De-Méré-Paradoxon

Das De Méré-Paradoxon ist ein mathematisches Paradoxon der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus dem 17. Jahrhundert, welches nach Chevalier de Méré benannt wurde.

Geschichte des Paradoxons von de Méré

Als der damals bekannte französische Glücksspieler Chevalier de Méré den seinerzeit sehr geschätzten Wissenschaftler und Mathematiker Blaise Pascal traf, stellte er ihm eine Frage bezüglich des Glücksspiels. Als ihm Pascal seine Antwort präsentierte, war dieser nicht sonderlich überrascht, weil er bereits die Antwort kannte. Pascal hat zwar das Problem gelöst, aber den scheinbaren Widerspruch nicht.

Das Paradoxon

Wirft man einmal einen sechsseitigen Spielwürfel (der, wenn er perfekt ist, ein Laplace-Würfel ist), ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 zu würfeln, ein Sechstel.

Wirft man einmal zwei solche Laplace-Würfel, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Doppelsechs zu würfeln, im Vergleich zur vorher genannten Wahrscheinlichkeit sechsmal geringer, sie beträgt nämlich 1/36.

Wirft man den einen Laplace-Würfel 4-mal, so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine 6 zu würfeln, knapp über 50 %.

Wirft man die zwei Laplace-Würfel 24-mal, so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Doppelsechs zu würfeln, aber knapp unter 50 %.

Das Paradoxon ist, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim letzten Experiment genau ein Sechstel der Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim vorletzten Experiment ist, die Anzahl der Würfe aber sechsmal so groß. Bei oberflächlicher Betrachtung könnte man daher annehmen, dass sich dies kompensiert und die Erfolgswahrscheinlichkeiten bei den beiden letzten Experimenten gleich sind.

Bei genauerer Betrachtung ist dies jedoch nicht der Fall.

Erklärung des Paradoxons

Beim Versuch mit den 4 Würfen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\text{mind. eine Sechs})=1-P(\text{keine Sechs})=1-\left(\frac56\right)^4\approx 0{,}5177 \approx 52\,\%}

Beim Versuch mit den 24 Würfen ist

$P({\text{mind. eine Doppelsechs}})=1-P({\text{keine Doppelsechs}})=1-\left({\frac {35}{36}}\right)^{24}\approx 0{,}4914\approx 49\,\%$

Dies überraschte und befriedigte de Méré nicht, weil er dieses Ergebnis schon kannte.

Er wollte den Widerspruch gelöst haben, warum sich die Ergebnisse nicht proportional wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 : 6 = 24 : 36} verhielten.

In dem 1718 erschienenen Buch „Doctrine of Chances“ wies Abraham de Moivre darauf hin, dass die „Proportionalitätsregel der kritischen Werte nicht weit von der Wahrheit entfernt ist“.

Mit „kritischem Wert“ ist die Mindestzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} an Würfen gemeint, die nötig ist, damit die Versuchs-Erfolgswahrscheinlichkeit über 50 % liegt.

Der kritische Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ist die kleinste natürliche Zahl, für die gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-(1-p)^n>\frac12} , gleichbedeutend mit

$n>{\frac {\ln {\frac {1}{2}}}{\ln(1-p)}}={\frac {\ln {\frac {1}{2}}}{-p-{\frac {1}{2}}p^{2}-{\frac {1}{3}}p^{3}-\ldots }}={\frac {\ln 2}{p+{\frac {1}{2}}p^{2}+{\frac {1}{3}}p^{3}+\ldots }}$.

Hierbei wurde die Logarithmus-Potenzreihenentwicklung verwendet.

Mittels Landau-Symbolik lässt sich der letzte Term schreiben als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\ln 2}{p+\frac{1}{2} p^2+\mathcal{O}(p^3)}} .

Es zeigt sich also, dass kein proportionaler Zusammenhang besteht, sondern unter anderem noch ein quadratischer Term relevant ist. Die Näherung verbessert sich immer weiter, je mehr Terme berücksichtigt werden. Die Proportionalität ist als erste Näherung brauchbar, bringt jedoch keine exakten Ergebnisse.

Erweiterung auf mehr als zwei Würfe

Weitere analoge Experimente mit einer beliebigen Würfelanzahl k führen auf die folgende allgemeinere Fragestellung:

Wie wahrscheinlich ist es, bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 4\cdot 6^{k-1}} Würfen mit k idealen Würfeln mindestens eine k-fach-Sechs zu werfen?

Mit Hilfe der Binomialverteilung erhält man als Lösung den nachfolgenden Term.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-\binom{4\cdot 6^{k-1}}{0}\cdot\left ( \frac{1}{6^k} \right )^0\cdot\left ( 1-\frac{1}{6^k} \right )^{4\cdot 6^{k-1}}=1-\left ( 1-\frac{1}{6^k} \right )^{\frac{2}{3}\cdot6^k}}

Dieser liefert für die Spezialfälle k = 1 und k = 2 jeweils die Wahrscheinlichkeit zu den beiden Experimenten von Chevalier de Méré, nämlich ca. 51,77 % bei dem 4fachen Wurf und ca. 49,14 % bei dem 24fachen Wurf. Nach der Substitution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 6^k} zeigt der Grenzwert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 1 - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right)^{\frac{2}{3} \cdot n} = 1 - {\rm{e}}^{ - \frac{2}{3}} \approx 48,66\% }

deutlich, dass auch jede beliebige Erhöhung der Wurfanzahl und die damit einhergehende proportionale Erhöhung der Würfelanzahl den von Chevalier de Méré entdeckten scheinbaren Widerspruch nicht lösen kann.

Literatur

• Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Stochastik: Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls. Springer, Berlin Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22250-2, S. 221–223.