Diskussion:Finaltopologie

Fehler in der ersten Bemerkung

In den Bemerkungen steht

„Hier wird sie als Infimum gewisser Topologien im Verband aller Topologien auf X angesehen: Durch jede einzelne Abbildung $f_{i}$ wird aus dem Urbildraum $Y_{i}$ eine topologische Struktur $S_{i}$ auf X übertragen – die Bilder von in $Y_{i}$ offenen Mengen bilden jeweils eine Basis für eine solche Topologie auf $X$ – und die Finaltopologie S ist der Durchschnitt all dieser Topologien! Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Finaltopologie beweisen.“

Diese Bemerkung ist meiner Meinung nach falsch: Nimmt man eine Familie mit nur einer Abbildung $f:Y\to X$ so würde aus dieser Bemerkung folgen, dass die Bilder offener Mengen in $Y$ eine Basis der Finaltopologie auf $X$ bilden. Ist $f$ allerdings nicht injektiv, so kann dies falsch sein: Betrachtet man etwa das Beispiel $Y=I=[0,1]\subseteq \mathbb {R}$ und $X=I/\sim$ bezüglich der Äquivalenzrelation, die 0 und 1 identifziert, so ist etwa $U=\left({\frac {1}{2}},1\right]$ offen in $Y$, das Bild ist allerdings nicht offen in $X$, da $f^{-1}(f(U))=\{0\}\cup \left({\frac {1}{2}},1\right]$ nicht offen in $Y$ ist. --20:50, 21. Mai 2013 (CEST) (ohne Benutzername signierter Beitrag von 92.224.72.94 (Diskussion))

Ja danke, das war falsch. Die Bilder offener Mengen unter einer Quotientenabbildung müssen nicht offen sein. Ich habe den Teilsatz jetzt erst mal entfernt. -- HilberTraum (Diskussion) 16:36, 22. Mai 2013 (CEST)