Dimensionsformel

Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume $V_{1}$, $V_{2}$ eines größeren Vektorraumes berechnen lässt:

$\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim \left(V_{1}\cap V_{2}\right)$

Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz. Einen Spezialfall stellt die Situation $V_{1}\oplus V_{2}=V_{1}+V_{2}$ dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf

$\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2},$

da für eine direkte Summe gilt

$V_{1}\cap V_{2}=\{0\}.$

Der Untervektorraum, den der Schnitt von $V_{1}$ und $V_{2}$ darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich Null ist.

Ist $V_{1}$ oder $V_{2}$ unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall

$\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\geq \max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}$

und

$\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)\leq \dim \left(V_{1}\oplus V_{2}\right)=\dim V_{1}+\dim V_{2}$.

Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, $\dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}$.

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 46–47.