Diskussion:Funktion (Mathematik)

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Überarbeiteter Vorschlag

Einleitung

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Eine Funktion, auch spricht man von Abbildung, ordnet mathematischen Objekten mathematische Objekte zu, zum Beispiel jeder Zahl deren Quadrat oder jeder Menge die Menge ihrer Teilmengen. Funktionen sind eindeutige Zuordnungen, das heißt, keinem Objekt wird mehr als ein Objekt zugeordnet. Sie nehmen in der Mathematik eine zentrale Stellung ein, in vielen mathematischen Disziplinen sind deren Objekte Funktionen.

Definition der Basisbegriffe

Funktionen sind rechteindeutige Klassen geordneter Paare, das heißt, sie haben keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente. Ist eine Funktion, $f$, auch linkseindeutig, dann nennt man sie eineindeutig oder injektiv oder eine Injektion und bezeichnet mit $f^{-1}$ ihre Inverse, das ist die aus $f$ durch Austausch der Komponenten in ihren Elementen hervorgehende Funktion. Zum Beispiel ist $\{(1,2),(3,4)\}^{-1}=\{(2,1),(4,3)\}$.

Die Gesamtheit der linken sowie die der rechten Komponenten der Elemente von $f$ heißt ihr Definitionsbereich: ${\text{D}}\!_{f}$ respektive Wertebereich: ${\text{W}}\!_{f}$.

Für $(a,b)\!\in \!f$ schreibt man auch $f\!:\!a\mapsto b$ und sagt: "$f$ ordnet dem Objekt $a$ das Objekt $b$ zu", und nennt $b$ Funktionswert von $f$ für das Argument $a$, formal: $f(a)$.

Funktionsarten

Man nennt $f$ eine Funktion aus $A$ in $B$, formal $f\!:\!A\!\longrightarrow \!B$, wenn ${\text{D}}\!_{f}\!\subseteq \!A$ und ${\text{W}}\!_{f}\!\subseteq \!B$, insbesondere nennt man sie totale Funktion aus $A$ in $B$ oder kurz Funktion von $A$ in $B$, formal $f\!:\!A\!\to \!B$, wenn ${\text{D}}\!_{f}\!=\!A$ und surjektive Funktion aus/von $A$ in $B$ oder kurz Funktion aus/von $A$ auf $B$, formal $f\!:\!A-\!\!\!\twoheadrightarrow \!\!/\!\!\twoheadrightarrow \!B$, wenn ${\text{W}}\!_{f}\!=\!B$.
Ist $f$ injektiv, dann setzt man die Feder $\rightarrowtail \!\!\!\!\!\!\!{\color {White}{\bullet \!\!\bullet }}\!\!\!\!\!$ vor den Pfeil, zum Beispiel steht $f\colon \!A\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\rightarrowtail \!B$ für "$f$ ist eine injektive Funktion von $A$ auf $B\,$". Für das Attributepaar "injektiv,surjektiv" sagt man auch bijektiv.

Funktion als Tripel

Gleichbedeutend mit der Aussage $f\!:\!A\!\longrightarrow \!B$ ist das auch "Funktion" genannte Tripel $(f,A,B)$. Die erste Komponente so eines Tripels, $t$, heißt sein Graph: ${\text{G}}_{t}$ und man schreibt statt ${\text{G}}_{t}(x)$ einfach $t(x)$, entsprechend $(x,y)\!\in \!t,~t\!:\!x\mapsto y,~{\text{D}}_{t},~{\text{W}}\!_{t}$.

-- Lothario Hederich (Diskussion) 10:36, 26. Dez. 2016 (CET)