Diskussion:George Boole

Boolsche Variable

Ich bin gerade über "Auf George Boole sind die booleschen Variablen zurückzuführen, die zu den Grundlagen des Programmierens in der Informatik zählen" gestolpert. Im Gegensatz zu denen, die zu den Grundlagen des Programmierens in der Biologie zählen? ;-) -- daf_? 15:41, 13. Sep 2006 (CEST)

Das Zitat ist aus meiner Sicht nicht nur aus diesem Grund fragwürdig (in der Informatik wird ja per se eher sogar weniger programmiert; programmiert wird hauptsächlich in der Softwareentwicklung ;-)), sondern vor allem deshalb, weil nicht die Variablen auf Boole zurückzuführen sind (der hatte mit Programmiersprachen nichts am Hut), sondern allenfalls die Bezeichnung "Boolesche Variable" – und auch die hat er naturgemäß nicht selber eingeführt (ich vermute –dass jetzt aber ohne Quellenstudium– dass erst Wirth diese Bezeichnung mit Pascal eingeführt hat). Ich würde den Satz einfach radikal umformulieren (z.B. "In vielen Programmiersprachen sind Datentypen für logische Variablen nach Boole benannt, z.B. boolean in Pascal und Java oder bool in C++") oder ganz streichen. Viele Grüße, --GottschallCh 03:07, 14. Sep 2006 (CEST)

Stimmt, so weit hatte ich noch nicht gedacht. Klingt auf jeden Fall besser so. -- daf_? 08:37, 14. Sep 2006 (CEST)

Žegalkin/Stone

Stone prägte den Begriff "boolean ring", da er von van der Waerden den Ring-Begriff kannte. Er zitierte den russischen Mathematiker Žegalkin, der solch einen Ring faktisch schon in dem zitierten Werk schon benutzte. Über Žegalkin konnte ich sonst nirgends etwas erfahren. Wenn jemand etwas über ihn erfahren könnte, könnte er ein Extra-Artikel schreiben, und man könnte auf die angegebenen Literatur hier verzichten.

Der Žegalkin-Artikel ist inzwischen längst geschrieben, aber nur mit knappsten Daten.--Wilfried Neumaier 20:45, 25. Jan. 2008 (CET)

Alternative

Ich führe hier die Diskussion von Diskussion:Begriffslogik weiter.

x+y-xy klammere ich so: (x+y)(-xy) und übersetze ganz x oder ganz y oder beides ohne xy. xy ist nur im Fall "beides" gleich 0. (Disjunktion)

x-2(xy)+y interpretiere ich so x ohne xy oder y ohne xy oder beides, was dann zwangsläufig kein xy hat, so dass immer xy=0. Also ausgeschrieben (x-xy)+(y-xy). (Alternative)

Leider bin ich soweit Laie, dass ich nicht weiter sehe.

Bei Bochenski hatte ich Klammerregeln gelesen. Die Außenklammern werden weggelassen und weiteres. Da das aber nicht völlig trivial ist, müßte das mal erläutert, z.B unter Logische Klammerregeln, werden. Es verunsichert immens, wenn man das Gefühl hat sich mit den Klammern verhauen zu haben.--Room 608 19:14, 25. Jan. 2008 (CET)

Diese spezielle Bedeutung von Alternative kommt im Artikel Aussagenlogik auch gar nicht vor, nur die ausformulierte Version. Ich werde das mal einfügen.--Room 608 19:24, 25. Jan. 2008 (CET)

Zur Klärung habe ich Booles Ableitung der Disjunktion und Alternative in den Artikel aufgenommen.--Wilfried Neumaier 20:42, 25. Jan. 2008 (CET)

Danke. Dennoch hakts: 1-(1-x)(1-y) heißt für mich dann nicht (nicht x und nicht y). Oder muss man da schon rechnen bzw. klammern? --Room 608 21:04, 25. Jan. 2008 (CET)

Klar. Tippfehler, schon korrigiert.--Wilfried Neumaier 21:19, 25. Jan. 2008 (CET)

Sehr gut, dann seh ich schon klarer:1-(1-x-y+xy)= 0 + x+y(-xy).--Room 608 16:59, 26. Jan. 2008 (CET)

Booles Originalkalkül/Modifikationen von Booles Kalkül

Über Booles Originalkalkül steht im Artikel

„Boole benutzte für seinen Logikkalkül die damals bekannte Algebra, die heute als Potenzreihen-Ring über dem Körper der reellen Zahlen präzisiert wird. In diese Algebra bettete er die klassische Logik ein [...]. Es handelt sich dabei um [...] die übliche Addition x+y [...].“

In The Mathematical Analysis of Logic habe ich aber nichts von den reellen Zahlen gelesen, im Gegenteil:

Ab Seite 15 definierte er vollkommen abstrakt eine algebraische Struktur/Algebra, bestehend aus einer Einheit (keine Zahl) $1,$ die das Universum symbolisiert. Dann erklärte er darauf eine Kongruenz $=$ und eine Klasseneinteilung mit Operationen $+,\cdot$ (letzteres schrieb er ohne Symbol) und deren Rechengesetze (Linksdistributiv-, Kommutativ- und Idempotenzgesetz von $\cdot$). Auf Seite 20 führte er „nicht $x$“ als Komplement von $x$ ein und symbolisierte dies durch $1-x,$ denn $x$ und nicht-$x$ zusammen bilden das Universum (d.h. $x+(1-x)=1$). Ohne dies anzugeben, benutzte er dabei offenbar die Inverse $-x$ von $x,$ die Kommutativität, die Assoziativität und das neutrale Element $0$ von $+,$ sodass

$x+(1-x)=(1-x)+x=(1+(-x))+x=1+(-x+x)=1+0=1.$

Die Boolesche Algebra war daher ein multiplikativ idempotenter, kommutativer Ring mit Eins.

Darin hat man aber auch nicht die „übliche“ Addition, da ja

$x+x=(x+x)(x+x)=(x+x)x+(x+x)x=x(x+x)+x(x+x)=(xx+xx)+(xx+xx)=(x+x)+(x+x).$

Somit folgen die bekannten Eigenschaften

$0=-(x+x)+(x+x)=-(x+x)+((x+x)+(x+x))=(-(x+x)+(x+x))+(x+x)=0+(x+x)=x+x=2x$ sowie

$-x=-x+0=-x+(x+x)=(-x+x)+x=0+x=x,$

und schließlich

$x+y=(x+y)+0=(x+y)+(-0)=(x+y)-0=(x+y)-2xy.$

Mit anderen Worten: Booles Addition $+$ entsprach der ausschließenden Disjunktion. Sein Originalkalkül musste also durch Schegalkin (den Name habe ich nie zuvor gehört oder gelesen) gar nicht modifiziert, sondern nur die implizit von Boole benutzten Axiome der additiven Gruppe explizit angegeben oder durch dazu äquivalente Axiome ergänzt werden. --RPI (Diskussion) 04:17, 17. Nov. 2013 (CET)

Boole setzte die damals bekannte Algebra voraus (Boole 18: common Algebra), das ist modern gesprochen der Potenzreihenring mit reellen Zahlen; eine abstrakte Algebra mit willkürlich gesetzten Axiomen gab es damals noch nicht. Man muss weiterlesen und mitrechnen, dann sieht man das genau: Er machte Taylorreihenentwicklungen (Boole S. 60ff). Man braucht an keiner einzigen Stelle den booleschen Ring mit x+x=0, um seine Rechnungen und Beweise nachzuvollziehen. Booles Formel für das ENTWEDER-ODER S. 51 (31) ist eben nicht die Addition. Hat er sich die Arbeit künstlich erschwert mit dieser Formel? Sicher nicht. Seine Zeitgenossen kritisierten ihn hart, weil seine Addition keine logische Bedeutung hat und nichtlogische Terme generiert (1+1=2). Eben deswegen formten Sie dessen Kalkül um in einen algebraisch abgeschlossen Logikkalkül, in dem die Addition eine logische Bedeutung hat; sie nahmen aber ODER. Ich kenne diese Literatur genau. Den "booleschen Ring" kreierte erst Stone (1936), der Schegalkin (1927) zitiert, der aber keinen Ring hatte, weil er keine Inverse brauchte. Schegalkin ist in der dt. Literatur wenig bekannt; in der englischsprachigen ist das anders; dort übliche Schreibweise Zhegalkin.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:45, 18. Nov. 2013 (CET)

Der Sachverhalt wird auch im englischen Artikel im Abschnitt 'Treatment of addition in logic' erwähnt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:57, 18. Nov. 2013 (CET)

Nachtrag:

Nach Booles Fußnote auf S. 17 ist $1$ linksneutrales Element der Multiplikation und, da diese kommutativ ist, folglich auch (rechts)neutral. Boole gab zu seiner Addition $+$ nur folgendes an (S. 16 f.): Sind $u,v$ die zwei (disjunkten) Teile einer „Gruppe“ [Klasse] von Objekten, dann stellt $u+v$ die ungeteilte Sache [Klasse] dar. Damit ist seine Addition die Umkehrung der Zerlegung einer Klasse in zwei disjunkte Teilklassen, also $x=u+v:=u{\dot {\;\cup \;}}v$ für $u\subseteq x$ und $v:=x\smallsetminus u.$ Für $x=1$ gilt insbesondere $u+(1-u)=1=u+(1\smallsetminus u),$ offenbar bedeutet $x-u:=x\smallsetminus u$ die (mengentheoretische) Differenz, jedoch nur für $u\subseteq x.$ Booles Addition erfüllt daher das Kommutativ- und das Assoziativgesetz, letzteres nimmt er auch stillschweigend für seine Multiplikation an, da er Produkte mit mehr als zwei Faktoren ohne entsprechende Klammerung schreibt (S. 22 ff.). Es gilt zudem $0=x-x$ (S. 21 ff.) bzw. $0=x\smallsetminus x=\emptyset$ und somit $0+x=x+0=x{\dot {\;\cup \;}}\emptyset =x,$ d.h. $0$ ist neutrales Element der Addition. Obwohl er eigentlich nur eine Subtraktion eingeführt hat, fasst Boole diese offenbar als Addition eines Negativen auf (S. 55; dies kann aber aus den anderen Eigenschaften gefolgert werden), sodass er das Linksdistributivgesetz auch für Differenzen anwenden kann (S. 21 ff.).

Boole und seine Zeitgenossen wussten offensichtlich nicht, dass in seinem Kalkül $2x=x+x=0$ gilt, daher verwendete er das auch nicht, es kann aber aus den anderen Gesetzen – und zwar den drei von Boole formal angegebenen (S. 17: Linksdistributiv-, Kommutativ- und Idempotenzgesetz der Multiplikation) – gefolgert werden (siehe oben). Auch wenn Boole selbst das nicht wusste, so war doch seine Addition das „entweder-oder“ (S. 53):

$x-2xy+y=x-0+y=x+y.$

Folglich war diesbezüglich jede Kritik von Booles Zeitgenossen verfehlt und die von Boole verwendete algebraische Struktur, ob sie in die reellen Zahlen eingebettet war oder nicht, war ein Boolescher Ring mit Eins im heutigen Sinn. Dass Boole es versäumte, die Folgen für Rechengesetze genauer zu untersuchen und entsprechend zu definieren, mag damals vielleicht üblich gewesen sein.

Und wenn man schon zitiert, dann bitte richtig! Boole schreibt nämlich auf Seite 17 f.:

„The laws we have established under the symbolical forms [...] are sufficient for the basis of a Calculus. [...] it appears that [...] properties which they possess in common with symbols of quantity, and in virtue of which, all the processes of common algebra are applicable to the present system. The one and sufficient axiom involved in this application is that equivalent operations performed upon equivalent subjects produce equivalent results.“

Mit anderen Worten: Boole meinte, dass die Eigenschaften, die seine Rechengesetze hervorrufen, mit denen der „Größen“ übereinstimmten und dass alle Verfahren der gewöhnlichen Algebra auf sein System anwendbar seien. Dabei setzte er einzig voraus, dass äquivalente Operationen durchgeführt mit äquivalenten Sachen äquivalente Ergebnisse erzeugen würden. Er rechnete also wie mit reellen Zahlen. Die Idempotenz seiner Multiplikation hatte aber zur Folge, dass bei seiner Addition jedes Element sein eigenes Negatives wurde – im Gegensatz zu jener der reellen Zahlen. Boole rechnete also nicht im Ring der reellen Zahlen, aber er rechnete analog dazu in seinem Ring.

Ernst Schröder bescheinigt in seinen Vorlesungen über die Algebra der Logik (Exakte Logik) (Band 1. Teubner, Leipzig 1890) auf S. 119:

„Die rechnerische Behandlung der logischen Materie [...] ist in dem grundlegenden Werke ‚Laws of thought‘ zum erstenmal durch G e o r g e B o o l e zu einem in seiner Art nahezu vollständigen, auch auf die Lösung von Problemen zugespitzten Systeme ausgebildet worden.

Nahezu vollständig allerdings nur innerhalb jenes schon erwähnten Gebietes, welches [...] sich [...] beschäftigt [...] nur mit den alleräusserlichsten logischen Aufgaben, welche auch den Tummelplatz der alten Logik bilden, sofern diese etwa in der Lehre von den Syllogismen gipfelte.“

Für Schröder war Booles Logikkalkül also nicht kritikwürdig, weil es nichtlogische Terme generierte, im Gegenteil: es war ihm nicht weitreichend genug! --RPI (Diskussion) 19:29, 18. Nov. 2013 (CET)

Auch ich bin sehr für genaues Zitieren. Die eben dargelegte Rechnung stimmt natürlich, aber nur unter einer Interpretationsvoraussetzung: Booles Operationen sind algebraisch abgeschlossen!!! Das ist der springende Punkt. Genau deshalb verwies ich auf den englischen Artikel, der belegt, dass Boole partielle Operatoren und Funktionen der common algebra logisch interpretiert: elective symbols, elective functions und elective equations (S. 16).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:50, 19. Nov. 2013 (CET). Nur im reellen Potenzreihenring sind Booles MacLaurin-Reihen, mit denen er seine Normalform S.60ff definierte, sinnvoll! Ím Artikel sind nun entsprechende Bemerkungen, Fußnoten und Links, damit keine Zweifel bestehen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:31, 19. Nov. 2013 (CET)

NB: Booles explizite Operatoren, nämlich xy für die Konjunktion und 1-x für die Negation, sind beides elektive functions, die für elective symbols x, y idempotent sind. Man kann das mit den Ringregeln ja sofort nachrechnen. Der Bereich der elective symbols ist bei ihm also algebraisch abgeschlossen, insbesondere auch seine ausschließende Disjunktion x+y-2xy. Der Term x+x und die Addition x+y sind aber für elective symbols im Potenzreihenring nicht idempotent, also keine elective function!--Wilfried Neumaier (Diskussion) 12:14, 19. Nov. 2013 (CET)

Zunächst einmal waren seit 1831 durch Carl Friedrich Gauß die Komplexen Zahlen etabliert, seit 1840/43 durch Olinde Rodrigues/William Rowan Hamilton die Quaternionen bekannt und seit 1844 durch Hermann Graßmanns „Ausdehnungslehre“ Vektorräume wenigstens verfügbar, in denen man auch entsprechend rechnen konnte. Boole rechnete nach eigener Aussage mit den „electiven Symbolen“ genau so wie mit „Symbolen von Größen“ und diese waren schon seit der Antike (Eudoxos von Knidos) im Wesentlichen geometrische Figuren. Graßmann bekam 1846 oder 1847 einen Preis zuerkannt, bei dem es um die Rekonstruktion und weitere Ausbildung eines von Gottfried Wilhelm Leibniz nur skizzenhaft entworfenen geometrischen Kalküls ging. Auch wenn Graßmanns „Ausdehnungslehre“ nicht die gebührende Anerkennung bekam, so kann dennoch keine Rede davon sein, dass zu Booles Zeit die „common algebra“ auf die reellen Zahlen beschränkt war! Boole rechnete also nicht mit den reellen Zahlen, sondern in seinem „System“ wie mit reellen oder komplexen Zahlen oder anderen multiplikativ kommutativen „Größen“ (die Quaternionen sind das bekanntlich nicht).

Es gibt keinen Grund für die Annahme, dass Booles algebraisches Kalkül nicht algebraisch abgeschlossen gewesen sei: Die algebraischen Verknüpfungen von Booles Struktur können sinnvoll als logische Verknüpfungen interpretiert werden, daher ergeben sie, angewendet auf logische Ausdrücke, auch wieder logische Ausdrücke. Booles algebraisches Logikkalkül war also algebraisch abgeschlossen und seine algebraische Struktur folglich ein Boolescher Ring!

Die Kritik an Boole bezieht sich aber offenbar auf etwas vollkommen anderes:

Boole betrieb (S. 60 ff.) mit seinen „electiven Funktionen“ nämlich „differential calculus“ (Differentialrechnung)! Da Boole von „Größen“ ausging, nahm er die von diesen bekannte topologische (!) Abgeschlossenheit auch für sein „System“ an und rechnete einfach dem entsprechend mit unendlichen Potenzreihen. Logische Ausdrücke sind aber bekanntlich nur solche, die mit endlich vielen logischen Verknüpfungen erzeugt werden können (ein Beweis besteht nur aus endlich vielen). Wie von der Analysis her bekannt ist, können solche Potenzreihen, wenn sie konvergieren, auch nicht algebraische (transzendente) Werte annehmen. Solche wären auch in Booles Kalkül nicht algebraisch und daher auch keine logischen Ausdrücke.

An Booles algebraischem Logikkalkül gibt es also nichts zu kritisieren, logisch unsinnig war dagegen, dass er auf seiner Struktur auch Differentialrechnung betrieb und diese logisch interpretierte. --RPI (Diskussion) 14:48, 19. Nov. 2013 (CET)

Boole selbst verstand seinen Logikkalkül nicht als algebraisch abgeschlossen. Das entnehme ich dem englischen Artikel, und zwar der Bemerkung mit der Fußnote 8, dass Boole x+x als "somthing undefined" einstufte und nicht als 0. Natürlich kann ich dies nicht auf die Schnelle überprüfen. Ich glaube aber kaum, das der Schreiber hier fantasiert, weil er Quellenbelege angibt. Deswegen bleibe ich bei meiner Ansicht und sehe die Gegenargumentation als gewollt an. Ich werde mich zu gegebener Zeit nochmals dazu äußern.Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:10, 19. Nov. 2013 (CET). Ich habe soeben das Stanford Lexikon nachgeschlagen, dort ist die Sache explizit mit Zitaten und exakten Quellenangaben erörtert, so dass kein Zweifel bestehen kann. Der englische Artikel ist also stichhaltig und fundiert. Ich habe ein Zitat in den Artikel übernommen(Bemerkung mit Fußnote).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 11:10, 20. Nov. 2013 (CET)

Mir ist in der Zwischenzeit auch aufgefallen, dass das tatsächlich so ist: Wenn man die Addition mengentheoretisch als disjunkte Vereinigung interpretiert, dann ist $x+y$ ja nur für disjunkte $x,y$ und daher $x+x$ nur für $x=\emptyset =0$ definiert! Das Ganze ist aber noch schlimmer:

Boole hat (S. 15) für seine Multiplikation allgemeingültig das Linksdistributiv-, das Kommutativ- und das Idempotenzgesetz postuliert, da aber die Addition nicht immer definiert ist, kann das Linksdistributivgesetz nur für definierte Summen gültig sein. Aber selbst dann, ergeben sich undefinierte Terme, denn seien $x,y$ disjunkt, so gilt

$x+y=(x+y)(x+y)=(x+y)x+(x+y)y=x(x+y)+y(x+y)=(xx+xy)+(yx+yy)$

$=(x+xy)+(yx+y)=(1x+xy)+(yx+1y)=(x1+xy)+(yx+y1)=x(1+y)+y(x+1)$

$1+y,x+1$ sind aber nur definiert, wenn $1,y$ sowie $x,1$ disjunkt sind, also wieder $x=y=0$ gilt. Booles Kalkül ist mit dieser Addition also kaum zu gebrauchen!

Boole wollte im Prinzip wie mit „Größen“ rechnen, d.h. wie mit Vektoren in einem Vektorraum. Seine Struktur sollte daher bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe bilden, tatsächlich rechnete er ja auch so. Geht man also von diesem aus, so sollte seine algebraische Struktur ein Boolscher Ring mit Eins sein. In diesem gilt dann $2x=x+x=0$ und somit

$x+y=(x+y)(x+y)=xx+2xy+yy=x+0+y=x-0+y=x-2xy+y.$

Die Addition kann dann also als „entweder-oder“ („ausschließendes oder“) bzw. als symmetrische Differenz (eine treffendere Bezeichnung dafür wäre eigentlich „ausschließende Vereinigung“) interpretiert werden und sie entspricht für disjunkte $x,y$ zudem noch Booles ursprünglicher Addition. --RPI (Diskussion) 11:30, 20. Nov. 2013 (CET)

Ja, so ist es. Booles Kalkül war eben nicht perfekt. Seine revolutionäre Idee war aber verbesserbar. Boole-Nachfolger gingen zuerst in Richtung der heutigen abstrakten boolesche Algebra und opferten einige Ring-Regeln (Jevons 1874, Schröder 1877, Peano 1888), später dann in Richtung des booleschen Rings, der Booles Rechentechnik optimiert (Schegalkin 1927 Vorform ohne Inverse, Stone 1936 als Ring).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 12:49, 20. Nov. 2013 (CET)

Muss mich inzwischen korrigieren: Boole war doch absolut präzise. Seine Definitionen ODER und von ENTWEDER-ODER sind perfekt in der alten Standardalgebra, dem üblichen Potenzreihenring. Man kann mit ihnen alles solide beweisen: sowohl die Axiome der späteren booleschen Algebra also auch die Axiome des späteren booleschen Rings. Das können alle, die das Rechnen aus der Schule nicht verlernt haben, unschwer nachrechnen. Habe deshalb den Originalkalkül noch etwas genauer dargestellt und mit Originaldaten versehen. Die späteren Boole-Kritiker, zu denen übrigens sehr wohl auch Schröder gehört [8], haben ihn offenbar nicht richtig verstanden. Auch ich habe erst nach dem letzten Lese-Anlauf restlos klar gesehen. Man muss Booles Genialität honorieren: Er definierte innerhalb der klassischen Algebra einen perfekten vollständigen Logikkalkül auf beeindruckend einfache Weise. Es ist eben nur kein Teilring. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:37, 30. Dez. 2016 (CET) Den Satz im vorigen Absatz "Ja, so ist es. Booles Kalkül war eben nicht perfekt." nehme ich zurück. Die vorausgehende (richtige) Rechnung $x+y=....=x(1+y)+y(x+1)$ bedeutet nicht, dass $1+y$ und $x+1$ logische Terme wären; beide sind in Booles Kalkül nicht idempotent. Es ist ein Trugschluss, dass mit idempotenten $a$ und $ab$ auch $b$ idempotent ist. Das ist so unsinnig, wie wenn man innerhalb der rationalen Zahlen für natürliche Zahlen $a$ und $ab$ schließen würde, $b$ sei eine natürliche Zahl (zum Beipiel für $a=2$ und $b=1/2$).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:50, 3. Jan. 2017 (CET)

Historische EDV Persönlichkeit Boole, George

Der britische Mathematiker Georg Boole (1815-1864) war unter anderem Schöpfer der zweiwertigen → booleschen Algebra. Quelle: Internet & PC Lexikon Dr. Andreas Voss DATA BECKER GmbH Düsserdorf & Co. KG 2001/2002 ISBN 3-8158-1655-6 Seite 465 --89.204.137.219 13:21, 14. Nov. 2020 (CET)