Deskriptive Komplexitätstheorie
Die deskriptive Komplexitätstheorie (beschreibende Komplexitätstheorie) ist ein Teilbereich der endlichen Modelltheorie, die den Zusammenhang der Ausdrucksstärke von Logiken und Komplexitätstheorie untersucht.
Während Komplexitätsklassen wie NP oder PSPACE üblicherweise durch ein spezielles Maschinenmodell (üblicherweise Turingmaschinen) definiert werden, lassen sich mit Hilfe der deskriptiven Komplexitätstheorie diese Klassen auch durch „natürliche“ Logiken wie der Prädikatenlogik erster oder höherer Stufe oder Fixpunktlogiken charakterisieren.
Probleme und ihre Darstellung
In der klassischen Komplexitätstheorie werden Probleme dahingehend untersucht, welche Rechnerressourcen (Platz, Zeit, Anzahl von Schaltkreisen …) benötigt werden, um sie zu lösen.
Der Ansatz der deskriptiven Komplexitätstheorie ist es dagegen, Probleme in Hinblick auf die logischen Ressourcen, wie die Anzahl von Quantoren, Anzahl Alternationen von und , Hinzunahme weiterer Operatoren usw. einzuordnen.
Jeder Satz einer Logik induziert eine Menge endlicher Strukturen, die ihn erfüllen. So wird der Satz über der Struktur der Graphen von genau den Graphen erfüllt, die mindestens eine Kante enthalten. Also induziert das (triviale) Problem zu entscheiden, ob ein Graph mindestens eine Kante besitzt.
Jede Logik induziert damit eine Klasse von Strukturen (oder: Sprachen), die durch sie ausdrückbar sind. Das wohl erste Resultat in dieser Richtung ist der Satz von Büchi, nach dem die regulären Sprachen genau die in der monadischen Prädikatenlogik zweiter Stufe definierbaren Sprachen sind.[1][2]
Charakterisierung von NP
Ronald Fagin zeigte 1974[3], dass eine Sprache genau dann in NP ist, wenn es einen Satz in der existenziellen Logik der zweiten Stufe gibt, der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} beschreibt. Dabei enthält die existenzielle Logik zweiter Stufe über der Signatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{Q_1,\ldots,Q_k\}} (existencial second order logic, ESO, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma_1^1} ) Sätze der Form Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \exists P_{1}\ldots P_{k}\,\varphi } , wobei eine Formel der ersten Stufe ist, die neben den Prädikaten die Prädikate Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}} enthalten kann.
Beispielsweise liegt das Problem der 3-Färbbarkeit in NP, da der Satz
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\exists C_1\exists C_2\exists C_3&&\underbrace{\forall v((C_1(v)\wedge \neg C_2(v)\wedge\neg C_3(v))\vee (\neg C_1(v)\wedge C_2(v)\wedge\neg C_3(v))\vee (\neg C_1(v)\wedge \neg C_2(v)\wedge C_3(v))}_{\text{jeder Knoten ist mit genau einer Farbe gefaerbt}}\\ &&\wedge \underbrace{\forall u\forall v E(u,v)\rightarrow \neg ( (C_1(u)\wedge C_1(v)) \vee (C_2(u)\wedge C_2(v))\vee (C_3(u)\wedge C_3(v)))}_{\text{keine zwei adjazenten Knoten haben die gleiche Farbe}}\end{align}}
von genau den 3-färbbaren Graphen erfüllt wird.
Aus dem Beweis des Satzes von Fagin folgt, dass die Logik der zweiten Stufe (die zusätzlich Allquantoren zulässt) die polynomielle Hierarchie beschreibt.
Weitere Charakterisierungen
Nach Fagins Satz wurden weitere Komplexitätsklassen auf diese Art und Weise (oft von Neil Immerman) charakterisiert:
- Die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit einem Operator zur Bildung der transitiven Hülle beschreibt NLOGSPACE
- Die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit einem deterministischen Operator zur Bildung der transitiven Hülle beschreibt LOGSPACE
- Die Logik der zweiten Stufe mit einem transitiven Hüllenoperator beschreibt PSPACE
- verschiedene Fixpunktlogiken beschreiben P beziehungsweise PSPACE auf geordneten Strukturen
Literatur
- Ronald Fagin. Finite model theory-a personal perspective (PDF; 2,3 MB). Theoretical Computer Science 116, 1993, S. 3–31.
- Neil Immerman. Languages Which Capture Complexity Classes (PDF; 459 kB). 15th ACM STOC Symposium, S. 347–354. 1983.
- Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum. Finite Model Theory, S. 119–164. 1999.
Quellen
- ↑ J. R. Büchi: Weak second-order arithmetic and finite automata, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik (1960), Band 6, Seiten 66–92
- ↑ Leonid Libkin: Elements of Finite Model Theory, Springer-Verlag (2004), ISBN 3-540-21202-7, Satz 7.21
- ↑ Ronald Fagin, Generalized first-order spectra and polynomial-time recognizable sets, in: Complexity of Computation von Richard M. Karp (Hrsg.)
