Diskussion:Defekt (Mathematik)

Defekt einer Matrix

"Wenn A die zugehörige (m x n)-Matrix ist, dann ist der Defekt die Anzahl der linear abhängigen Spaltenvektoren."

Dieser Satz ergibt meiner Meinung nach keinen Sinn. Was ist die Anzahl der linear abhängigen Spaltenvektoren? Die Anzahl der Spaltenvektoren die "für sich" schon l.a. sind? Die maximale Anzahl an l.a. Spaltenvektoren? Also alle, wenn der Rang nicht voll ist? Lasst es mich an einem Beispiel demonstrieren:

${\begin{pmatrix}0&1&1&2\\0&2&1&2\\0&3&1&2\end{pmatrix}}$

Der Artikel Matrix enthält auch keine Hinweise zum Defekt einer Matrix. Wir haben als erstsemestrige Mathematikstudenten in Lineare Algebra 1 auch keine Definition für den Defekt einer Matrix kennen gelernt - nur den den Rang einer Matrix und den Defekt der zugehörigen linearen Abbildung. Ich bin für entfernen, wenn niemand der sich besser auskennt eine gute Antwort hat. --Lumbricus 11:27, 8. Apr 2006 (CEST)

Ich habe jetzt eine Erläuterung zur maximalen Anzahl von linear abhängigen Spaltenvektoren ergänzt. In deinem Beispiel könnte man die Spalten 1 und 3 löschen und keine mehr. Also hat deine Matrix Defekt 2. Hoffe, das hilft. Außerdem habe ich die Falschaussage, dass der Defekt die maximale Anzahl von linear abhängigen Zeilenvektoren wäre, gelöscht. Beispiel:

$A:=\left({\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right)$

Der Defekt von $A$ ist null, obwohl die Zeilen voneinander linear abhängig sind.--TN 14:31, 24. Mär. 2007 (CET)

Nein! Ich habe noch einmal nachgeschaut. Zum Beispiel in (S. 23 Lineare Abhängigkeit) werden auch, wenn jeweils zwei von drei vorgegebenen Vektoren linear unabhängig sind, alle drei als linear abhängig bezeichnet, falls sich einer von ihnen als Linearkombination der anderen zwei darstellen lässt. Deshalb werde ich jetzt die Zeile mit der linearen Unabhängigkeit noch einmal umformulieren.

Vielleicht sollte man die Passage wirklich streichen. Ich mache hier jedoch erstmal einen Vorschlag (nicht schön aber selten):

Sei $A$ die Abbildungsmatrix von $f$. Ist $A$ die Nullmatrix, so ist der Defekt von $f$ gleich der Spaltenzahl von $A$. Andernfalls ist $\operatorname {def} (f)$ gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus $A$ streichen kann, dass die modifizierte Matrix das gleiche Bild wie $A$ hat.

Leute,

was soll denn dieses ganze geschwurbel, schreibt doch einfach, dass der defekt der differenz aus rang und reihenzahl entspricht. die ganze rechnung ist genau das gleiche wie für den rang. (nicht signierter Beitrag von 188.195.76.85 (Diskussion) 22:44, 25. Sep. 2012 (CEST))

Defekt einer Matrix 2

Dieser Abschnitt enthält Fehler, unsinnige Formulierungen und ist meiner Meinung nach ohnehin überflüssig (da der "Defekt einer Matrix" nur sehr selten in der Fachlitertur zu finden ist).

Fehler: Im zweiten Beispiel müsste ist es nicht die angegebene Matrix ((1,0,0),(2,6,0)), sondern ((1,0,0),(2,6,3)), die den selben Spaltenraum wie die Ausgangsmatrix erzeugt.

Unsinnige Formulierung: Es spielt überhaupt keine Rolle, ob irgend eine Teilmatrix den genau selben Spaltenraum erzeugt. Genauso unnötig ist es, eine solche anzugeben (im Übrigen zweifle ich stark an der Allgemeingültigkeit der angegebenen Methode - bei elemenataren Zeilenumformungen bleibt zwar der Zeilenraum, nicht zwingend aber auch der Spaltenraum erhalten - wieso sollten gerade diese Spalten in der ursprünglichen Matrix linear unabhängig sein?). Entscheidend ist ja nur, dass der (Spalten-)rang bei der Überführung in Zeilen- oder Spaltenstufenform erhalten bleibt. Der Defekt entspricht nach Umformung in Zeilen- oder Spaltenstufenform gerade der Anzahl an Nicht-Pivotspalten. Bei Zeilenstufenform ist das - wie im Artikel angegeben - die Differenz zwischen der Anzahl an Spalten und der Anzahl an vom Nullvektor verschiedener Zeilen. Bei Spaltenstufenform ist sie als die Anzahl der Nullspalten zu verstehen.

-- 46.126.193.28 16:04, 7. Aug. 2011 (CEST)

Ich hab mir die angegebene Methode zur Bestimmung einer Basis des Bildraumes nochmals angeschaut. Sie stimmt tatsächlich. Dennoch hat sie nichts in diesem Artikel zu suchen, da Basen des Bildraumes - wie bereits erwähnt -keine Rolle in der Definition des Defektes spielen. Sie führt nur nur zu einer unnötigen Verkomplizierung des Artikels (abgesehen davon, gibt es auch eifnachere Methoden um eine solche Basis zu bestimmen). Der genannte Fehler ist übrigens immer noch ein Fehler und sollte behoben werden. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 16:54, 3. Okt. 2011 (CEST))