Diskussion:Barkhausensche Röhrenformel

ich schlage vor, hier noch den begriff "durchgriff" zu erleutern. dirk--194.138.39.60 07:40, 26. Jun. 2008 (CEST)

Minus in Durchgriff

Ist der Minus korrekt in der Formel für den Durchgriff D? Der Minus ist in Gegensatz mit: S D R_i = 1. Und mit [1]. Oder, wenn der Minus in D korrekt ist, soll es dann nicht S D R_i = −1 sein? Sonst braucht auch einer von der überigen S und R_i ein Minus in der Definition. -- Crowsnest 11:47, 14. Jun. 2009 (CEST)

Aus der Definition geht ja hervor, daß der Durchgriff das Verhältnis der Anoden- zu Gitterspannung ist, damit der Anodenstrom konstant bleibt. Heißt, bei steigender Anodenspannung muß die Gittervorspannung negativer werden, um den Anodenstrom konstant zu halten. Umgekehrt muß bei sinkender Anodenspannung die Gittervorspannung positiver werden, um den Anodenstrom konstant zu halten. Von daher stimmt die mathematische Notation mit dem Minuszeichen durchaus. Bei meinen Stichprobenrecherchen in verschiedener zeitgenössischer Fachliteratur wird das negative Vorzeichen des Durchgriffs aber nicht berücksichtigt und einfach unter den Tisch gekehrt. Stattdessen sollte der Ergebnis der Barkhausenformel eigentlich -1 sein. Aber das ist jetzt doch eher Theoriefindung und gehört nicht in die WP. --Poc 13:27, 14. Jun. 2009 (CEST)

Hi Poc, offensichtlich ist dem so. Hab noch eine (zufällig gewählte) Quelle von jener Definition nachgetragen. Hast Du vielleicht den Barkhausen: Elektronenröhren, Band 1., verfügbar und könntest nachschauen wie der Durchgriff dort festgelegt ist?--wdwd 14:13, 14. Jun. 2009 (CEST)

Ich fürchte nein. Steht noch auf meiner Beschaffungsliste. ;-) Nachgesehen habe ich hier:

• Ludwig Ratheiser: Rundfunkröhren – Eigenschaften und Anwendung. Union Deutsche Verlagsgesellschaft, Berlin 1936. 
• Otto Limann: Funktechnik ohne Ballast. Franzis-Verlag, München 1963. 

--Poc 16:25, 14. Jun. 2009 (CEST)

Zum Minuszeichen in der Röhrenformel:

Die Barkhausensche Röhrenformel ist nichts anderes als eine Anwendung der aus der Mathematik bekannten Eulerschen Kettenregel, die z.B. in der Thermodynamik eine große Rolle spielt. Das Minuszeichen sollte also unstrittig sein. (nicht signierter Beitrag von Langel (Diskussion | Beiträge) 09:46, 6. Mai 2010 (CEST))

Rechenfehler

Die oben genannten scheinbaren Widersprüche entstehen bei oberflächlicher Betrachtung der Formeln und werden leider immer mal wieder aktuell (ich habe mich schon in den 60iger Jahren damit beschäftigt):

• Der Durchgriff wird tatsächlich mit Minus definiert (die angegebene Literaturstelle ist also leider auch falsch). Nur dann ist der reale Zahlenwert positiv, denn Anodenspannung und Gitterspannung müssen (wie oben schon gesagt) entgegengesetzt geändert werden, damit der Anodenstrom konstant bleibt.
• Auf der rechten Seite der Röhrenformel steht trotzdem eine +1, denn nach dem Einsetzen der Differenzen in die Röhrenformel darf man auf keinem Fall einfach diese Differenzen heraus kürzen. Das ist mathematisch falsch, weil sie unter verschiedenen Bedingungen gelten.
• Besser kommt das Ganze zur Geltung, wenn man anstelle der Differenzen Differentiale verwendet. Exakt ist z. B. folgende Herleitung:
  • Das Verhalten einer Röhre wird durch ihr (nichtlineares) Kennlinienfeld beschrieben: $i_{a}=f(u_{g},u_{a})$.
  • Für das Kleinsignalverhalten (für welches die Röhrenformel nur gilt) wird die Kennlinie linearisiert, indem man das totale Differential bildet: $di_{a}={\frac {\partial i_{a}}{\partial u_{g}}}\cdot du_{g}+{\frac {\partial i_{a}}{\partial u_{a}}}\cdot du_{a}$.
  • Mit den Definitionen für die Steilheit $S={\frac {\partial i_{a}}{\partial u_{g}}}$ und den Innenwiderstand $R_{i}={\frac {\partial u_{a}}{\partial i_{a}}}$ erhält man $di_{a}=S\cdot du_{g}+{\frac {1}{R_{i}}}\cdot du_{a}$.
  • Bei der „Messung“ des Durchgriffs ist $i_{a}$ konstant (also $di_{a}=0$). Deshalb gilt $S\cdot du_{g}+{\frac {1}{R_{i}}}\cdot du_{a}=0$.
  • Mit der Definition des Durchgriffs $D=-{\frac {\partial u_{g}}{\partial u_{a}}}$ erhält man nach Umstellung exakt $S\cdot R_{i}\cdot D=1$.
• Es wird also nichts „unter den Tisch gekehrt“ und „vorn“ muss das Minus bei der Definition des Durchgriffs wieder rein.--Reseka 12:03, 15. Jun. 2009 (CEST) (12:39, 15. Jun. 2009 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Hallo Reseka, das ist alles schön und gut, aber siehe WP:TF vs. 4 (falschen?) Quellen. Übrigens, warum verwendest Du "fract" statt "delta"? Ich schlage vor, daß wir den Artikel in eine QS für Mathematik einstellen, da ich mathematisch eher Laie bin. Das ist bei der Klärung evtl. hilfreicher. --Poc 16:33, 15. Jun. 2009 (CEST)

Hallo Poc! Wenn man sucht, dann findet man genügend Bücher, welche den Durchgriff richtig definieren: Z. B. „Grundlagen der Elektrotechnik“ von Rolf Unbehauen (Springer: ISBN 3540660178 bzw. 9783540660170). Außerdem kann man es ja selbst leicht nachrechnen. Ich habe übrigens „\partial“ verwendet, um die partielle Ableitung zu erzeugen (und damit mathematisch exakt zu sein). Oder was meintest du mit deiner Frage nach „fract“?--Reseka 16:56, 15. Jun. 2009 (CEST)

Naja mit dem, was wdwd gefunden hat, sind es 5 Quellen von 4 Autoren gegen eine. :-) Nachrechnen trau ich mir nicht zu, wie gesagt, ich bin kein Mathe-Crack. Da Mathematik aber starren Regeln folgt, stellt sich mir die Frage, ob WP:TF hier zutrifft oder nicht, vielleicht können sich ja einige Mitleser mal äußern? Partial, ja, sorry. Nicht fract. Ich kenn das halt nur mit Delta aus meinen Quellen (und so ist es für mich auch verständlich). --Poc 17:13, 15. Jun. 2009 (CEST)

Hi Reseka, punkto "Richtigkeit" stimme ich Dir vollinhaltlich zu. Nur, es geht hier nicht um Richtigkeit sondern um eine Enzyklopädie. :-)

Hast Du vielleicht zeitgenössische Literaturquellen welche den Durchgriff mit dem "-" definieren? Siehe Artikelthema, also im Bezug zu Elektronenröhren und der Barkhausenschen Röhrenformel. So wäre es sehr interessant, wie es Barkhausen seiner selbst definiert hat. Ich hab leider diese Quelle dzt. nicht zugänglich. Faktum ist, dass es eine durchaus grosse Anzahl an (älterer) Fachliteratur gibt die es so wie im Artikel festlegen, also ohne dem Minus. Ob als Differenz oder partielle Ableitung mag da fast schon als Detailpunkt wirken.

Aber auch unterschiedliche Festlegungen sind kein Beinbruch. Dann werden eben beide Formen angeführt, mit dem Hinweis dass dies in der Fachliteratur nicht einheitlich ist. Das wäre ja nicht das erste mal. (und ggf als Nebensatz was richtig ist).--wdwd 20:17, 15. Jun. 2009 (CEST)

Ich habe mal meine Bibliothek durchsucht und folgende Bücher mit der Definition des Durchgriffs und der „Röhrenformel“ gefunden:

Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1967. 

Philippow: Taschenbuch Elektrotechnik - Band 3. Verlag Technik, Berlin 1969. 

Pfeifer: Elektronik für Physiker - Band II. Akademie-Verlag, Berlin 1966. 

Schröder: Elektrische Nachrichtentechnik - II. Band. Verlag für Radio-Foto-Kinotechnik GmbH, Berlin-Borsigwalde 1966. 

Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektrotechnik - I. Band. Verlag für Radio-Foto-Kinotechnik GmbH, Berlin-Borsigwalde 1964. 

Lange: Signale und Systeme - Band 2. Verlag Technik, Berlin 1968. 

In allen (!) diesen Werken namhafter Autoren ist der Durchgriff mit Minus definiert. Die Bücher von Schröder und Rint waren damals die Standardwerke der Elektronik.

Zur Sache mit Delta und Partial: Mathematisch exakt ist natürlich die Definition als partielle Ableitung, da ja die Kennlinien einer Röhre gekrümmt sind. Da aber oft nicht genügend Kenntnisse der Differentialrechnung vorhanden sind, wird für Anfänger die Definition durch Differenzen geschrieben. Besonders gut ist beides mit dem Rundungszeichen im Schröder dargestellt: $D=-{\frac {\partial u_{g}}{\partial u_{a}}}\approx -{\frac {\Delta u_{g}}{\Delta u_{a}}}$. Diese kombinierte Schreibweise würde ich auch für die WP empfehlen.--Reseka 09:11, 16. Jun. 2009 (CEST)

Hab' das mal so eingearbeitet. Danke für die Erklärung. --Poc 16:18, 16. Jun. 2009 (CEST)

Vielen Dank !!! -- Crowsnest 18:20, 17. Jun. 2009 (CEST)

Definition Innenwiderstand

Soll der Innenwiderstand R_i denn gemäß definiert werden als:

${\frac {1}{R_{i}}}=\left[{\frac {\partial i_{a}}{\partial u_{a}}}\right]_{u_{g}={\text{konstant}}},$

weil im mehrdimensionaler i_a–u_a–u_g Raum im allgemeinen nicht

${\frac {\partial i_{a}}{\partial u_{a}}}{\stackrel {?}{=}}{\frac {\partial u_{a}}{\partial i_{a}}}$

ist? -- Crowsnest 20:52, 17. Jun. 2009 (CEST)

Das ist in der Literatur nicht üblich und auch nicht notwendig. Da es sich um partielle Ableitungen handelt, reduziert sich die Betrachtung auf 2 Variablen und es gilt die Regel für die Ableitung der inversen Funktion (z. B. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik - Teil I, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969). In unserem Fall bedeutet das z. B.: Zur Funktion $i_{a}=f(u_{a})$ gehört die inverse Funktion $u_{a}=F(i_{a})$. Dann gilt für die Ableitungen $F'(i_{a})={\frac {1}{f'(u_{a})}}$, also ${\frac {\partial u_{a}}{\partial i_{a}}}{=}{\frac {1}{\frac {\partial i_{a}}{\partial u_{a}}}}$. Das ergibt sich auch anschaulich aus der Betrachtung der partiellen Differentialquotienten als Anstieg im Kennlinienfeld und der Vertauschung der Koordinatenachsen. Übrigens ist die (nachträglich eingeführte) Kennzeichnung der partiellen Differentialquotienten (im Gegensatz zu den Differenzenquotienten) mit der jeweils konstant gehaltenen Größe nicht nötig, da die partielle Ableitung ja genau so definiert ist (es schadet aber auch nichts).--Reseka 08:17, 18. Jun. 2009 (CEST)

Stimmt. Aber auf (teils) andere Gründe. Die gegebene Funktion i_a = f( u_a ) ist eine Kurve im i_a–u_a Raum, weil es sich um eine Fläche F( u_a , u_g ) − i_a = 0 handelt, mit Normalenvektor:

${\boldsymbol {n}}_{i_{a}}={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial u_{a}}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial u_{g}}}\\[2ex]-1\end{pmatrix}}.$

Gleicher weise wird Angenommen, das derselbe Fläche auch auf folgender Weise zu beschreiben ist: u_a − G( u_g , i_a ) = 0, mit Normalenvektor:

${\boldsymbol {n}}_{u_{a}}={\begin{pmatrix}-1\\\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial u_{g}}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial i_{a}}}\end{pmatrix}}.$

Die zwei Normalenvektoren sind parallel zu einander, also ist das Kreuzprodukt null. Der zweiter u_g–Komponent von ${\boldsymbol {n}}_{i_{a}}\times {\boldsymbol {n}}_{u_{a}}=0$ ist:

$-{\frac {\partial F}{\partial u_{a}}}\,{\frac {\partial G}{\partial i_{a}}}+1=0$

und, weil i_a = F und u_a = G, gibt es:

${\frac {\partial i_{a}}{\partial u_{a}}}\;{\frac {\partial u_{a}}{\partial i_{a}}}=1.$

-- Crowsnest 21:06, 19. Jun. 2009 (CEST)

van der Bijl oder Barkhausen?

Die Formel S*D*Ri = 1 ist meines Wissens von Barkhausen bekanntgemacht worden (Barkhausen, 1. Band, 11.Auflage, S.159 Fußnote: "Barkhausensche Röhrengleichung") stammt aber von Hendrik Johannes Van der Bijl. Kann jemand bitte die Quelle "The thermionic vacuum tube and its applications", McGraw-Hill, 1920 prüfen? -- AndreAdrian 23:46, 23. Jan. 2010 (CET)