Diskussion:Fréchet-Metrik

Quelle für Definition 1:

Das Lehrbuch "Lineare Funktionalanalysis", H.W. Alt, definiert den Begriff der Fréchet-Metrik so, wie ich es im Artikel übernommen habe.

Eine Netzquelle der Verwendung (leider nicht der Definition) ist http://www.math.chalmers.se/Math/Research/HarmonicAnalysis/OldSeminars/

We consider the infinite dimensional complete metric space R^∞ with the product topology and Frechet metric d(x,y)=sum 2^-n min{1,|yn- xn|}, which is a natural infinite dimensional extension of the n-dimensional Euclidian spaces.

Quelle für Definition 2:

Google-Ergebnisse, leider nicht mehr zur Hand.

Überarbeiten, erweitern!

Zur 1. Definition: Wieso sollte aus diesen Axiomen die Dreiecksungleichung folgen? Ist mir nicht ersichtlich. Wenn sie nicht folgt, sollte irgendwie erklärt werden, was dann noch metrisch an dieser "Metrik" ist. Es handelt sich (wegen ρ>=0) eh höchstens um eine Pseudometrik. Hatte hier was überlesen.--KleinKlio 02:18, 13. Nov. 2006 (CET)

Zur 2. Definition: Ohne das hier (durch einen Link oder eine Erklärung hier) verdeutlicht wird, was "Korrespondenz" hier heißt (etwa: Die kurven werden gemeinsam parametrisiert und sup(t) |k1(t)-k2(t)| genommen ??) ist der Satz für mich dunkel. Kenne den Begriff Fréchet-Metrik nicht und kann daher nicht helfen.

In Metrischer Raum steht im Absatz Metrischer Raum#Beispiele: nicht durch Normen erzeugte Metriken wörtlich dasselbe wie hier (der Satz mit den ominösen Korrspondenzen). Sollte geklärt werden.

Möglicherweise ist der Artikel hier vom Radarschirm verschwunden, weil eine diesbezügliche disku in Diskussion:Metriken im Vektorraum statgefunden hat, der betreffende Artikel ist jetzt nur noch ein redirect.

Setze den Artikel zum Zweck der Klärung auf die Lste Portal:Mathematik/Überarbeitungswürdige Artikel.

--KleinKlio 23:38, 12. Nov. 2006 (CET)

Ein weiteres Problem: In welche Kategorie damit? LinAlg scheint mir nicht überzeugend. --KleinKlio 18:47, 13. Nov. 2006 (CET)

Ergänzung zum Problem der Dreiecksungleichung: Die folgende Funktion ρ auf R erfüllt die im Artikel genannten Axiome, aber nicht die Dreiecksungleichung: $\rho (x):={\begin{cases}3\quad x\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\\0\quad x=0\\1\quad {\mbox{sonst}}\end{cases}}$, denn der Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen ist länger als die "Weglänge" über einen irrationalen Zwischenpunkt.--KleinKlio 23:38, 20. Nov. 2006 (CET)

Ich habe mal im "Heine, Topologie und Funktionalanalysis" nachgesehen, dort wird die von abzählbar vielen Metriken auf einem Raum $X$ erzeugte Metrik $\sum _{j\in \mathbb {N} }2^{-j}{\frac {d_{j}(x,y)}{1+d_{j}(x,y)}}$ als Fréchetmetrik bezeichnet.

Diese Metrik ist mir an anderer Stelle auch schon begegnet: Hat man lokalkonvexe Räume, die von höchstens abzählbar vielen Halbnormen erzeugt werden, und erfüllen die Halbnormen eine bestimmte Trennungseigenschaft, dann ist die von den zu den Halbnormen gehörige Frechet-Pseudo-Metrik eine Frechet-Metrik und topologisch äquivalent zur lokalkonvexen Topologie. --Erzbischof 18:15, 21. Nov. 2006 (CET)

Na ja, die chordale Metrik habe ich selbst in Pseudometrik verwendet. Wenn der Ausdruck so beliebig verwendet werden kann und unter den derzeitigen Für-Mathe-Sich-Zuständig-Fühlenden keiner hinreichenden Überblick hat, dann scheint mir ein Löschantrag angemessen. So wie er ist, taugt der Artikel nix, und Verbesserung ist momentan nicht zu erhoffen. Dieser stub-Versuch kann wohl als gescheitert gelten. --KleinKlio 21:00, 21. Nov. 2006 (CET)

PS Vor dem LA warte ich natürlich noch die Recherchen von Möws und Erzbischof ab, siehe anschließenden thread. --KleinKlio 21:11, 21. Nov. 2006 (CET)

Von mir ist nichts spannendes mehr zu erwarten ;-) Aber vermissen wird den Artikel in diesem Zustand keiner. Also abwarten und eventuell LA stellen. --Erzbischof 21:53, 21. Nov. 2006 (CET)

Ich habe in der Bibliothek gestöbert und nur den oben erwähnten Heine gefunden, der diese von einer abz. Familie von Halbnormen erzeugte Frechet-Metrik erwähnt. Allerdings wird dieses Objekt nur in den Übungsaufgaben erwähnt. Ich denke, dass es dem Artikel an Relevanz mangelt. --R. Möws 21:00, 22. Nov. 2006 (CET)

Nachtrag: Ich stelle mal meinen allerersten Löschantrag. --R. Möws 21:02, 22. Nov. 2006 (CET)

Kategorie

Ich würde das thematisch eher bei Funktionalanalysis als bei LinAlg einordnen. Allerdings bin ich dieser "Metrik" bis jetzt noch nicht begegnet. Ich werde morgen mal in der Bibliothek Indices durchstöbern. --R. Möws 00:39, 21. Nov. 2006 (CET)

Entweder Topologie oder Funktionalanalysis, aber nicht lineare Algebra.--Erzbischof 18:28, 21. Nov. 2006 (CET)

Bei Frechet-Räumen handelt es sich um eine Erweiterung des Begriffes der Banachräume. Könnte nächste Woche von mir überarbeitet werden. --Ralf Scholze

Neue Version

"Bei nichtnormierbaren, lokalkonvexen topologischen Vektorräumen ist die Topologie durch ein abzählbares System von Halbnormen gegeben, das eine abzählbare Nullumgebungsbasis impliziert." Es muß heißen: bei "einigen" lokalkonvexen topologischen Vektorräumen, der lokalkonvexe Räum der punktweisen Konvergenz ist durch überabzählbar viele Halbnormen $p_{t}(x)=|x(t)|$ gegeben.

Die Definitheit der Frechét-Metrik hängt von der Existenz von Halbnormen mit $p_{t}(x)\neq 0\forall x\neq 0$ ab.

Die Summe $\sum _{j\in \mathbb {N} }{\frac {p_{j}(x-y)}{1+p_{j}(x-y)}}$ konvergiert eventuell gar nicht (oder fehlt einfach $2^{-j}$?) Dann ist aber $\sum _{j\in \mathbb {N} }2^{-j}{\frac {p_{j}(x-y)}{1+p_{j}(x-y)}}$ eine Metrik, oder? Und die erfüllt die Dreiecksungleichung.--Erzbischof 16:35, 6. Dez. 2006 (CET)

2^{-j} hatte ich in der Tat unterschlagen und mit nicht abzählbaren Systemen von Halbnormen hast Du recht. Die Frechet-Metrik erfüllt aber meines Wissens nicht die Dreiecksungleich. --Ralf Scholze 09:43, 8. Dez. 2006 (CET)

Wenn alle $p_{j}$ die Dreiecksungleichung erfüllen, dann natürlich auch obige Summe, schliesslich gilt $a\leq b\Longleftrightarrow {\frac {a}{1+a}}\leq {\frac {b}{1+b}}\quad \forall \,a,b\geq 0$ --Enlil2 17:32, 8. Dez. 2006 (CET)

Du mußt zeigen, dass

${\frac {p_{j}(x+y)}{1+p_{j}(x+y)}}\leq {\frac {p_{j}(x)}{1+p_{j}(x)}}+{\frac {p_{j}(y)}{1+p_{j}(y)}}$

Da gibt es, wenn ich mich an mein über zwanzig Jahre zurückliegendes Studium richtig zurückerinnere, Probleme. --Ralf Scholze 17:01, 11. Dez. 2006 (CET)

Nein, Enlil2s Argument reicht zwar noch nicht ganz, wenn man jedoch noch zusätzlich berücksichtigt, dass ${\frac {a+b}{1+a+b}}\leq {\frac {a}{1+a}}+{\frac {b}{1+b}}\quad \forall \,a,b\geq 0$, dann folgt das.

Dein Engagement in Ehren, aber bitte schreibe nur über Themen, mit denen du dich auskennst oder über die du dich gut informiert hast; und gib deine Quellen an.

Die neue Version hat noch andere Mängel, und zwar hat die erste Hälfte des Texts erst einmal gar nichts direkt mit dem Lemma zu tun, sondern stellt eine Doppelung zu lokalkonvexer Raum dar (mit dem sie allerdings zu allem Überfluss nicht ganz überinstimmt). Eigentlich sollte jeder Wikipedia-Artikel mit einer Definition des Lemmas beginnen. Inzwischen hat Krlkch zumindest einen Einleitungssatz ergänzt.

Schließlich weise ich darauf hin, dass das "die sogenannte Fréchet-Metrik" genannte d nur ein mögliches d ist, zB weil je nach Wahl der j-Nummierung verschiedene Resultate herauskommen. Woher hast du die Formel und erscheint sie dort wirklich als Definition des Begriffs "Fréchet-Metrik"? Oder wird dort nur gesagt, dass dieses d die Eigenschaft hat, eine Fréchet-Metrik zu sein? Es scheint ja durchaus der Definition zu entsprechen, die in der ursprünglichen Artikelversion angegeben war. Ich denke, das beste wäre es, jemand schlägt die damals angegebene Quelle nach (H. W. Alt), wahrscheinlich ist die dort vorhandene Definition damals nur unvollständig übernommen worden.

grüße, Hoch auf einem Baum 19:02, 11. Dez. 2006 (CET)

@Ralph Scholze: Ich weiss sehr wohl, was man zeigen muss. Ich führe doch hier nicht jede Kindergarten-Rechnung explizit vor! Bitte informiere dich vorher gründlicher und schreib nur über Dinge, von denen du was verstehst. --Enlil2 20:34, 11. Dez. 2006 (CET)

Bitte Literatur- und Quellenangaben nachliefern! --Enlil2 17:34, 8. Dez. 2006 (CET)

@: Hoch auf einem Baum: Das mit der Nummerierung kann man so oder so sehen. Wahrscheinlich ist es besser, wenn man von "Von einer Folge von Halbnormen erzeugte Fréchet-Metrik" redet. Folgen kann man ja im Gegensatz zu Familien nicht umsortieren.

Zu der Doppelung gibt es eine Diskussion auf Portal_Diskussion:Mathematik.--R. Möws 19:29, 11. Dez. 2006 (CET)

Topologische Äquivalenz?

Erzeugen verschiedene F.-Normen zu der gleichen Familie die gleiche Topologie (nämlich die von dem System der Halbnormen)? Ich vermute ja, habe aber keinen Literaturbeleg und kann es auch nicht nachprüfen. Das sollte eigentlich so sein, weil in jedem Fall alle Halbnormen miteinbezogen werden. Hat da jemand mehr Ahnung als ich? --R. Möws 03:24, 12. Dez. 2006 (CET)

Hmm, sollte eigentlich klar sein, wenn Du Dir die topologische Definition ansiehst, was eine durch eine Familie von Halbnormen definierte Topologie ist. Diese Topologie ist unabhängig von einer auf dieser Familie eingeführten Ordnung. Und im abzählbaren Fall induziert dann die sog. (ich warte noch auf eine Quelle für den Namen, die nicht bloss ad-hoc-Begriffsbildung ist) "Fréchet-Metrik" die gleiche Topologie. --Enlil2 20:03, 13. Dez. 2006 (CET)

Danke. Zugegebenermaßen will ich mich nicht in Topologie stürzen. Schön, dass alles so gut passt. Dann bleibt der Fréchet-Raum auch mit der Metrik vollständig.

Wie oben schon von Erzbischof erwähnt: Heine: "Topologie und Funktionalanalysis" hat eine Übungsaufgabe zu der wie hier definierten Metrik; dort wird sie Fréchet-Metrik genannt. --R. Möws 00:42, 14. Dez. 2006 (CET)

Name/Begriffsbildung

(c&p von oben)

(ich warte noch auf eine Quelle für den Namen, die nicht bloss ad-hoc-Begriffsbildung ist) "Fréchet-Metrik" die gleiche Topologie. --Enlil2 20:03, 13. Dez. 2006 (CET)

Wie oben schon von Erzbischof erwähnt: Heine: "Topologie und Funktionalanalysis" hat eine Übungsaufgabe zu der wie hier definierten Metrik; dort wird sie Fréchet-Metrik genannt. --R. Möws 00:42, 14. Dez. 2006 (CET)

Das habe ich schon gesehen. Eine Erwähnung in einer Übungsaufgabe ist aber nicht genug, da mglw. ad-hoc-Begriffsbildung. --Enlil2 13:11, 16. Dez. 2006 (CET)

Was machen wir denn, wenn wir keine andere Quelle als die Uebungsaufgaben als Quelle finden? Der Artikel ist ja inhaltlich OK. Bezweifelst du die Relevanz dieser Metrik? Ein LA erschiene mir ein wenig zu aggrssiv, der letzte wurde ja vor einem Monat gestellt und mit Wunsch auf Ueberarbeitung abgewiesen. -- R. Möws 16:45, 17. Dez. 2006 (CET)

Wenn es keine andere Quelle dafür gibt, ist es eben eine Begriffsbildung diese Autors; bei Übungsaufgaben werden häufig Bezeichnung eingeführt, die nur im Kontext der jeweiligen Aufgabe Bedeutung haben. Der Abschnitt könnte in diesem Fall m. E. problemlos in Fréchet-Raum untergebracht werden, wo er thematisch auch hingehört. --Enlil2 20:33, 20. Dez. 2006 (CET)

vollständige Überarbeitung

Da die Diskussion über diesen Artikel seit einem Jahr ruht, habe ich ihn fast vollständig geändert. Ich habe mich an der Definition von H. W. Alt orientiert, da diese für jeden beliebigen Vektorraum gilt und nicht nur für lokal konvexe Räume, wie die alte. Ursprünglich enthielt der Artikel bereits diese Definition, die jedoch ohne für mich nachvollziehbare Begründung durch eine ungleich schwierigere und zu spezielle ersetzt wurde.

Erstabzählbarkeitskriterium

Die Behauptung "Ein topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist." ist falsch, da mindestens die Hausdorffeigenschaft fehlt. Wenn man diese Eigenschaft hinzufügt, bin ich aber nicht sicher, ob die Behauptung dann für beliebige topologische Vektorräume stimmt oder ob man sich doch auf lokalkonvexe Räume beschränken sollte. Soll heißen: Wie kriegt man aus einem topologischen Vektorraum mit erstem Abzählbarkeitsaxiom und Hausdorff-Eigenschaft eine Fréchet-Metrik? Kann jemand eine Quelle für obige Behauptung angeben? (nicht signierter Beitrag von 78.53.3.97 (Diskussion) 00:53, 13. Jan. 2012 (CET))

Nur weil diese Kritik bis jetzt nicht beantwortet wurde: Du hast Recht: Hausdorff ist natürlich notwendig (habe ich ergänzt). Allerdings sind nicht-Hausdorffsche Topologische Vektorräume auch nicht sonderlich spannend, da man sie kanonisch verhausdorffen kann, indem man den Abschluss der {0} herausfaktorisiert. Die Lokalkonvexität ist allerdings nicht notwendig. Und zwar ist die additive Gruppe eines topologischen Vektorraums (lokalkonvex oder nicht) immer eine topologische Gruppe. Und man kann zeigen, dass eine topologische Gruppe genau dann erstabzählbar ist, wenn ihre Topologie von einer translationsinvarianten Metrik erzeugt wird (Quelle müsste ich suchen). Die explizite Konstruktion ist einer solchen Metrik ist allerdings wesentlich hässlicher als im Falle lokalkonvexer Räume, wo man die Metrik einfach als eine konvergente Reihe schreiben kann (siehe Artikel). Viele Grüße, --Cosine 10:42, 27. Feb. 2012 (CET)