Diskussion:Elliptische partielle Differentialgleichung

Elliptizität

Was ist denn nun das "elliptische" am elliptischen Differentialoperator? Mir ist da vage was in Erinnerung von elliptischen und parabolischen Differentialgleichnungen. Das sollte man mal deutlich machen. --Uweroehner 22:58, 24. Feb. 2010 (CET)

Ich hoffe, ich konnte die Frage ansatzweise beantworten. --Christian1985 (Diskussion) 23:09, 2. Okt. 2011 (CEST)

Regularität des Gebiets

Hm, bist du sicher, dass $U$ bei den Eigenschaften der elliptischen DGls 2. Ordnung nur ein Gebiet zu sein hat? Spielt da nicht noch irgendeine Randregularität hinein? --Tolentino 07:32, 18. Dez. 2009 (CET)

Bezüglich des Gebietes hast du Recht. Ich habe es geändert. Ob die Teilmenge einen Lipschitzrand oder sowas haben muss, bin ich mir gerade nicht sicher, habe auf die schnell nichts dazu gefunden. --Christian1985 11:45, 18. Dez. 2009 (CET)

Evans fordert in seinem Buch nur bei Regularität von Sobolev-Funktionen auf dem Rand gewisse Regularitäten für diesen ansonsten geht es ohne diese. --Christian1985 12:19, 18. Dez. 2009 (CET)

Ui, das wunderte mich. Ich hätte gedacht, dass man bei den Schauder-Abschätzungen den allgemeinen Fall per Lokalisierung auf den Fall einer Kugel/Halbraum zurückführt, und dann würden alle Regularitätseigenschaften sich reduzieren auf die Regularitätseigenschaften des Randes (genauer: der Transformation auf ein Stück des Halbraumes). Aber wenn du dir sicher bist, ist das in Ordnung. Gruß, --Tolentino 11:27, 19. Dez. 2009 (CET)

Definition

Das $i$ in Definition 2.1 erscheint mir etwas suspekt, könnte man das nochmal nachschauen, ob das nicht in die Potenz $m$ oder so erhoben werden sollte? --Tolentino 12:51, 19. Dez. 2009 (CET)

Danke für den Hinweis. Ich bin mir um den Vorfaktor gerade gar nicht sicher ob es $i^{m}$ oder ${\frac {i^{m}}{m!}}$ lauten muss, oder ob man den Vorfaktor einfach weglassen sollte, das ist in der Literatur ja glaube auch zu finden. Ich habe zumindest mal die Potenz ergänzt. --Christian1985 13:26, 19. Dez. 2009 (CET)

Das Symbol soll ja im Wesentlichen den "Fourier-Multiplikator des Differentialoperators" repräsentieren, und jede Differentiation bekäme einen Faktor i oder -i (hängt von der Definition der Fourier-Transformation ab). Daher wären meiner Meinung nach $i^{m}$ oder $(-i)^{m}$ die geeigneten Kandidaten gewesen. Die Fakultät ist mir eigentlich nicht so geläufig. --Tolentino 15:26, 19. Dez. 2009 (CET)

Hypo-elliptischer Operator

Mir ist unklar, was du mit $P(\xi )$ meinst, da doch der Definitionsbereich von $P$ ein Funktionenraum ist und nicht $\mathbb {R} ^{n}$. --Tolentino 15:34, 19. Dez. 2009 (CET)

Örgx die Notation ist überladen. Also P meint ein Polynom in zwei Variablen. Wenn man $P(x,D)$ schreibt hat man einen Differentialoperator, welchen man auf eine Funktion anwenden kann also $P(x,D)(u)$. Schreibt man $P(x,\xi )$ so ist dies ein Polynom in zwei Variablen des $\mathbb {R} ^{n}$, welches das volle Symbol von $P(x,D)$ meint. Hast du einen Vorschlag wie man diese Notationsmäßig vereinfachen kann? --Christian1985 17:00, 19. Dez. 2009 (CET)

Ah, alles klar. Ich fürchte allerdings, dass man nicht umhin kommt, irgendwo im Artikel zu erwähnen, dass eine Funktion $P(x,y):=\sum _{k=0}^{m}\sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(x)y^{\alpha }$ (mit Multiindexpotenz bei $y^{\alpha }$) einen Differentialoperator ${\mathcal {P}}(x,u):=\sum _{k=0}^{m}\sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }(u)(x)$ induziert und dass der zugehörige Differentialoperator elliptisch ist, falls $P$ gewisse Eigenschaften besitzt.

Das scheint wesentlich transparenter zu sein, als zwei verschiedene Funktionen als "Überladung" zu bezeichnen, zumal der Zusammenhang nun auch klar wird. --Tolentino 17:29, 19. Dez. 2009 (CET)

Theorie elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Der Abschnitt, insbesondere der Teilabschnitt "Existenzaussage" ist so nicht korrekt. Über Eindeutigkeits- sowie Existenzaussagen kann so allgemein keine Aussage getroffen werden, wenn man nicht mehr Bedingungen an die Koeffizientenfunktionen (z.B. beschränktheit) stellt. Weiter ist es (selbst im gutmütigen Fall konstanter Koeffizienten) schlicht und ergreifend falsch, dass für f aus L^2, f ungleich null eine eindeutige schwache Lösung existiert (dazu müsste man entweder Koerzivität der zugehörigen Bilinearform fordern (-> Lax-Milgram), oder beweisen, dass das zugehörige homogene Problem eindeutig lösbar ist (-> Fredholmsche Alternative)), und dass für f gleich null immer nichttriviale Lösungen existieren (betrachte das Beispiel des Laplace-Operators: Mithilfe von Lax-Milgram folgt, dass 0 die eindeutige schwache Lösung ist)! -- 188.104.129.169 13:36, 11. Sep. 2010 (CEST)

Wie würdest du es formulieren? Wäre

Sei P ein elliptischer Differentialoperator der Ordnung zwei. Für jede beschränkte Funktion $f\in L^{2}(U)$ existiert eine schwache Lösung u des Randwertproblems $Pu=f\ {\text{in}}\ U$, $u=0\ {\text{in}}\ \partial U.$

besser, oder fehlen noch weitere Forderungen (Regularität von $U$)? --Tolentino 14:03, 11. Sep. 2010 (CEST)

Das Gebiet sollte so beschaffen sein, dass die Poincaresche Ungleichung erf"ullt ist, falls man die Randwerte im Sinne einer Spur haben m"ochte, so sollte zudem der Spuroperator wohldefiniert sein (z.B. U beschr"ankt und liptschitz).

Ansonsten denke ich, dass die Argumentation der L"osbarkeit der Gleichung mithilfe der Fredholmschen Alternative etwas zu aufw"andig ist. Das einfachste w"are wohl (U wie eben beschrieben):

Sei $a:H_{0}^{1}(U)\times H_{0}^{1}(U)\to \mathbb {R}$, die zu dem Differentialoperator geh"orende Bilinearform, stetig und koerziv. F"ur beliebiges $f\in L^{2}(U)$ existiert dann eine eindeutige L"osung der Gleichung $a(u,\phi )=(f,\phi )_{L^{2}}\quad \forall \phi \in H_{0}^{1}$ -- 188.110.118.102 12:52, 12. Sep. 2010 (CEST)

Mal angenommen, ich würde zusätzlich die Lipschitz-Regularität des Randes von $U$ fordern, wäre die folgende Formulierung in Ordnung?

Sei $P$ ein elliptischer Differentialoperator der Ordnung zwei. Für jede Funktion $f\in L^{2}(U)$ existiert eine eindeutige schwache Lösung $u$ des Randwertproblems

$Pu=f\ {\text{in}}\ U$

$\ u=0\ {\text{in}}\ \partial U$,

falls die zum Differentialoperator $P$ assoziierte Bilinearform ${\mathcal {P}}$ stetig und koerziv ist, worin ${\mathcal {P}}:H_{0}^{1}(U)\times H_{0}^{1}(U)\rightarrow \mathbb {R}$ definiert ist mittels:

${\mathcal {P}}(u,\varphi ):=\int _{U}\left(-\sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\partial _{x_{i}}u(x)\partial _{x_{j}}\varphi (x)\right)+\left(\sum _{i}^{n}b_{i}(x)\partial _{x_{i}}u(x)\varphi (x)\right)+c(x)u(x)\varphi (x){\rm {d}}x$.

Gruß, --Tolentino 17:23, 12. Sep. 2010 (CEST)

Ich sehe schon selber, dass $L^{\infty }(U)$ für die Koeffizientenfunktionen sicher eine weitere sinnvolle Forderung wären. --Tolentino 17:25, 12. Sep. 2010 (CEST)

Drehen wir uns bei den Anforderungen nicht ein bisschen im Kreis? Wenn die Koeffizientenfunktionen in $L^{\infty }$ liegen, dann ist ja trivialerweise

$|{\mathcal {P}}(u,\varphi )|\leq \sum \|a_{ij}\|_{\infty }\|u\|_{H^{1}}\|\varphi \|_{H^{1}}+\sum \|b_{i}\|_{\infty }\|u\|_{H^{1}}\|\varphi \|_{H^{1}}+\|c\|_{\infty }\|u\|_{H^{1}}\|\varphi \|_{H^{1}}\leq {\rm {const}}\|u\|_{H^{1}}\|\varphi \|_{H^{1}}$,

also ist ${\mathcal {P}}$ stetig, wenn du den Definitionsbereich so wie oben setzt - und die Beschränktheit von $U$ wurde hierbei nicht verwendet. Und kommt die Koerzivität nicht von der Poincaré-Ungleichung? --Tolentino 18:11, 12. Sep. 2010 (CEST)

1) Ja, aus der Beschr"anktheit der Koeffizienten folgt die Stetigkeit der zugeh"origen Bilinearform (sowie die wohldefiniertheit).

2) Die Koerzivit"at folgt nicht aus der Poincareschen Ungleichung. F"r einen allgemeinen elliptischen Operator 2. Ordnung (mit beschr"ankten Koeffizienten) gilt lediglich die Gardingsche Ungleichung.

3) Du ben"otigst f"ur die L"osbarkeit erstmal keine Beschr"anktheit des Gebietes. Die Frage ist nur, was du mit "0-Randwerten" meinst, da ich den Spursatz nur f"ur beschr"ankte Lipschitzgebiete kenne.

Gru"s -- 129.206.101.99 18:24, 14. Sep. 2010 (CEST)

Hallo, ich habe jetzt mal den Artikel abgeändert. Ist es so erst einmal in Ordnung? Gruß, --Tolentino 19:39, 14. Sep. 2010 (CEST)

Umbenennung des Artikels

Spricht irgendetwas dagegen, den Artikel von "Elliptischer Differentialoperator" in "Elliptische partielle Differentialgleichung" umzubenennen? Das wäre meiner Meinung nach der gängigere Begriff.--KMic 09:35, 15. Jun. 2011 (CEST)

Das kommt wohl darauf an, in welchem Gebiet der Mathematik man sich mit dem Objekt beschäftigt. Aber mir ists auch recht, wenn Du den Artikel verschieben willst, jedoch sollten dann im Text gewisse Feinheiten angepasst werden, da dort ja auch mehr von Operatoren als von Gleichungen gesprochen wird. --Christian1985 (Diskussion) 10:01, 15. Jun. 2011 (CEST)

Ok, dann werde ich das mal in Angriff nehmen. Mir geht es auch ein wenig um die Konsistenz zu dem Artikel Parabolische partielle Differentialgleichung und dem (noch zu erstellenden...) Artikel Hyperbolische partielle Differentialgleichung.--KMic 12:42, 15. Jun. 2011 (CEST)

Erledigt.--KMic 15:48, 15. Jun. 2011 (CEST)

Zur Einleitung habe ich noch eine Anmerkung. Elliptische Differentialoperatoren müssen meiner Ansicht nach nicht zwangsläufig Ordnung zwei haben. Der unter Beispielen aufgeführte Cauchy-Riemann-Operator ist von erster Ordnung und im Abschnitt über die Pseudodifferentialoperatoren ist die Ordnung beliebig. --Christian1985 (Diskussion) 16:20, 15. Jun. 2011 (CEST)

Stimmt, habe es korrigiert. Die Definition im Abschnitt "Elliptischer Differentialoperator" ist auch für Ordnung m angegeben.--KMic 16:50, 15. Jun. 2011 (CEST)

Maximumsprinzip

Mich irritiert die Aussage der Folgerung "dann ist u konstant". Denn habe ich z.B. bei 1. ein konstantes $u(x)=k$, so ist doch $Pu=ck\leq 0\Rightarrow k\leq 0$. Nun folgt doch durch die Bedingung, u habe ein nichtnegatives Max in U, dass u konstant 0 ist. Somit lautet die Aussage doch immer "dann ist u konstant null".

Besser faende ich fuer den Abschnitt Maximumsprinzip folgende Formulierung: ---

Für elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung gilt ein Maximumsprinzip. Sei $c\geq 0$ in U und sei $u\in C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})$.

Dann gilt...

1. Falls $Pu=f\leq 0inU$:

u nimmt sein Maximum auf dem Rand von U an, d.h. $\sup _{x\in \Omega }{u}\leq \sup _{x\in \Omega }{\max(u,0)}=\max(\sup _{x\in \partial \Omega }{u},0)$.

Nimmt u also ein nichtnegatives Maximum in einem inneren Punkt von ${\overline {U}}$ an, dann ist u konstant null.

2. [analog] Falls ..., so nimmt u sein Minimum auf dem Rand von U an, d.h. ...

--- Ist das so richtig, und was haltet ihr von der Aenderung?

Sorry, ich weiss meinen Login gerade nicht. -- 77.23.165.51 01:09, 28. Nov. 2011 (CET)