n)}} ist ein Ausreißer
Hierbei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{(1)}} die kleinste und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{(n)}} die größte Beobachtung der Stichprobe.
Teststatistik
Für die Überprüfung der Hypothesen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_{0}(1)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_{0}(n)} wird folgende Teststatistik verwendet:
- ,
also die Spannweite der Stichprobe dividiert durch ihre Standardabweichung.
Hierbei wird die Nullhypothese unter dem Signifikanzniveau verworfen, wenn gilt:
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Q_{n;1-\alpha }<T}
Hierbei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;1-\alpha}} den kritischen Wert.
Wird die Nullhypothese verworfen, so wird der Extremwert, der den größten Abstand vom Mittelwert hat, als Ausreißer identifiziert. Liegen kleinster und größter Wert im selben Abstand zum Mittelwert, so gelten beide als Ausreißer.[2]
Kritische Werte
Umfangreiche Tabellen mit kritischen Werten für den David-Hartley-Pearson-Test finden sich bei David u. a. (1954).[1] Eine Auswahl dieser wird in folgender Tabelle dargestellt:[2]
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,90}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,95}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,975}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,99}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,995}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,90}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,95}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,975}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_{n;0,995}} | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 1,997 | 1,999 | 2,000 | 2,000 | 2,000 | 17 | 4,15 | 4,31 | 4,44 | 4,59 | 4,69 |
| 4 | 2,409 | 2,429 | 2,439 | 2,445 | 2,447 | 18 | 4,21 | 4,38 | 4,51 | 4,66 | 4,77 |
| 5 | 2,712 | 2,753 | 2,782 | 2,803 | 2,813 | 19 | 4,27 | 4,43 | 4,57 | 4,73 | 4,84 |
| 6 | 2,949 | 3,012 | 3,056 | 3,095 | 3,115 | 20 | 4,32 | 4,49 | 4,63 | 4,79 | 4,91 |
| 7 | 3,143 | 3,222 | 3,282 | 3,338 | 3,369 | 30 | 4,70 | 4,89 | 5,06 | 5,25 | 5,39 |
| 8 | 3,308 | 3,399 | 3,471 | 3,543 | 3,585 | 40 | 4,96 | 5,15 | 5,34 | 5,54 | 5,69 |
| 9 | 3,449 | 3,552 | 3,634 | 3,720 | 3,772 | 50 | 5,15 | 5,35 | 5,54 | 5,77 | 5,91 |
| 10 | 3,57 | 3,69 | 3,78 | 3,88 | 3,94 | 60 | 5,29 | 5,50 | 5,70 | 5,93 | 6,09 |
| 11 | 3,68 | 3,80 | 3,91 | 4,02 | 4,08 | 80 | 5,51 | 5,73 | 5,93 | 6,18 | 6,35 |
| 12 | 3,78 | 3,91 | 4,01 | 4,14 | 4,21 | 100 | 5,68 | 5,90 | 6,11 | 6,36 | 6,54 |
| 13 | 3,87 | 4,00 | 4,11 | 4,25 | 4,33 | 150 | 5,96 | 6,18 | 6,39 | 6,64 | 6,84 |
| 14 | 3,95 | 4,09 | 4,21 | 4,34 | 4,44 | 200 | 6,15 | 6,38 | 6,59 | 6,85 | 7,03 |
| 15 | 4,02 | 4,17 | 4,29 | 4,43 | 4,53 | 500 | 6,72 | 6,94 | 7,15 | 7,42 | 7,60 |
| 16 | 4,09 | 4,24 | 4,37 | 4,51 | 4,62 | 1000 | 7,11 | 7,33 | 7,54 | 7,80 | 7,99 |
Beispiel
Zur Veranschaulichung wird von folgender beobachteter Messreihe (bereits sortiert) ausgegangen:[2]
| Bezeichnung der Messung | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_4} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_6} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_7} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_8} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_9} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{10}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{11}} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{12}} | |
| Messwert (Geschwindigkeit in m/s) | 36 | 37 | 39 | 39 | 40 | 40 | 41 | 41 | 41 | 42 | 44 | 46 |
Aus diesen Daten ergibt sich für die Teststatistik:
- und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = \sqrt{\frac {1} {11} \sum_{i=1}^n (x_{i} - \overline x)^2 } = 2{,}74} ,
sodass
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = \frac {R} {s} = \frac {10} {2{,}74} = 3{,}65 < 4{,}14 = Q_{12;0{,}99}}
Damit lässt sich die Nullhypothese nicht verwerfen und weder der größte noch der kleinste Wert werden als Ausreißer identifiziert (auf dem Signifikanzniveau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 0{,}01} ).
Einzelnachweise
- ↑ a b H. A. David, H. O. Hartley, E. S. Pearson: The distribution of the ratio, in a single, normal sample, of range to standard deviation. In: Biometrika. Nr. 41, 1954, S. 482–493, doi:10.1093/biomet/41.3-4.482, JSTOR 2332728.
- ↑ a b c J. Hartung: Statistik – Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. 13. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/ Wien 2002.
