Diskussion:Bijektive Funktion

Endliche Mengen

"Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, dann ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv"

Stimmt das?

Stimmt! Injektivität, Surjektivität und Bijektivität sind für Abbildungen zwischen zwei endlichen Mengen mit identischer Elementzahl das gleiche. Eine Quelle dazu kann ich dir nicht nennen. Das ist eine beliebte Übungsaufgabe zur vollständigen Induktion für Mathe-Erstsemester.-- Schojoha 23:38, 16. Nov. 2011 (CET)

Gegenbeispiel:

Ich habe zwei Mengen a,b,c,d und e,f,g,h - beide gleich groß. Dann habe ich die injektive Abbildung: a - e, b - e, c - e, d - e. Diese Abbildung ist nicht umgekehrt eindeutig, da allen Werten der ersten Menge ein Wert der zweiten zugeordnet ist, was umgekehrt aber deutlich nicht gilt. Oder verstehe ich die Definition von "injektiv" falsch? Ich zweifle sehr. --Hutschi 19:23, 3. Apr 2004 (CEST)

Die Abbildung, die du angegeben hast, ist nicht injektiv. Bei einer injektiven Abbildung werden keine zwei Elemente der ersten Menge auf dasselbe Element der zweiten Menge abgebildet. Beispielsweise ist f(x) = x² nicht injektiv, denn sowhl f(2) = 4 als auch f(-2) = 4. --Dawn 19:30, 3. Apr 2004 (CEST)

Das heißt: injektiv ist bereits eineindeutig? oder ist es die umgekehrte Richtung von eindeutig? --Hutschi 12:13, 4. Apr 2004 (CEST)

Nein, injektiv bedeutet nicht eineindeutig (das ist bijektiv), aber es existiert auf jedenfall die Umkehrabbildung. --Tinuriand 12:55, 4. Apr 2004 (CEST)

danke. --Hutschi 14:28, 4. Apr 2004 (CEST)

Bilder

Ich habe aus der englischen Wikipedia die Bilder eingefügt. Damit ist die Definition relativ klar. (denke ich.)

[[Bild::ontoMap.png]] Surjektiv, nicht injektiv	[[Bild::mathmap.png]] Injektiv, nicht surjektiv
[[Bild::bijMap.png]] Bijektiv	[[Bild::mathmap2.png]] weder surjektiv, noch injektiv

Achtung: In Englisch wird gesagt, dass der Begriff "injective" die Bedeutung geändert hätte, es gibt ihn daher in zwei Bedeutungen im englischen Sprachraum.

Könnte man (vereinfacht) sagen: injektiv ist umkehrbar eindeutig (eineindeutig), aber nicht vollständig, bijektiv ist umkehrbar eindeutig und vollständig, und surjektiv ist vollständig, aber nicht umkehrbar eindeutig?

--Hutschi 12:49, 4. Apr 2004 (CEST)

Ich hab in der Schule gelernt (in der Uni habe ich diese Begriffe nicht gehört):

• Eineindeutig = injektiv
• Umkehrbar eindeutig = bijektiv

Von "vollständig" hab ich noch nie was gehoert. Eine Umkehrfunktion existiert nur für bijektive Funktionen. Allerdings kann ich den Wertebereich einer injektiven Funktion auf den Bildbereich einschränken, und diese (andere(!)) bijektive Funktion umkehren.

Die Injektivität schließt die Surjektivität nicht aus; eine surjektive Funktion kann auch injektiv sein. --SirJective 12:24, 6. Apr 2004 (CEST)

Formel: mathematisch?

Ich habe die Formel $\forall y\in Y\exists x\in X|f(x)=y\wedge \forall x\in X\exists y\in Y|f(x)=y$ ersatzlos gestrichen, da sie erstens falsch ist, und zweitens auch die richtige Formulierung wohl nichts zum Verständnis des Begriffs beitragen würde.

Außerdem suggeriert die Formulierung "mathematisch: irgendeine Formel", dass die davor stehende verbale Definition nicht mathematisch ist. Das wäre Unsinn.

-- Wuzel 00:42, 7. Mär 2005 (CET)

was ist an der Formel falsch? Stern !? 00:52, 7. Mär 2005 (CET)

Die Formel sagt, dass f surjektiv und total ist. Die Formel sagt nicht, dass f injektiv ist. (Die Tatsache, dass zumindest einer von uns die Formel missverstanden hat, ist ein Indiz dafür, dass es unsinnig ist, die Formel in den Artikel zu schreiben.) -- Wuzel 11:31, 7. Mär 2005 (CET)

Wuzel, du hast recht: Die Formel ist falsch und trägt vermutlich nicht zum Verständnis bei. Auch das "mathematisch:" war unpassend; passender ist da ein "formal:", wie es andernorts gemacht wird.

Eine korrekte Formel würde nur ausdrücken, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist, und die Formeln für die beiden Teilaussagen stehen in den entsprechenden Artikeln. --SirJective 11:50, 7. Mär 2005 (CET)

Deutsche Grammatik

Muss es Bei Eigenschaften: : Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und f : A → B eine Funktion, dann gilt: : : Nicht heissen: einer Funktion ? (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 85.182.76.149 (Diskussion • Beiträge) 01:05, 31. Jan 2006)

Nein, wieso? Das gehört nicht zu "mit", sondern zu "Sind".--Gunther 01:08, 31. Jan 2006 (CET)

Funktion oder Abbildung

Meiner Meinung nach bezieht sich die Definition von Bijektivität auf Abbildungen. Funktionen sind sicherlich auch Abbildungen aber ich würde den Oberbegriff bevorzugen. (nicht signierter Beitrag von Ostrowsk (Diskussion | Beiträge) 13:26, 28. Sep 2006)

„Funktion“ und „Abbildung“ sind synonym, je nach Kontext wird die eine oder die andere Bezeichnung bevorzugt. Hat die Zielmenge eher Zahlencharakter, so spricht man von Funktionen, hat die Zielmenge eine geometrische Struktur, von Abbildungen.--Gunther 13:29, 28. Sep 2006 (CEST)

Muss hier gunther eindeutig widersprechen. funktionen sind spezielle abbildungen. in der linearen algebra werden abbildungen immer in verbindung mit der verknüpfung von mengen verwendet, wobei diese mengen (lt. cantor) aus "beliebigen Elementen unseres Denkens und unserer Vorstellung" bestehen können (das können zahlen, geometrische objekte (in form von n-tupeln von zahlen) oder irgendwelche andere objekte wie andere mengen usw. sein). so wäre in dieser beschreibung die bijektivität als eine eigenschaft einer abbildungen sicher allgemeiner und hätte generellere gültigkeit. (nicht signierter Beitrag von 84.115.151.151 (Diskussion) )

Wie bitte? Ich stimme Gunther zu. Kannst Du mir ein Beispiel für eine Abbildung geben, die keine Funktion ist? --Wuzel 18:12, 5. Okt. 2007 (CEST)

Von der Definition her kann man vielleicht keinen Unterschied finden, es geht hier doch eher um die Wortwahl. Mit Funktionen wird eher die Ermittlung eines Funktionswertes in Abhängigkeit eines Arguments in Verbindung gebracht, während Abbildungen eher als Verknüpfungen von Mengen verstanden werden. Formal sehe ich zwischen Funktion und Abbildung keinen Unterschied. Vielleicht wäre es angebrachter, im Artikel darauf aufmerksam zu machen, dass die Bijektivität sowohl als Eigenschaft von Abbildungen als auch Funktionen verstanden werden kann. Jedoch stimmt es in keinster Weise, dass Abbildungen irgendwie geometrischen Charakter hätten.

Ich würde das so sehen: Eine Abbildung sagt nur aus, dass überhaupt eine Zuordnung $f:X\rightarrow Y$ zwischen zwei Mengen X und Y stattfindet. Es wird aber nicht direkt beschrieben, wie ein Element $x\in X$ auf Y zugeordnet wird. Eine Funktion erklärt jedoch, wie die Abbildung zwischen den Mengen genau aussieht, also $f(x)=y$ für $x\in X$ und $y\in Y$. Beispielsweise gibt es ja unendlich viele Beispiele, wie man Elemente von $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ "schicken" kann: $f(x)=x^{2}$, $f(x)=\cos {x}$ usw.

Du meinst wohl Funktionsterm (siehe Term). Man kann aber auch über Funktionen sprechen, ohne dass ein konkreter Funktionsterm angegeben ist. Und nie vergessen: Funktion = Abbildung. Gruß, Wasseralm

bijektiv = eineindeutig?

Das stimmt definitiv nicht, eineindeutig=injektiv (und das auch nur, wenn man die auf Wikipedia gängige Definition einer Funktion verwendet, die Linkstotalität mit einschließt, verlangt man für eine Funktion keine Linkstotalität, dann ist nicht einmal eine eineindeutige Funktion zwingend injektiv) und bijektiv=eineindeutig auf, wobei sich das "auf" auf die Surjektivität bezieht.

Hallo SGZ, so klar ist die Sache nicht, schau dir mal Diskussion:Injektivität und Injektivität#Geschichte an. Gruß, Wasseralm 22:12, 11. Jun. 2007 (CEST)

Die Diskussion habe ich schon gesehen, danke! Wenn eineindeutig so missverständlich ist, sollte dann nicht besser der Eineindeutigkeit ein eigener Artikel gewidmet werden. Zur Zeit führt der Begriff Eineindeutigkeit direkt zur Bijektivität, die weitreichendere Diskussion findet sich aber leider unter Injektivität.

Ne das versteh ich nicht, eineindeutig und Eineindeutigkeit führen beide zu einer BKS, auf der steht, dass der Begriff nicht "eindeutig" ist (was für ne Ironie). Ich seh kein Problem. Grüße --WissensDürster 09:50, 16. Sep. 2009 (CEST)

eineindeutig/ eindeutig

den laien bfremdet das wort "eineindeutig". eindeutig ist einfach eindeutig. zweieindeutig wäre nicht mehr eindeutig, ebenso mehreindeutig - beides wäre im unterschied zu "eindeutig" bereits mehrdeutig. die doppelung des "ein" sollte erklärt werden. --kaubuk

Injektiv + Surjektiv = Bijektiv

Ich bin auf der Suche nach einem Beweis, dass aus der Existenz einer injektiven Funtion $f:A\to B$ und einer surjektiven Funktion $g:A\to B$ die Existenz einer bijektiven Funktion $h:A\to B$ folgt. Kann mir da jemand helfen? Wäre es sinnvoll diesen Zusammenhang im Artikel zu erklären? Ich finde diese Eigenschaft sehr interessant. --V4len 11:39, 3. Mär. 2009 (CET)

Ist das nicht Defintion? Bijektiv ist doch definiert als injektiv + surjektiv. Frage nach Beweis somit obsolet... oder irre ich mich? (nicht signierter Beitrag von 80.109.196.191 (Diskussion | Beiträge) 19:30, 26. Apr. 2009 (CEST))

Ja. Es ist ein Irrtum. Der Einwand verpufft. Laut Definition heißt es doch, dass eine bijektive Funktion / Abbildung eine ist, welche zugleich beide (!) Eigenschaften Injektivität und Surjektivivität auf sich vereinigt. Wäre $f=g\,$, so wäre die Sache klar, aber auch trivial. Und so hat V4len das Problem auch nicht gestellt. Im Allgemeinen wird er ja $f\neq g$ haben.

Eine Lösung gibt es aber, meine ich, doch. Nämlich:

Zu der Surjektion $g:A\to B$ betrachte man alle Urbilder $g^{-1}\left(b\right)\left(b\in B\right)$. Dies liefert eine Zerlegung von $A=g^{-1}\left(B\right)$. Zu dieser Zerlegung findet man - im unendlichen Fall mit dem Auswahlaxiom (!); im endlichen geht es auch ohne Auswahlaxiom - eine Auswahlfunktion $g_{0}:B\to A$, welche automatisch injektiv ist. Dann gelangt man mit Hilfe des Cantor-Bernstein-Schröder-Theorems, angewandt auf $f:A\to B$ und $g_{0}:B\to A$, zu einer Bijektion $h:A\to B$.

Dies ist aber keine konstruktive Lösung, wie man schon daranerkennt, dass das Auswahlaxiom herangezogen wird. Zudem denke ich: Wenn man das Auswahlaxiom nicht als gegeben annimmt, gibt es im allgemeinen, also unendlichen, Fall keine Lösung.

--Schojoha 17:09, 18. Nov. 2011 (CET)

Der Punkt ist, dass die injektive Funktion $f$ nicht unbedingt surjektiv und die surjektive Funktion $g$ nicht unbedingt injektiv sein muss.

Z.B. für die Mengen $A=B=\mathbb {N} _{0}$ seien folgende Funktionen $f$ und $g$ gegeben:

$f(n)=n+1$ ist injektiv aber nicht surjektiv.

$g(n)=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor$ ist surjektiv aber nicht injektiv.

Wie kann man mit Hilfe dieser beiden Funktionen eine bijektive Funktion $h$ definieren?

--V4len 15:04, 15. Sep. 2009 (CEST)

Es geht nicht darum diese beiden irgendwie zu verbinden, das sind ja ganz andere Funktionen. Beide Bedingungen gelten für Funktionen bei denen A und B identisch in beiden Richtungen gleich ist, also nicht A = B aber eben A=A und B=B in A->B sowie B->A ...

Eine Definition muss man im eigt. Sinn nicht beweisen ... da gibt's zwar Leute die Widerspruchsbeweise nicht anerkennen oder Intuition nicht zulassen etc. aber unsere allgemeine Mengenlehre baut ja schon auf ziemlich konkreten Axiomen auf.

Konkret zur Frage: Man kann mit Hilfe der beiden Eigenschaften Injektivität und Surjektivität die Eigenschaft "Bijektivität" definieren - nicht mit Hilfe von Funktionen ... Grüße --WissensDürster 09:45, 16. Sep. 2009 (CEST)

Formel korrekt? Bijektivität

Ich habe die Formel $\forall y\in Y\ \exists !x\in X:f(x)=y$ eingefügt und sie wurde wieder entfernt. Ist sie falsch? Eigentlich müsste sich das doch so zusammenfassen lassen.--Lord Biro 14:13, 29. April 2009

Die Begründung war, dass das keine Verbesserung des Artikels bzw. der Definition bewirkt ... du hast die Formel da kommentarlos hingeworfen. Es steht da aber schon eine Definition und sogar die Erklärung, was diese bedeutet (injektiv+surjektiv). Es gibt unendlich viele (das kann man sicher beweisen) äquivalente Definitionen - man kann eben nicht alle gebrauchen. War nicht böse gemeint. Grüße --WissensDürster 09:48, 16. Sep. 2009 (CEST)

Zum Abschnitt "Geschichte" und zur Begrifflichkeit

Im Abschnitt "Geschichte" behandelte der 2. Absatz , den ich jetzt gestrichen habe, den vermeintlichen Umstand, dass es zwischen "injektiv" und "bijektiv" - wegen gewisser Unklarheiten von "eineindeutig" in Abgrenzung von "eindeutig" - verwirrende Abgrenzungsprobleme gebe.

Dem ist nicht so. Die Abgrenzung von Bijektivität und Injektivität bzw. Surjektivität ist in der heutigen Fachliteratur zur Mengenlehre - und hier gehören die Begriffe hin - gänzlich unstrittig. Es gab selbstverständlich in der ersten Entwicklungsphase der Mengenlehre gewisse Begriffsschwankungen. Aber diese liegen einige Jahrzehnte zurück. Ohne diese Entwicklung exakt nachzuzeichnen, ist eine lapidarer Hinweis auf Abgrenzungsprobleme nur irreführend. Daher die Streichung. -- Schojoha 17:09, 18. Nov. 2011 (CET)

@Schojoha: Gerade erst gesehen, aber ich stimme dir zu. Die von dir gelöschte Passage stellte sogar die Fakten vollkommen falsch rum: ein Grund für den Siegeszug von injektiv, bijektiv usw. war mMn die Tatsache, dass die bis dahin in der englischen Sprache verwendeten Begriffe mehrdeutig waren. Beispiel: one-to-one klingt anfangs selbsterklärend, könnte aber – in unserem heutigen Sprachgebrauch – genausogut bijektiv als auch injektiv (aber nicht unbedingt surjektiv) bedeuten. --GroupCohomologist (Diskussion) 10:50, 30. Dez. 2016 (CET)

Belege fehlen (Mai 2016)

Am 7. Mai 2016 hat 84.161.21.34 den Belege fehlen-Baustein in den Abschnitt Bijektive Funktion#Geschichte gesetzt. Es geht um die Passage

„Wahrscheinlich wurde das Wort injektiv ebenso wie bijektiv und surjektiv in den 1930ern von N. Bourbaki geprägt.“

Tasächlich wird hier keinen Einzelnachweis angegeben. Die IP begründet ihre Kritik wie folgt:

„Bei jeff560.tripod.com/i.html ist es: "INJECTION, SURJECTION and BIJECTION. The OED records a use of injection by S. MacLane in the Bulletin of the American Mathematical Society (1950) and injective in Eilenberg and Steenrod in Foundations of Algebraic Topology (1952). However the family of terms is introduced on p. 80 of Nicholas Bourbaki’s Théorie des ensembles, Éléments de mathématique Première Partie, Livre I, Chapitres I, II (1954)." Das würde nahelegen, daß ein französisches Wort wie "bijectif" 1954 geprägt wurde und ein deutsches Wort (ebenso wie ein englisches) später entstand. Ebenso bei "surjektiv". "injektiv" dagegen wäre wohl älter, sofern die Angabe beim OED richtig ist und richtig wiedergegeben wurde, denn englisch "injective" wäre demnach älter (mindestens von 1952 statt 1954). Allerdings ist das womöglich keine verläßliche Quelle im Sinne von WP.“

Mac Lane verwendet tatsächlich injection hier:

• Saunders MacLane: Duality for groups. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 56, 1950, S. 485–516, S. 486, doi:10.1090/S0002-9904-1950-09427-0: „and $\lambda$ the identity injection of $Z$ into $B$“ 

Außerdem darf man nicht vergessen: Mac Lane und Eilenberg legten 1945 gemeinsam den Grundstein der Kategorientheorie. Ferner war Eilenberg Mitglied und Mac Lane Gast bei Bourbaki. Mehr dazu in den nächsten Tagen. --GroupCohomologist (Diskussion) 11:21, 30. Dez. 2016 (CET)

Einen interessanten Beleg dafür, dass bijektiv usw. mitte der 1940er im Englischen unbekannt (genauer: unüblich) waren, liefert die Geburtsurkunde der Kategorientheorie:

• Samuel Eilenberg, Saunders MacLane: General theory of natural equivalences. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 58, Nr. 2, September 1945, S. 231–294, insbes. S. 240, doi:10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6: „An equivalence [in der Kategorie der Mengen] $\sigma \colon S_{1}\rightarrow S_{2}$ is simply a one-to-one mapping of $S_{1}$ onto $S_{2}$.“ 

--GroupCohomologist (Diskussion) 18:28, 30. Dez. 2016 (CET)

Es stimmt zwar, dass die Begriffe injective und injection in

• Samuel Eilenberg, Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology. Princeton University Press, 1952, LCCN 52-005841, Definitionen auf S. 8. 

vorkommen. Allerdings kommt injective immer nur als Teil der Verbindung injective representation vor, und der Begriff injection wird ausschließlich für zerfallende Monos in der Kategorie der abelschen Gruppen verwendet. Somit ist die volle Allgemeinheit des heutigen Begriffs nicht erreicht. In meinen Augen ist diese Stelle ein Beleg dafür, dass die heutige Verwendung von injective 1952 nicht einmal in den erlauchtesten Fachkreisen geläufig war. Andererseits taucht schon hier eine gewisse Dualität zwischen injective representations und projective representations auf: ob das Buch „Homological Algebra“ (1956) von Cartan und Eilenberg (1956) seine Schatten vorauswirft?. --GroupCohomologist (Diskussion) 23:40, 30. Dez. 2016 (CET)

„injection“ bereits 1945: Ralph H. Fox: Torus homotopy groups. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 31, Nr. 2, 1. Februar 1945, S. 71–74, siehe S. 73 (Online [PDF; abgerufen am 13. Januar 2017]): „The nucleus of the injection homomorphism“  --GroupCohomologist (Diskussion) 17:17, 13. Jan. 2017 (CET)