Diskussion:Gleichmäßige Konvergenz

Offensichtlich

Vorsicht bei offensichtlich: Meistens passieren dort die Fehler. So auch hier, denn das Supremum über die Differenzen |f_n(x) - f(x)| muss im allgemeinen keineswegs existieren. (nicht signierter Beitrag von Schotten (Diskussion | Beiträge) )

Stimmt. Bist Du mit der neuen Formulierung einverstanden? --NeoUrfahraner 07:56, 8. Jul 2006 (CEST)

Beispiele

Wir wollen Beispiele sehn, wollen Beispiele sehn, wollen Beispiele sehn ... dum di dum Mal ehrlich: Wenn man nicht gerade Mathe-Crack ist, überfliegt man für gewöhnlich die Definitionen und schaut auf die Beispiele um zu verstehen, was da passiert ... dumm nur, wenn keine da sind. :(

Ich hab mal ein Beispiel eingefügt, Beweis fehlt zwar, ist aber recht einfach. Kann ich aber auch noch nachliefern, wenn der dazugehört. Was aussagekräftigeres fällt mir leider auch nicht ein, außer die Folge der Partialsummen der Reihendarstellung von exp(x), allerdings tu ich mir da mit dem Beweis schwer. --Fador 00:02, 15. Okt. 2008 (CEST)

Ich habe das vorhandene Beispiel mal um eine Beweisskizze erweitert. Ausßerdem habe ich die Chance genutzt an $f_{n}(x)=x^{n}$ den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz zu illustrieren.

Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:2007:6CB1:BA83:B86 10:45, 22. Feb. 2017 (CET)

Hab ne Frage: Ich wundere mich über den Abschnitt mit dem "rechtsseitig geöffneten Einheitsintervall" ich hätte eigentlich erwartet, dass das Supremum auch 0 beträgt für n → ∞. Stattdessen steht dort, dass das Supremum gegen 1 geht? Danke.

Reihen

Es gibt auch glm. K. von Reihen. Es wäre schön, wenn diese hier wenigstens erwähnt wäre.. --84.174.206.2 14:22, 17. Sep 2006 (CEST)

Da Reihen nur spezielle Folgen sind, gilt alles hier gesagte auch für Funktionenreihen. Bin mir nicht sicher, ob man das erwähnen muss. --Fador 00:10, 15. Okt. 2008 (CEST)

gleichmässige Konvergenz

Fuer die Konvergenz von differenzierbaren Funktionen widerspricht dieser Artikel hier dem Artikel ueber Funktionenfolgen, welcher auch gleichmässige -und nicht nur punktweise- konvergenz von f selbst voraussetzt, um einen differenzierbaren Grenzwert zu erhalten. (nicht signierter Beitrag von 130.235.34.60 (Diskussion) )

Mir ist nicht klar, welchen Artikel ueber Funktionenfolgen Du meinst? Worauf beziehst Du Dich genau? --NeoUrfahraner 12:18, 15. Jan. 2007 (CET)

Ich fände es gut, wenn bei Definitionen möglichst viel in gewöhnlicher Sprache statt in logischer Formelsprache erklärt würde. --Hanfried.lenz 07:41, 20. Sep. 2007 (CEST).

Das gilt insbesondere für die "gleichmäßige Knvergenz in einem Punkt". --Hanfried Lenz 07:11, 21. Nov. 2007 (CET).

die Definition über Quantoren ist falsch, x darf sehr wohl von (klein-) n abhängen! (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 79.207.178.151 (Diskussion • Beiträge) 15. Sep. 2008, 14:19)

Da ist gar nichts falsch. Deine Änderung führt zu keiner Änderung der Definition (siehe auch Quantor#Mehrfach quantifizierte Satzformeln). --Sabata 14:43, 15. Sep. 2008 (CEST)

Das Beispiel

Mit leichter Überraschung habe ich wiedererkannt, dass ich es war, der das Beipiel letzten Dezember entfernt hatte und das jetzt wieder unverändert im Artikel ist. Meine Geschwafel bezüglich des "y" ist mir heute auch unverklärlich - verständlich finde ich das Beispiel aber immernoch nicht. Und das fängt bei der Definition an: Wo läuft $A_{n}=(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{y:y={\frac {p}{q}},\ p,q\in \mathbb {Z} ,\ p\bot q,\ 0<q\leq n\}\cup \{0\}$ drauf hinaus? Irrationale Zahlen + eine von n ahbhängige Teilmenge der Brüche. $p\bot q$ heißt doch "p senkrecht auf q"?!? Ist damit $p\nmid q$ gemint? Oder gar ggt(p,q) =1?

Schließlich ist das ein nichttriviales Beispiel, eine Erörterung, warum es das macht was es soll (und/oder ne Quellenangabe) wäre hier mMn angebracht. --χario 21:17, 10. Sep. 2009 (CEST)

Hallo χario! Hm, nachdem das Beispiel gestern wieder eingefügt wurde, habe ich es mir kurz angesehen und glaubte, dass es offensichtlich richtig ist. Aber jetzt, wo Du es sagst, fällt mir auf, dass ich mit der Bedingung „$p\bot q$“ auch nichts anfangen kann. Wenn man sich aber vorstellt, das „$p\bot q$“ stünde einfach nicht dabei, dann ist das Beispiel richtig. (Im Folgenden meine ich mit der Menge $\mathbb {N}$ immer die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null, also $\{1,2,3,4,\dots \}$.) Die Menge $\textstyle A_{n}=(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{y\mid y={\frac {p}{q}},\ p,q\in \mathbb {Z} ,\ 0<q\leq n\}$ ist die Menge aller irrationalen Zahlen vereinigt mit der Menge der rationalen Zahlen $y$, die eine Darstellung als Bruch als $\textstyle y=\textstyle {\frac {p}{q}}$ besitzen, bei der der Nenner betraglich kleiner als $n+1$ ist. („Wörtlich“ steht da, dass y eine Darstellung als Quotient von ganzen Zahlen $\textstyle y=\textstyle {\frac {p}{q}}$ besitzt, bei der $q$ größer als Null aber kleiner als $n+1$ ist.)

Die angegebene Funktionenfolge $\textstyle (h_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert durch

$h_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in A_{n}\\1,&x\notin A_{n}\end{cases}}$

konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl $y$ liegt in allen $A_{n}$, bei denen $n$ betraglich größer als der Nenner in der vollständig gekürzten Darstellung des Bruches $y$ ist. Andererseits gibt es aber zu jeder Zahl $z$ aus irgendeiner $A_{n}$ Zahlen außerhalb der $A_{n}$, die beliebig nah an $z$ dran liegen (Der Schnitt einer $A_{n}$ mit einem beliebigen Intervall enthält immer nur endlich viele rationale Zahlen, jedes beliebige Intervall enthält aber unendlich viele rationale Zahlen.). Also konvergiert die Folge $\textstyle (h_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in keinem Punkt gleichmäßig.

Übrigens braucht man in der Definition der $A_{n}$ nicht zu fordern, dass die Null mit dazu gehört, weil sie sowieso wegen $\textstyle 0={\frac {0}{n}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ immer drin ist.

Wenn ich was schlecht erklärt haben sollte, sage mir das bitte. MfG Stefan Knauf 23:16, 10. Sep. 2009 (CEST)

Die Bezeichnung $p\perp q$ steht seit längerer Zeit bei Mathematische Symbole#Teilbarkeit. Sie ist aber bei diesem Beispiel in der Tat obsolet. Noch formaler und besser könnte man die $A_{n}$ Mengen folgendermassen aufschreiben:

$\textstyle A_{n}=(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{y\mid \exists p\exists q(y={\frac {p}{q}},\ p,q\in \mathbb {Z} ,\ p\perp q,\ 0<q\leq n)\}\cup \{0\}$

Da aber, aus $\not \exists p\not \exists q(y={\frac {p}{q}},\ p,q\in \mathbb {Z} ,\ p\perp q,\ 0<q\leq n)$ auch $\not \exists p\not \exists q(y={\frac {p}{q}},\ p,q\in \mathbb {Z} ,\ 0<q\leq n)$ folgt, braucht man $p\perp q$ nicht. Wenn $p\perp q$ wegfällt, dann braucht man, wie oben erwähnt, auch $\cup \{0\}$ nicht mehr. Wichtig bei diesem Beispiel ist, dass es nicht nur den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmässiger Konvergenz sonder auch zwischen punktweiser und gleichmässiger Konvergenz in einem Punkt zeigt. --Alexandar.R. 08:46, 11. Sep. 2009 (CEST)

Hallo Alexandar! So wie Du es heute Morgen in den Artikel eingebaut hast, finde ich es auch formaler und besser. Ich denke aber, dass man „$\exists p\exists q(p,q\in \mathbb {Z}$...“ nur in der Logik oder Mengenlehre so schreiben würde. In allen anderen Bereichen der Mathematik würde man meiner Einschätzung nach die Schreibweise „$\exists p,q\in \mathbb {Z} ($...“ bevorzugen. Diese Schreibweise ist genauso formal und ich glaube, dass sie für die meisten Leute besser verständlich ist. Wenn es Dich nicht stört, werde ich es zu dieser Schreibweise ändern. MfG Stefan Knauf 16:12, 11. Sep. 2009 (CEST)

Klick! Merci für eure Antworten! "$\bot$" hab ich bei Teilerfremdheit nicht gefunden, aber in en:coprime hätte ichs finden können... Zur Mengennotation: wir fügen ja wieder Teilmengen der rationalen Zahlen hinzu...Warum das nicht deutlich machen: $A_{n}:=(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{y\in \mathbb {Q} \mid y={\tfrac {p}{q}},p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ,0<q\leq n\}$. Die Existenzquantoren sind glaub ich gar nicht nötig, da sie impliziert werden durch y=p/q. Der natürliche Nenner schränkt nix ein, lässt aber einige Formulierungen einfacher werden.

Stefans Erklärung im Artikel unter dem Beispiel würde es für mich abrunden, hier mein Formulierungsvorschlag:

...konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl $y$ liegt in allen $A_{n}$, deren $n$ gleich oder größer ist als der Nenner in der gekürzten Darstellung des Bruches $y$. Andererseits liegen im Schnitt einer $A_{n}$ und einem beliebigen Intervall immer nur endlich viele rationale Zahlen. Daher gibt es zu jedem $n$ und jeder Zahl $z\in A_{n}$ stets (unendlich viele rationale) Zahlen, deren Abstand zu $z$ beliebig klein ist und die nicht in $A_{n}$ liegen. Also konvergiert die Folge $\textstyle (h_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in keinem Punkt gleichmäßig.

Danke und Grüße, --χario 17:13, 11. Sep. 2009 (CEST)

Mit dem Text bin ich einverstanden. Die Notation gefällt mir auch. Im Prinzip mag ich solche Erklärungen nicht, da sie wie Beweisersatz aussehen. Anderseits ist eine Enzyklopädie kein Ort für vollständige Beweise. Ich werde deshalb nicht gegen das Einfügen des Textes sein. --Alexandar.R.

Nein, keine ganzen Beweise, aber zentrale Argumentationen sollten mMn eben schon sein. Ich hatte mal nen Prof, der hätte den zweite Satz im Kasten schon als gültigen Beweis gesehen: Jaja, der Rest ist offensichtlich. Ich würde Stefan den Einfügedit überlassen, da's sein Text ist. :-D . --χario 19:38, 11. Sep. 2009 (CEST)

Hallo χario! Ich hätte Dir das Einfügen überlassen, weil Du die Erklärung ja für notwendig hieltest. Ich habe sie aber gerade mal eingefügt, weil ich finde, dass auch mathematische Artikel verständlich sein sollten, und an der Verständlichkeit zu zweifeln ist, wenn Du den Artikel nicht verstehst, und Du mich ja quasi ums Einfügen gebeten hast. Hier laufen zwar auch so Querulanten rum, die Kopieren und Einfügen innerhalb der Wikipedia für lizenzwidrig halten, aber wenn jemand fremden Text von der Diskussionsseite kopiert und das auch im Bearbeitungskommentar erwähnt, sollte man da nichts ernsthaft gegen haben können. MfG Stefan Knauf 19:07, 12. Sep. 2009 (CEST)

Ich hab ja nur leichte Formulierungsänderungen gemacht, ich sehe bei dir das Urheberrecht. Danke auf jeden Fall, ich hab die Def. der A_n noch geändert (s.o.), insbesondere auch weil dadurch ein "betraglich" weg fallen konnte. --χario 19:31, 12. Sep. 2009 (CEST)

Nicht kanonisch: Aus gleichmäßig konvergent in jedem Punkt folgt eben nicht...

Fällt mir ja grad so auf: "f stetig in jedem Punkt -> f stetig" , "f diffbar in jedem Punkt -> f diffbar" Hier gilt das aber nicht, weshalb das auch noch etwas hervorgehoben werden könnte, oder? --χario 19:38, 11. Sep. 2009 (CEST)

Hallo χario! Ich finde, dass im Abschnitt Gleichmäßige Konvergenz in einem Punkt schon deutlich genug steht, dass aus gleichmäßiger Konvergenz in jedem Punkt noch keine gleichmäßige Konvergenz folgt. Dass das so gilt, ist auch ganz natürlich, weil gleichmäßige Konvergenz eine globale Eigenschaft der Funktionenfolge ist, während Stetigkeit und Differenzierbarkeit lokale Eigenschaften sind. „Globale“ Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit wird ja einfach als Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit in jedem Punkt definiert. MfG Stefan Knauf 19:07, 12. Sep. 2009 (CEST)

Ich habs einfach mal für F noch ausformuliert, ich fand die Inklusionskette nicht "auffällig" genug :-) BTW: mathbb kannste weglassen \Z, \R usw funktioniert auch. --χario 19:31, 12. Sep. 2009 (CEST)

Es gibt ja Gleichgradige Stetigkeit und Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit. Aber tolle Ergänzungsvorschläge fallen mir spontan nicht ein. --Alexandar.R. 20:51, 14. Sep. 2009 (CEST)