Differente

Die Differente ist ein Begriff aus der algebraischen Zahlentheorie.

Vorbereitung

Es sei $K$ ein Zahlkörper und $S:K\to \mathbb {Q}$ die Spur. Dann ist $M^{\star }=\{\omega \in K;\,S(\omega M)\subset \mathbb {Z} \}$ das duale Gitter von $M$ in $K$ bezüglich der nicht ausgearteten $\mathbb {Q}$-Bilinearform $\langle \alpha ,\beta \rangle =S(\alpha \beta )$ mit $\alpha ,\beta \in K$. Weiterhin bezeichnet ${\mathfrak {a}}^{-1}$ das Inverse eines Ideals ${\mathfrak {a}}$.

Definition

Die Differente eines Zahlkörpers $K$ ist definiert als ${\mathfrak {D}}_{K}=({\mathcal {O}}^{\star })^{-1}$, wobei ${\mathcal {O}}$ der Ganzheitsring (die Hauptordnung ${\mathfrak {o}}$) des Zahlkörpers ist.

Erster Dedekindscher Hauptsatz

Die Absolutnorm der Differente eines algebraischen Zahlkörpers ist gleich dem Betrag der Diskriminante

${\mathfrak {N}}({\mathfrak {D}}_{K})=|d_{K}|$.

Literatur

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58791-0.