Diskussion:Duale Paarung

Verbesserung der Allgemeinverständlichkeit

Hier ein Versuch, die Allgemeinverständlichkeit des Artikels zu erhöhen, da das (nachzusehen in der Versionsgeschichte) bemängelt wurde. Ich bin mir leider nicht sicher, wie man ein abstraktes mathematisches Thema für Laien verständlich erklären kann, ohne jeden Begriff einzeln zu erklären, daher beschränke ich mich auf wenige Hinweise in der Einleitung des Artikels:

Die duale Paarung ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem Vektor und einem linearen Funktional eine Zahl zuweist. Sie stellt eine Verallgemeinerung des Skalarproduktes dar.

Das Ziel ist es, mathematische Begriffe, die von einem Skalarprodukt herrühren (wie etwa die Frage, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind), in Räumen zu verwenden, in denen man kein Skalarprodukt definieren (und daher auch keine Winkel messen) kann. Der Nachteil, der sich dabei ergibt, liegt darin, dass die beiden Vektoren, deren Skalarprodukt man berechnet (um beispielsweise ihren Winkel zu erhalten) aus unterschiedlichen Vektorräumen stammen.

In der Physik tauchen Ansätze der dualen Paarung beispielsweise im Bra-Ket-Formalismus auf.

In dieser Einleitung sollte nun die grobe Idee mit Schulwissen verstanden werden können. Irgendwelche weiteren Anregungen? -- PatrickC 13:49, 18. Aug. 2011 (CEST)

Alleinverständlichkeit bei einem fortgeschrittenen, mathematischen Thema ist zwar wünschenswert aber meistens unmöglich. Man kann nunmal keine komplizierten Dinge einfach darstellen, denn dann wären sie nicht kompliziert und dann müsste man sie auch nicht studieren, um sie zu verstehen. Deinen Vorschlag zur Erweiterung der Einleitung finde ich gut. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 13:56, 18. Aug. 2011 (CEST)

Danke für die Rückmeldung. Hab die Ergänzung eingebaut. -- PatrickC 14:49, 18. Aug. 2011 (CEST)

Englische Verlinkung

Warum ist der Artikel nicht mit dem englischen Artikel zu dual pairing verlinkt (und den anderen Sprachen)? sondern nur mit den rigged Hilbert spaces, die ja auch thematisch dazugehören, in dem die dual pairing aber nicht verlinkt ist. Bitte um Erklärung oder Änderung. -- Pia Francesca

Ja das frage ich mich auch. Ich habe es geändert.--Christian1985 (Disk) 19:21, 31. Mai 2017 (CEST)

Beweis vom Korollar

Hat jemand zufällig den Beweis zur Hand von der 2. Aussage? "...wobei die zweite Aussage ein Korollar aus dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume ist." (nicht signierter Beitrag von 85.180.196.80 (Diskussion) 21:39, 30. Jan. 2013 (CET))

Ich erinnere mich nicht mehr so genau, aber es müsste letzendlich auf folgendes hinauslaufen: Annahme x ist nicht 0. x kann isometrisch in den Bidualraum eingebettet werden, d.h. es gibt ein $L_{x}$ in $X^{\prime \prime }$ das ungleich 0 ist. Damit gibt es ein l, so dass $L_{x}(l)=\langle x,l\rangle$ ungleich 0 ist. Soweit ich mich erinnere, ist die Existenz der Isometrie eine Folge aus Hahn-Banach, aber das kann ich um diese Uhrzeit nicht mehr so genau bestätigen. -- PatrickC (Diskussion) 23:22, 28. Mai 2013 (CEST)

Gelfand-Tripel und Stetigkeit

Die Darstellung von Gelfand-Tripeln scheint mir ziemlich verworren:

• „und einen Teilraum $N$, der in vielen Fällen selbst kein (Prä-)Hilbertraum ist“ – jeder Teilvektorraum eines Hilbertraums ist ein Prähilbertraum mit dem induzierten Skalarprodukt. Der Witz bei Gelfand-Tripeln ist, dass man diesen Teilraum gerade mit einer anderen Topologie betrachtet, ich kenne insb. die Forderung, dass es sich um einen nuklearen Raum handeln soll. Diese eigenständige Topologie ist hier aber nirgends erwähnt.
• „Aus den mengentheoretischen Eigenschaften von Dualräumen erhält man dann die Inklusionskette“ – ich kann mir nicht vorstellen, wie man die zweite Inklusion ohne Rückgriff auf eine Topologie einsehen soll:
  • Zwei verschiedene lineare Funktionale auf $H$ könnten dasselbe auf $N$ induzieren, wenn man nicht ihre Stetigkeit sowie Dichtheit von $N$ voraussetzt.
  • Hinzu kommt die Forderung nach der Stetigkeit des Skalarprodukts bzgl. der Topologie des Raums $N$, damit man auch tatsächlich ein stetiges Funktional auf $N$ erhält.
• „jedoch lässt sich auf ihm kein Skalarprodukt definieren, das mit der zugehörigen Topologie kompatibel ist“ – hängt von der Definition von „kompatibel“ ab

Insgesamt also zu unpräzise, ich kann mir überhaupt nicht vorstellen, dass sich unter Weglassung der Topologie auf $N$ etwas sinnvolles sagen ließe (sieht das jemand anders?). Wäre nicht vllt. ein eigener Artikel zu Gelfand-Tripeln besser? --Chricho ¹ ² ³ 13:53, 23. Dez. 2013 (CET)

Du hast selbstverständlich recht, was die topologischen Forderungen angeht. Da habe ich wohl durchaus einige Dinge unterschlagen. Im Augenblick habe ich leider keine Zeit mich darum zu kümmern. Wenn du dich austoben willst, habe ich nichts dagegen, ansonsten werde ich mich vielleicht am Wochenende mal dran setzen. -- PatrickC (Diskussion) 12:03, 28. Jan. 2014 (CET)

So, ich habe das ganze mal etwas ausführlicher geschrieben und hoffe, dass die Ungenauigkeiten beseitigt sind. -- PatrickC (Diskussion) 15:12, 7. Feb. 2014 (CET)

Habe die Stetigkeit ergänzt. --Chricho ¹ ² ³ 15:46, 7. Feb. 2014 (CET)