Diskussion:Elementare Unterstruktur

Tarski

Laut en:Löwenheim-Skolem theorem geht es auf Anatoli Iwanowitsch Malzew zurück, da steht aber keine Quelle. Dieser Text bestätigt zumindest eine Teilaussage. Hat jemand eine bessere Quelle? --Chricho ¹ ² ³ 14:17, 3. Sep. 2012 (CEST)

Ich habe noch einmal die mir im Augenblick zur Verfügung stehende Literatur angeschaut und denke immer noch, dass folgende Beschreibung der Geschichte korrekt ist: Der Satz in der Form

"Eine Theorie T, die in einer unendlichen Kardinalität ein Modell hat, hat in allen unendlichen Kardinalitäten $\geq Card({\mathcal {L}}_{T})$ ein Modell"

wird immer als Löwenheim-Skolem-Theorem bezeichnet und dürfte dem auf Mazew et al. zurückgehenden Satz entsprechen.

Die stärkere Formulierung des Satzes

Ist ${\mathfrak {A}}$ eine beliebige (unendliche) Struktur, ${\mathcal {L}}_{\mathfrak {A}}$ die zugehörige Sprache und $C\subseteq A$ eine beliebige Teilmenge, dann gibt es für alle $\kappa$ mit $\operatorname {card} ({\mathcal {L}}_{\mathfrak {A}})+\operatorname {card} (C)+\aleph _{0}\leq \kappa \leq \operatorname {card} (A)$ eine elementare Substruktur ${\mathfrak {B\prec A}}$ mit $\operatorname {card} (B)=\kappa$ und $C\subseteq B$

wird dort unter dem Namen Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski ausdrücklich auf Tarski zurückgeführt. Ich halte mich da u.a. an ein Vorlesungsskript von U.Felgner, der in seinen historischen Recherchen immer sehr genau war.

Es ist auch plausibel, dass diese speziellere Fragestellung erst nach Einführung des Begriffs "elementare Substruktur" ins Auge gefasst wurde. Es bliebe zu untersuchen, wie sehr man die alten Beweise verändern muss, damit man das speziellere Ergebnis erhält. Wenn die Änderung naheliegend ist, könnte man gegebenenfalls behaupten, dass das Ergebnis "implizit" schon da war.

Wie das allerdings zu den Anekdoten im Standford-Text passt, ist mir nicht klar.

(Ich will nicht nachtreten, aber vielleicht siehst Du hier, warum in der Modelltheorie die Konstanten zur Sprache "einfach dazugehören", auch wenn man sie "aus Systematisierungsgründen" entfallen lassen könnte.)--Mini-floh (Diskussion) 10:26, 5. Sep. 2012 (CEST)

Ich habe mal bei Mal'cev nachgeschaut: Den Kompaktheitssatz führt er auf sich selbst zurück. Von einer Löwenheim-Skolem-Variante, die fast so stark ist wie deine letztere (es heißt dort nur, es gibt eine elementare Substruktur, die $C$ enthält, von höchstens der Kardinalität $\operatorname {card} ({\mathcal {L}}_{\mathfrak {A}})+\operatorname {card} (C)+\aleph _{0}$), sagt er, Skolem habe sie in allgemeiner Form bewiesen. Jetzt bin ich verwirrt. Vllt. sollte man bei Skolem nachschauen, auch wenn das wahrscheinlich keinen Spaß macht. --Chricho ¹ ² ³ 11:35, 5. Sep. 2012 (CEST)

Unpräzise Formulierungen in den Beispielen

Im Artikel heißt es

• Betrachtet man $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ als reine Ordnungsstrukturen, dann gilt $\mathbb {Q} \prec \mathbb {R}$. Elementare Unterstrukturen müssen schon aus Kardinalitätsgründen nicht isomorph zur Ausgangsstruktur sein.
• Andererseits ist aber $\mathbb {Q} \not \prec \mathbb {R}$, wenn man beide als Ringe betrachtet. $\left[\mathbb {R} \models \ \exists x:x^{2}=2\right]$. Es kann also von der betrachteten Signatur abhängen, ob ${\mathfrak {B\prec A}}$ gilt oder nicht.

1. Mit "als reine Ordnungstrukturen betrachten" meint der Autor, dass wir die Strukturen $(\mathbb {Q} ,<)$ bzw. $(\mathbb {R} ,<)$ und nicht ihre jeweiligen Trägermengen $\mathbb {Q}$ bzw. $\mathbb {R}$ betrachten sollen.

2. Meint der Autor statt „nicht müssen“ nicht „nicht dürfen“?

3. Dass der Ring $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ etwas von der Ordnungsstruktur $(\mathbb {Q} ,<)$ potenziell Verschiedenes ist, ergibt sich bereits aus der korrekten Notation der Strukturen. 93.232.4.79 14:12, 17. Jul. 2016 (CEST)

Wo ist das Problem?

Natürlich heißt es "nicht müssen"! "Nicht dürfen" ist falsch, wie aus dem Löwenheim-Skolem-Theorem eindeutig hervorgeht!

Was soll die Bemerkung 3 ausdrücken?

Dass die beiden Strukturen verschieden sind, ist klar. Es hier geht darum, dass es sich in einem Fall um elementare Unterstrukturen handelt und im anderen nicht. Natürlich hätte man ein Beispiel wählen können, bei dem das nicht so offensichtlich ist, aber hier geht es nicht um letzte Tricks.

--Mini-floh (Diskussion) 16:38, 17. Jul. 2016 (CEST)