Diskussion:GPS-Grundgleichungen

Zur Diskussion, ob es reicht, die Differenzen der Signallaufzeiten zu haben hier mal eine Zwischenrechnung:

In der Gleichungen (16) [analog auch (17) und (18)] der Grundgleichungen tritt folgendes Glied auf:

$(c^{2}t_{1}^{2}-c^{2}t_{4}^{2})$

Zunächst wird $c^{2}$ ausgeklammert:

$=c^{2}(t_{1}^{2}-t_{4}^{2})$

Die Klammer wird binomisch zerlegt:

$=c^{2}(t_{1}-t_{4})(t_{1}+t_{4})$

Neben den Zeitdifferenzen wird also auch die Summenzeit gebraucht.--Physikr 07:33, 25. Feb 2006 (CET)

Aber Physikr, du hast ja einfach nur einen Gleichungsteil herausgegriffen und gezeigt, dass dessen Wert sich bei einer Verschiebung aller Zeiten um Δt ändert. Du musst den Gesamtterm

$c^{2}t_{1}^{2}-c^{2}t_{4}^{2}-2c^{2}(t_{1}-t_{4})t_{0}$

betrachten. Wenn du da t0 bis t4 durch ti'=ti+Δt ersetzt und ausmultiplizierst, erhältst du den selben Ausdruck wie zuvor, d. h. Änderungen des Wertes von

$c^{2}(t_{1}-t_{4})(t_{1}+t_{4})$

werden durch Änderungen von Termen, die du einfach unterschlagen hast, kompensiert. Natürlich nur, wenn du eben auch t0 um Δt änderst, aber das ist ja logisch, wenn du quasi den Nullpunkt deiner Zeitskala um Δt verschiebst, ist ja auch t0 betroffen. --Wolfgangbeyer 09:38, 25. Feb 2006 (CET)

Damit hast Du wieder t0 hereingeschmuggelt - und das ist zu diesem Zeitpunkt der Rechnung noch unbekannt. Also ist die Zeitverschiebung gar nicht möglich.--Physikr 09:56, 25. Feb 2006 (CET)

Damit es klarer wird, im ersten Diskussionsbeitrag noch die Numerierung eingefügt.--Physikr 10:22, 25. Feb 2006 (CET)

"Damit hast Du wieder t0 hereingeschmuggelt - und das ist zu diesem Zeitpunkt der Rechnung noch unbekannt." Das ist ja nicht relevant. Es geht ja nur darum, dass alle Gleichuneg noch aufgehen, wenn sich alle ti verändern aber ihre Differenzen nicht. "Also ist die Zeitverschiebung gar nicht möglich." Zeitverschiebungen sind immer möglich. Das ist ein fundamentales Naturgesetz.

Aber ok, du hattest eine andere Gleichung betrachtet. Auch die geht auf, denn mit ti'=ti+Δt ändern sich ja auch die Beziehung zwischen x0, y0, z0 und t0. Konkret erhältst du andere x00', y00' und z00', z. B. x00'=x00+x0t * Δt usw. Wenn du das in Gl. 16-18 einsetzt, stimmen sie wieder. --Wolfgangbeyer 16:51, 25. Feb 2006 (CET)

Jein. Natürlich kann alles zu anderen Zeiten sein. Dann ist aber der Ort der sendenden Satelliten ein anderer. Die Differenzen der Zeiten sind nur bei LORAN oder ähnlichen Verfahren zeitinvariant. Wegen der Bewegung der Satelliten sind die Zeitdifferenzen nicht invariant gegen Zeitänderungen. Betrachten wir zu irgendeinem Zeitpunkt zwei Satelliten in Horizontnähe auf einer Ebene, die von den 2 Satelliten und dem Empfänger aufgespannt wird. Ein Satellit soll sich dem Empfänger nähern, der andere entfernen. Damit ist der ändert sich der Zeitunterschied pro ms um ca. 54 $\mu s$ (= 2 * 27 $\mu s$). Also ist die Zeitdifferenz nicht invariant gegen Zeitänderungen. Natürlich bleibt aber bei unbeweglichen Meßort der Meßort invariant gegen unterschiedlichen Meßzeitpunkten.--Physikr 17:17, 25. Feb 2006 (CET)

Klar, was für eine Positionsbestimmung ausreicht, sind die Laufzeitdifferenzen und die Satellitenorte für den Moment, in dem die gleichzeitig eintreffenden und verwendeten Zeitstempel abgeschickt wurden. Und wenn sich die Satelliten bewegen, dann braucht man die Zeitstempel selbst natürlich schon auch. --Wolfgangbeyer 19:29, 25. Feb 2006 (CET)

Genau diese Laufzeitdifferenzen sind ja unbekannt, weil der Empfänger die Laufzeiten der einzelnen Satellitensignale zu ihm gar nicht genau kennt. Er kann sie nur grob abschätzen, weil er weiß, dass die empfangbaren Satelliten alle über seinem Horizont stehen müssen. Also kann der Fehler im Bereich von 20 ms liegen. Deswegen können diese Differenzen auch nicht für eine Positionsbestimmung ausreichen, selbst nicht bei Kenntnis der Satellitenorte. --172.180.206.251 21:20, 25. Feb 2006 (CET)

Er braucht sie auch nicht grob abzuschätzen, weil die Angaben der Sendezeitpunkte und Sendeorte jedes Satelliten für die genaue Orts- und Zeitfehlerbestimmung des Empfängers ausreichen. Wiederhole doch bitte nicht immer wieder das längst Widerlegte, es werde eine Grobschätzung gebraucht. Schau Dir bitte den Rechengang für die Bestimmung der 4 Unbekannten x0, y0, z0, t0 an. Mehr Daten als die 4 Sendezeitpunkte und die 4 Orte sind nicht erforderlich. Die Entfernungsgleichungen findest Du in jedem Artikel zur Positionsbestimmung mittels GPS - bloß meistens steht der Unsinn dabei, daß zur Lösung der des Gleichungssystems Iterationen notwendig wären, d.h. man braucht angeblich eine grobe Position um dann die Anfangsnäherung schrittweise zu verbessern.

Es werden aber bei dem angeblich notwendigen Iterationsprozeß keine weiteren Daten verwendet als diejenigen, die schon von Anfang an verwendet werden.--Physikr 22:07, 25. Feb 2006 (CET)

@172.*.*.*: Die Laufzeiten sind nicht bekannt. Das heißt aber doch nicht, dass das auch für die Laufzeitdifferenzen gilt. Das ist ja gerade der Trick. Zu ihrer Bestimmung siehe mein Kommentar unter Diskussion:Global Positioning System. --Wolfgangbeyer 22:43, 25. Feb 2006 (CET)

"Die Entfernungsgleichungen findest Du in jedem Artikel zur Positionsbestimmung mittels GPS" Nein, diese Gleichungen habe ich bisher in keinem Artikel gefunden.

"Mehr Daten als die 4 Sendezeitpunkte und die 4 Orte sind nicht erforderlich." Doch, es ist erforderlich, dass die t0 in allen 4 Gleichungen denselben Zeitpunkt bezeichnen, genauso wie die x0, y0 und z0 dieselben Ortskoordinaten bezeichnen. Die verschiedenen Satellitensignale müssen also den Empfänger gleichzeitig erreichen. Das steht ja auch so korrekt im Artikel. Und nur dann kann man die t1 bis t4 und die zugehörigen Satellitenkoordinaten als gültig verwenden. Erreichen die Signale den Empfänger zu unterschiedlichen Zeitpunkten t01 bis t04 (der allgemeine Fall), dann besitzen die Zeitstempel t1 bis t4 keinen für die Berechnung gültigen Zusammenhang mehr mit den zugehörigen Satellitenkoordinaten, denn die Satelliten bewegen sich ja ständig.

"Die Laufzeiten sind nicht bekannt. Das heißt aber doch nicht, dass das auch für die Laufzeitdifferenzen gilt." Die ti-t0 bezeichnen in den Gleichungen die Signallaufzeiten, weil wir davon ausgehen, dass die (unbekannte) Zeit t0 die Systemzeit beim Empfänger ist. Bilden wir nun die Laufzeitdifferenzen, dann erhalten wir als Ergebnis die Differenzen der Zeitstempel ti-tj, weil die gemeinsame Zeit t0 herausfällt. Wenn die Signale aber zu unterschiedlichen Zeiten t01 bis t04 eintreffen, dann ergibt die erneute Differenzbildung (t1-t01)-(t2-t02)=(t1-t2)-(t01-t02) nicht die Differenz der Zeitstempel wegen t01-t02<>0. Die Laufzeitdifferenzen sind also nur im speziellen Fall die gewünschten ti-tj, wenn die Signale gleichzeitig beim Empfänger eintreffen. --172.177.108.204 12:27, 26. Feb 2006 (CET)

Überbestimmtes Gleichungssystem

"Für die Berechnung des Empfangsortes werden die Empfangsdaten von mindestens 4 Satelliten benötigt. Bei mehr als 4 empfangenen Satelliten ändert sich am Rechengang wenig, allerdings sind die Gleichungen dann überbestimmt, da mehr Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind."

Das ist so nicht ganz richtig. Bei Empfang von mehr als 4 Satelliten werden zusätzliche Unbekannte (z.B. zusätzliche Systemfehler, außer dem Empfangsfehler infolge des Uhrenfehlers) in die Gleichungen eingetragen und errechnet. Die Gleichungen werden also erweitert. Dadurch wird die Positionsbestimmung mit jedem zusätzlich (zu den 4 mindestens notwenigen) empfangenen Satelliten genauer. Lying8 09:35, 22. Apr 2006 (CEST)

Bei mehr empfangenen Satelliten wird die Lösung genauer - aber zusätzliche Fehlerquellen werden damit nicht eliminiert. Denn wären sie bekannt, könnten sie auch schon bei 4 empfangenen Satelliten eliminiert werden. Bei mehr als 4 empfangenen Satelliten wird im Sinne der Ausgleichsrechnung ein Empfangsort bestimmt, der in der Regel um so näher an dem wahren Empfangsort liegt, um so mehr Satelliten verwendet werden.

Für die Lösung von überbestimmten Gleichungssystemen hat die Mathematik viele Methoden entwickelt, bei der Bemerkung ging es nur um die Aufstellung und Lösung des GPS-Problems. Die einzelnen Lösungsverfahren (Gauß-Seidel, Cholesky, Schmidtsche Orthogonalisierung usw.) brauchen hier nicht behandelt zu werden.--Physikr 14:41, 22. Apr 2006 (CEST)