Diskussion:Abgeschlossene Menge

Abgeschlossenheit und Limespunkte jeder konvergenten Folge

Im Artikel wird im ersten Absatz Abgeschlossenheit als gleichbedeutend mit der Eigenschaft angeführt, dass Limespunkte jeder konvergenten Folge in der Menge liegen. Diese Aussagen sind jedoch nicht in jeder Topologie äquivalent. Es kann nämlich sog. unerreichbare Berührpunkte geben, die zwar auf dem Rand einer Menge liegen, jedoch keine Folge innerhalb dieser Menge gegen diese Punkte konvergiert. Man sollte klarstellen, dass nur die eine Richtung gilt, oder weitere Vorraussetzungen angeben (z.B. das erste Abzählbarkeitsaxiom, für metrische Räume).

Zum (jetzt leicht umformulierten) Satz

Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die rationalen Zahlen $0\leq x\leq 1$ bilden eine abgeschlossene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.

wurde anonym der folgende Kommentar in den Artikel geschrieben (und von mir nun hierher verschoben):

(Kommentar:) Ich habe starke Zweifel an der Formulierung, das Intervall $0\leq x\leq 1$ in den reellen Zahlen bilde keine abgeschlossene Menge.

Wer es genau weiß, korrigiere dies bitte entsprechend!

Man lese genau: Die "rationalen Zahlen $0\leq x\leq 1$" werden hier betrachtet, und diese Menge ist in R nicht abgeschlossen. Ich hoffe, durch die Änderung des Satzes wird das nun klarer. --SirJective 21:17, 29. Jan 2005 (CET)

Ahhhh, jetzt verstehe ich das endlich. Vielleicht sollte man beim ersten Erwähnen des Intervalls [0, 1] hinzufügen, dass es aus reellen Zahlen bestehen soll. Einfach zur Verdeutlichung. Sonst ist man leicht verwirrt, finde ich.--Drivium 10:12, 26. Jul. 2009 (CEST)

Ich versuche einfach mal die Sache verständlicher zu machen. Ich trage meinen Vorschlag ein, und schreibe unten noch die anschauliche Vorstellung von Löchern in der Menge der rationalen Zahlen hin.--Drivium 10:15, 26. Jul. 2009 (CEST)

Hausdorff für Teilmenge genügt nicht

Hallo Gunther,

du ändertest

Ein kompakter Hausdorff-Raum ist dagegen in jedem topologischen Oberraum abgeschlossen.

in

Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist dagegen stets abgeschlossen.

Kannst du dein Gegenbeispiel "z.B. zweielementiger top. Raum mit asymmetrischer Topologie" näher erläutern? --SirJective 19:30, 2. Apr 2005 (CEST)

In dem topologischen Raum $\{\eta ,s\}$ mit der Topologie $\{\varnothing ,\{\eta \},\{\eta ,s\}\}$ ist $\{\eta \}$ kompakt und hausdorffsch, aber nicht abgeschlossen. (Es ist i.w. die einzige Topologie auf einer zweielementigen Menge, bei der die Punkte nicht austauschbar sind. Es war etwas sehr kurz formuliert, gebe ich zu.)--Gunther 20:49, 2. Apr 2005 (CEST)

Wieder was gelernt :) Sollte man dieses oder ein ähnliches Beispiel in kompakter Raum geben? "Im Raum X = {0, 1} mit der Topologie {{}, X} sind alle vier Teilmengen von X kompakt, aber die Teilmengen {0} und {1} sind nicht abgeschlossen." --SirJective 21:26, 2. Apr 2005 (CEST)

Als Beispiel steht da schon: "Jeder beliebige endliche topologische Raum." Auf Zariski-Topologie steht: "Quasi-kompakte Teilmengen müssen nicht notwendigerweise abgeschlossen sein.", und ich kenne keine andere sinnvollen Räume mit derartigen Topologien.--Gunther 21:59, 2. Apr 2005 (CEST)

OK, dann passt das so. --SirJective 22:54, 2. Apr 2005 (CEST)

Der Rand einer Menge

Sowohl in dem Artikel zur Abgeschlossenen Menge als auch zur Offenen Menge wird vom Rand einer Menge gesprochen. Doch nirgendwo wird der Begriff definiert.

Ich weiss zwar (meist), was gemeint, aber es fehlt eine Definition. Zudem ist der Begriff Rand irgendwie verwirrend, schliesslich kann er unendlich viele Elemente umfassen.

Zum Beispiel, sei die Grundmenge $\mathbb {R}$, und sei $M:=\bigcup _{i=0}^{\infty }(2i;2i+1)$. Dann ist ja wohl $Abschluss(M):=\bigcup _{i=0}^{\infty }[2i;2i+1]$. Also $Rand(M)=\mathbb {N} \cup \{0\}$

Was ich zum Beispiel nicht weiss (da Rand nirgendwo definiert wird): Gehören diskrete Elemente mit zum Rand? Zum Beispiel, sei $X:=\{1,2,3\}$, ist dann $X=Rand(X)$, wenn die Grundmenge $\mathbb {R}$ ist?

Wenn die Grundmenge $\mathbb {N}$ (ohne die 0) ist, wäre dann $Rand(X)=\{1,3\}$?

--DFG 00:44, 2. Okt 2005 (CEST)

Es sollte eigentlich zumindest einen kurzen Artikel geben, der unter Rand verlinkt wird; leider gibt es bislang nur das Topologie-Glossar mit dem kargen Satz: "Der Rand einer Menge ist der Abschluss der Menge minus ihrem inneren Kern." Der Rand der Menge $X$ ist in beiden von Dir betrachteten Fällen $X$ selbst.--Gunther 00:53, 2. Okt 2005 (CEST)

Sei $X:=\mathbb {N}$ wieder die Grundmenge. Nach dir wäre $U:=\{1,2,3\}$ ja abgeschlossen. Nach der Definition der Offenen Menge (für metrische Räume) folgt jedoch das Gegenteil. Dazu muss man nur $\epsilon :={\frac {1}{2}}$ setzen. Get the point? --DFG 01:37, 2. Okt 2005 (CEST)

Abgeschlossen ist nicht das "Gegenteil" von offen. $U$ ist offen und abgeschlossen in $\mathbb {N}$ (wie jede Teilmenge von $\mathbb {N}$).--Gunther 01:49, 2. Okt 2005 (CEST)

Dann wird der innere Kern (nach Definition im Glossar) aber gleich $\{1,2,3\}$ und der Rand somit zur leeren Menge. --DFG 01:56, 2. Okt 2005 (CEST)

Ups. Ja, natürlich. Rand ist ein komischer Begriff.--Gunther 02:01, 2. Okt 2005 (CEST)

Abschnitt 2 und 3

In Abschnitt 2 wird die Menge [0,1] als Beispiel für eine geschlossene Menge in den reellen Zahlen aufgeführt. Im darauf folgenden Abschnitt steht aber, das die selbe Menge ( 0 <= x <= 1 ) in den rationalen Zahlen abgeschlossen ist, nicht aber in den reellen Zahlen. Dies ist offensichtlich ein Widerspruch!

Oben wurde nach der Definition des Randes einer Teilmenge M eines Raumes X gefragt. Ist N die Komplementärmenge von M, so ist der Rand von M (und auch von N) der Durchschnitt der abgeschlossenen Hüllen von M und N. --Hanfried Lenz 11:23, 28. Nov. 2007 (CET).

Nochmal der Rand einer Menge

Im Artikel wird immer schön säuberlich darauf geachtet, nur im Euklidischen Raum vom Rand einer Menge zu reden. Aber die Charakterisierung "A abgeschlossen genaudannwenn A enthält seinen Rand" gilt in jedem topologischen Raum. Sie ist zwar für Beweise nicht wirklich sonderlich hilfreich, weil der Rand etwas unhandlich zum Arbeiten ist, aber sie gilt. --Cosine 15:01, 17. Dez. 2009 (CET)

Frage zur Definition

Was ist nicht ganz verstehe an der Definition. Man betrachte die offene Menge (1,2) auf den reellen Zahlen. Das Komplement ist: (-oo,1]U[2,oo) aber das ist keine abgeschlossene Menge sondern teilweise offen. Nulli (Diskussion) 12:49, 2. Feb. 2013 (CET)

Das sieht nur in deiner Schreibweise so aus! Das Problem entsteht dadurch, dass man wegen der optischen Form denkt, links und rechts „fehlt etwas“, damit es abgeschlossen ist. Tatsächlich ist man sich aber bewusst, dass es keine Zahl „$\,\infty \,$“ gibt, und verwendet oft diese eigentlich unsaubere Schreibweise.

Wenn man dies in eine „normalere“ Sprache übersetzt, enthält das Kompelement K ja genau alle reellen Zahlen, die kleiner oder gleich 1 sind sowie alle Zahlen, die größer oder gleich 2 sind. D.h. K setzt sich aus den beiden Teilen $\{x\leq 1\}$ und $\{2\leq x\}$ zusammen. Die sind aber beide abgeschlossen und daher ist auch ihre Vereinigung abgeschlossen.--Mini-floh (Diskussion) 23:50, 2. Feb. 2013 (CET)

Ah, danke für die Antwort. Nach der hier angegebenen Definition von offener Menge wäre die Menge aber in Richtung unendlich hin offen, da es für jeden Punkt eine Umgebung gibt, die wieder in der Menge enthalten ist. So ganz astrein scheint mir die Definition hier nicht zu sein habe ich den Eindruck. Vielleicht sollte man lieber die Definition über den Häufungspunkt angeben. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt für diese Menge auch wieder in der Menge liegt. Nulli (Diskussion) 21:27, 14. Apr. 2013 (CEST)

Was ist das Problem, das du mit dem Satz „wäre die Menge aber in Richtung unendlich hin offen, da es für jeden Punkt eine Umgebung gibt, die wieder in der Menge enthalten ist“ beschreiben willst? $\mathbb {R}$ selbst hat ja auch diese Eigenschaften und ist auf jeden Fall abgeschlossen (und offen zugleich).

Die Definition mit Häufungspunkten hat mindestens zwei Nachteile:

1. man muss erst „Häufungspunkt“ und „Umgebung“ definieren, um sie überhaupt formulieren zu können, und dazu hat man praktisch schon „offene Menge“ beschrieben. Dann ist es aber einfacher, wie hier zu sagen, dass das Komplement einer offenen Menge eine abgeschlossene Menge ist.
2. die HP-Definition ist nicht immer zu verwenden: man verwendet den Begriff „abgeschlossene Menge“ ja auch im Zusammenhang von endlichen Räumen.--Mini-floh (Diskussion) 21:53, 14. Apr. 2013 (CEST)

Ah danke für die Antwort. Wenn eine Menge abgeschlossen und offen zu gleich sein kann, dann geht es natürlich. War mir nicht so ganz klar der Punkt. Nulli (Diskussion) 10:41, 15. Apr. 2013 (CEST)

Grafik

Hallo,

ich habe mal wieder einen verbesserungsvorschlag für die Grafik:

• 

  Alte PNG

• 

  Neue SVG

Soll ich etwas anders machen? Irgendwas noch einfärben, größer oder kleiner machen? Etwas anders beschriften?

Ach ja: Was bringen die grünen Linien?

Grüße, --Martin Thoma 18:52, 14. Feb. 2013 (CET)

Die grünen Linien sollen wohl die Abstände d(x, y₁), d(x, y₂) aufzeigen. Hast Du den dazugehörigen Beweis nicht durchgelesen? 92.204.45.247 17:31, 9. Apr. 2013 (CEST)

Nein, den Beweis habe ich nicht gelesen. Ich suche immer wieder nach Bildern, die man verbessern kann und lese mir nicht immer den Text dazu durch. --Martin Thoma 21:26, 9. Apr. 2013 (CEST)