Diskussion:Ableitung (Logik)

ist das falsch eingeordnet ,hier fuschen zu viel rum.

Frage zum Begriff der Ableitung

Kann man das nicht auch einfacher erklären?

Mir ist nicht klar, ob ein Widerspruchsbeweis für eine Aussage a als "Ableitung" von a gilt.

Aus dem Artikel habe ich den Eindruck gewonnen, dass das davon abhängen könnte, ob man von einem aussagenlogischen Ableitbarkeitsbegriff ausgeht, oder von einem prädikatenlogischen, oder von einem intuitionistischen, oder von einem modallogischen, usw.

Deshalb formuliere ich meine Frage (ein wenig umständlich) folgendermaßen:

Betrachtet man üblicherweise einen Widerspruchsbeweis für eine Aussage a als eine "Ableitung" von a? -- Irene1949 21:24, 11. Mär 2006 (CET)

Mich wundert die Frage hier, da in dem Artikel ja gar nicht von Widerspruchsbeweisen die Rede ist. Es gibt tatsächlich zwei Arten von Widerspruchsbeweis: beim einen wird aus a ein Widerspruch abgeleitet und daraus auf nicht-a geschlossen. Beweisziel ist hier also nicht a, es wird aber a angenommen. Daher nennt man diese Beweistechnik auch "indirekter Beweis". Indirekt, weil man das genaue Gegenteil annimmt, von dem was man eigentlich zeigen will. Dieser Beweis ist sowohl nach dem gewöhnlichen, d.h. klassischen, als auch nach dem intuitionistischen Ableitbarkeitsbegriff gültig. Beim anderen Widerspruchsbeweis wird nicht-a angenommen und dann ein Widerspruch abgeleitet. Damit hat man dann a bewiesen (also ist dies auch ein indirekter Beweis). Dieser Beweis ist nur nach klassischer Aussagenlogik nicht nach intuitionistischer gültig.

--Hajo Keffer 00:54, 16. Mär 2006 (CET)

Danke für die Ausführungen. Ein wesentlicher Punkt ist anscheinend, dass „aus nicht (nicht a) folgt a“ nur nach klassischer Aussagenlogik gültig ist, nicht aber nach intuitionistischer Logik.

Auf den Widerspruchsbeweis bin ich aus zwei Gründen gekommen. Zum einen, weil ich mich vage erinnerte, davon gehört zu haben, dass Widerspruchsbeweise – die in der Mathematik ja normalerweise als gültige Beweise akzeptiert werden – auf der Ebene von Metamathematik und/oder Logik umstritten seien. Zum zweiten fand ich auf der Seite Intuitionismus, zu der ich durch Anklicken eines Links im Artikel Ableitung (Logik) gelangt war, den Text „weil ohne den Satz vom ausgeschlossenen Dritten keine Widerspruchsbeweise möglich sind ...“

Nun wüsste ich gern, ob ich den Begriff der Ableitung richtig verstanden habe, wenn ich Folgendes sage:

„Ein Widerspruchsbeweis, bei dem gezeigt wird, dass „nicht a“ falsch sein muss,

ist nach klassischer Aussagenlogik eine Ableitung von a,

nicht jedoch nach intuitionistischer Logik.“

Stimmt das so?

Wenn ja:

Versteht man unter einer „Ableitung von a“ normalerweise etwas, was nach der klassischen Aussagenlogik eine Ableitung von a ist?

Gilt also ein Widerspruchsbeweis für a, der nach der intuitionistischen Logik kein gültiger Beweis ist, normalerweise als „Ableitung von a“?

So wie ein solcher Widerspruchsbeweis in der Mathematik als Beweis anerkannt zu werden pflegt?

Mich interessiert das Ganze, weil mich der Gödelsche Unvollständigkeitssatz interessiert und ich mich bislang vergeblich bemüht habe, den Beweis zu verstehen.

Da dachte ich mir, es könnte hilfreich sein, wenn ich erst einmal zu verstehen versuche, was genau gemeint ist mit dem Begriff der „Ableitbarkeit“, um die es in diesem Satz geht. -- Irene1949 01:05, 17. Mär 2006 (CET)

Danke für die Ausführungen. Ein wesentlicher Punkt ist anscheinend, dass „aus nicht (nicht a) folgt a“ nur nach klassischer Aussagenlogik gültig ist, nicht aber nach intuitionistischer Logik.

Genau. Sowohl nach klassischer als auch nach intuitionistischer Logik funktioniert der Widerspruchsbeweis aus "nicht a" zunächst mal so, dass ein Widerspruch gezeigt wird und dann auf "nicht nicht a" geschlossen wird. Nach intuitionistischer Logik kann diese Formel nicht mehr weiter vereinfacht werden, nach klassischer kann hieraus auf a geschlossen werden. Daher kann insgesamt klassisch auf a geschlossen werden, wenn es gelingt, aus der Annahme "nicht a" einen Widerspruch herzuleiten.

Auf den Widerspruchsbeweis bin ich aus zwei Gründen gekommen. Zum einen, weil ich mich vage erinnerte, davon gehört zu haben, dass Widerspruchsbeweise – die in der Mathematik ja normalerweise als gültige Beweise akzeptiert werden – auf der Ebene von Metamathematik und/oder Logik umstritten seien. Zum zweiten fand ich auf der Seite Intuitionismus, zu der ich durch Anklicken eines Links im Artikel Ableitung (Logik) gelangt war, den Text „weil ohne den Satz vom ausgeschlossenen Dritten keine Widerspruchsbeweise möglich sind ...“

Wenn es so in dem Artikel stünde, wäre es falsch, da im Intuitionismus ja nur bestimmte Widerspruchsbeweise verboten sind, nicht alle Widerspruchsbeweise. Der Satz geht aber noch weiter: "... ohne den Satz vom ausgeschlossenen Dritten keine Widerspruchsbeweise möglich sind, mit denen bei klassischer Logik die Existenz eines mathematischen Objektes bewiesen werden kann, indem die Nichtexistenz widerlegt wird". Dies ist korrekt. Übrigens sind alle intuitionistisch gültigen Widerspruchsbeweise auch klassisch gültig, jedoch, wie gesagt, nicht umgekehrt.

Nun wüsste ich gern, ob ich den Begriff der Ableitung richtig verstanden habe, wenn ich Folgendes sage:

„Ein Widerspruchsbeweis, bei dem gezeigt wird, dass „nicht a“ falsch sein muss,

ist nach klassischer Aussagenlogik eine Ableitung von a,

nicht jedoch nach intuitionistischer Logik.“

Stimmt das so?

Ich denke man kann es so sagen, obwohl es stellenweise ein wenig unpräzise ist. Z.B. zeigt man in einer Ableitung immer eine bestimmte Aussage a und nicht, dass a falsch ist, es sei denn, man meint damit, dass man eigentlich "nicht a" zeigt. Ich würde folgende präzisere Formulierung vorschlagen: "Eine Ableitung, bei der aus der Annahme "nicht a" ein Widerspruch abgeleitet wurde, und so auf "nicht nicht a" geschlossen wurde, kann nach klassischer Logik zu einer Ableitung von a ergänzt werden (durch Anwendung des Gesetzes "aus "nicht nicht a" folgt "a""), nach intuitionistischer Logik jedoch nicht (da dort besagtes Gesetz nicht gültig ist)".

Wenn ja:

Versteht man unter einer „Ableitung von a“ normalerweise etwas, was nach der klassischen Aussagenlogik eine Ableitung von a ist?

Strenggenommen müsste man statt "Ableitung von a" eigentlich immer "Ableitung von a gemäß der Logik L" sagen, wobei L jetzt irgendeine Logik sein kann: klassische Logik, intuitionistische Logik, Relevanzlogik .... In der Regel ist aber schon aus dem Zusammenhang klar, welche Logik gemeint ist, dann lässt man das "gemäß L" einfach weg. In den allermeisten Logikbüchern wird klassische Logik zugrundegelegt, da die anderen Logiken doch eher selten sind. In solchen Büchern ist dann "Ableitung von a" gleichbedeutend mit "Ableitung von a gemäß klassicher Logik". Aber wie gesagt, dass muss nicht immer so sein.

Gilt also ein Widerspruchsbeweis für a, der nach der intuitionistischen Logik kein gültiger Beweis ist, normalerweise als „Ableitung von a“?

Wenn man unter "Ableitung von a" versteht: "Ableitung von a gemäß klassischer Logik" ja, sonst nicht.

So wie ein solcher Widerspruchsbeweis in der Mathematik als Beweis anerkannt zu werden pflegt?

Mich interessiert das Ganze, weil mich der Gödelsche Unvollständigkeitssatz interessiert und ich mich bislang vergeblich bemüht habe, den Beweis zu verstehen.

Gödels Beweis ist übrigens selbst ein Widerspruchsbeweis, allerdings einer von der unproblematischen Sorte, der sowohl von den klassischen als auch von den intuitionistischen Logikern anerkannt wird.

--Hajo Keffer 12:38, 17. Mär 2006 (CET)

Danke, Hajo Keffer, für die ausführlichen Antworten. Jetzt ist mir alles klar, und ich habe den "unbeantwortet"-Baustein entfernt. Gruß -- Irene1949 01:16, 18. Mär 2006 (CET)

Abgrenzung zur logischen Folgerung

´wäre meines Erachtens nötig. ´habe zunächst einmal den link von Folgerung hinzugefügt. Dort wird allerdings das Ganze noch mehr aus der Perspektive der traditionellen Logik abgehandelt. --Hans-Jürgen Streicher 22:34, 5. Mär. 2008 (CET)

Weiterleitung von Inferenzrelation hierhin

Hi. Inferenzrelation leitet hierhin weiter, wird jedoch im Text nicht definiert. Ist Inferenzrelation synonym zu Ableitbarkeitsrelation? --j ?! 10:28, 7. Okt. 2008 (CEST)

Ja. --Hajo Keffer 17:08, 7. Okt. 2008 (CEST)

Materielle Ableitung

Der Abschnitt über die Ableitung im materiellen Sinn ist nicht präzise und verständlich geschrieben. Ich kann nur vermuten, dass es sich um den semantischen Folgerungsbegriff handelt; d.h bei den beiden im Artikel aufgeführten Ableitungsbegriffen um die Gegenüberstellung von syntaktischem und semantischen Ableitungsbegriff. Wenn das so ist, sollte man es sagen. Ich habe das auf meine Merkliste gesetzt. Dhanyavaada 18:16, 9. Nov. 2009 (CET)

$\cup$, $\wedge$

Wäre es nicht einfacher $(\Theta )\wedge (\varphi )\vdash \psi$ statt $\Theta \cup \{\varphi \}\vdash \psi$ zu schreiben? Wenn ich mich nicht irre, ist das gleichbedeutend. (nicht signierter Beitrag von David23x (Diskussion | Beiträge) 18:06, 6. Jul 2015 (CEST))

Das zweite ist jedenfalls sehr viel gebräuchlicher und verbreiteter. --Hajo Keffer (Diskussion) 19:01, 6. Jul. 2015 (CEST)