Disheptaeder

Ein Disheptaeder (auch Antikuboktaeder) ist ein Polyeder, das aus denselben Flächen wie das Kuboktaeder, also denen eines Hexaeders (Kubus) und eines Oktaeders, besteht. In dem Alternativnamen (Anti-Kubooktaeder) stecken entsprechend die Wörter Kubus und Oktaeder. Des Weiteren ist es als Johnson-Körper J₂₇ (Dreiecksdoppelkuppel (verdrehtes Kuboktaeder)) bekannt.

Ein Disheptaeder

Beschreibung

Man erhält ein Disheptaeder aus einem Kuboktaeder durch Schnitt entlang der Ebene, die eine umlaufende Kante zwischen Hexaeder und Oktaederflächen bildet, und anschließende Verdrehung beider Hälften um 180° gegeneinander. Dadurch besitzen im Disheptaeder jeweils 3 Gruppen von je 2 Hexader- und 2 Oktaeder-Flächen eine gemeinsame Kante. Die vorherige Schnittebene wird zu einer Spiegelebene des Körpers.

Mit 14 Flächen (8 gleichseitige Dreiecke und 6 Quadrate), 12 Ecken und 24 Kanten gleicher Länge wird der eulersche Polyedersatz Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle e+f-k=2} genau wie beim Kuboktaeder erfüllt.

Formeln

Körpernetz eines Disheptaeders

Größen eines Disheptaeders mit Kantenlänge a
Volumen	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = \frac{5}{3}\,a^3 \sqrt{2} }
Oberflächeninhalt	$A_{O}=2a^{2}(3+{\sqrt {3}})$
Umkugelradius	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,R = a }
Kantenkugelradius	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \frac{a}{2} \sqrt{3} }
3D-Kantenwinkel  = 120°	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos \, \gamma = -\frac{1}{2} }

Vorkommen

Das Disheptaeder findet in der Strukturchemie und Kristallographie als Koordinationspolyeder (z. B. in der hexagonal dichtesten Kugelpackung hcp) Verwendung. Die zugehörige Koordinationszahl ist (genau wie beim Kuboktaeder) 12; der Grenzradienquotient ist ebenfalls 1.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Disheptaeder. In: MathWorld (englisch).
• beuth-hochschule.de (PDF) S. 7