Diskussion:Hamilton-Jacobi-Formalismus

Was hat das beschriebene mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus bzw. im speziellen mit der Hamilton-Jacobi-Formalismus DGL zutun?

-Das ist der Ansatz, mit dessen Hilfe man den Hamilton-Jacobi Fomalismus beginnt. Diese Seite ist definitiv noch nicht vollendet, ich würde sagen, hier gehört noch die Anleitung zur Anwendung des HJD-Formalismus hin, evtl. sogar ein Beispiel.

"Eine solche Erzeugende S zu finden gilt oftmals als eine hohe Kunst."

Ein Beispiel fände ich ehrlich gesagt viel besser. Das ist zwar die zugrundeliegende Gleichung, aber man könnte noch ein Beispiel bringen, z.B. freier Fall im Schwerefeld oder Oszillator. Vielleicht auch Zusammenhänge mit anderen Teilgebieten der theor. Physik?

Hamilton-Wirkung versus Maupertius-Wirkung

Es gibt ja bekanntlich zwei leicht verschiedene Definition für die Wirkung: Hamilton definiert $S=\int L$; Maupertius definiert $S'=\int p{\dot {q}}$ mit $S'=\int 2T$ für konservative Systeme, d.h. $S$ und $S'$ unterscheiden sich nur um $E\Delta t$. Ich habe den Eindruck der erste Abschnitt des Artikels meint $S$, der zweite Abschnitt hingegen $S'$. 141.76.69.66 (ohne (gültigen) Zeitstempel signierter Beitrag von 141.76.69.66 (Diskussion) 17:26, 18. Jun. 2020 (CEST))

Herleitung der HJ-DGL.

Ein kleiner Input:

Als ausgangspunkt um die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung herzuleiten kann man die Wirkung $S$ nehmen. Diese wird über den Lagrange-Term definiert: $dS/dt=L$. Die Hamilton-Funktion (Energie-Funktion) H und die Lagrangefunktion L sind wie folgt miteinander verknüpft: $L=-H+p_{i}{\dot {q}}_{i}$. Daraus folgt fpr die Wirkung $dS$:

$dS=-Hdt+p_{i}dq_{i}$

Aus dieser Gleichung sieht man, dass die Wirkung eine Funktion der Konfigurationskoordinate $q$ und der Zeit $t$ ist: $S=S(q,t)$. Daraus folgt

$dS={\frac {\partial S}{\partial t}}dt+{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}dq_{i}$

Durch den Vergleich dieser beiden Gleichungen sieht man soffort, dass

$H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}\qquad p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}$

Aus diesen beiden Gleichungen, und der Tatsache, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H = H(p, q) } , folgt nun die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial S}{\partial t} + H(q, \frac{\partial S}{\partial q} ) = 0. }

StollenTroll 10:55, 21. Aug. 2007 (CEST)

^^ Auch eine schöne Möglichkeit. Ich finde, die Herleitung sollte auf jeden Fall in den Artikel, sie sieht sonst aus wie vom Himmel gefallen. Andere Möglichkeit der Herleitung über kanonische Transformationen (wie im ersten Abschnitt erwähnt):

S ist hier die Erzeugende der Transformation vom Typ S(q,Q), die H(q,p) in K(Q,P)=0 überführen soll, denn dann sind alle Koordinaten Q,P natürlich konstant. Es gilt dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial S}{\partial t}=K-H} oder auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=0=\frac{\partial S}{\partial t}+H} .

Außerdem gilt aus der Transformation: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial S}{\partial q}=p} .

Dann hat man auch schon: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial S(q,Q=C)}{\partial t}+H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)=0} .

Vorteil hier: Man hat eine anschauliche Vorstellung davon, was das Problem ist: Die Suche nach Konstanten der Bewegung (und damit die Lösung der Bewegungsgleichung) geht über in die Lösung einer partiellen Differentialgleichung.

So ähnlich steht das zugegebenermaßen schon da, aber warum das so ist, da müssen noch ein paar Zeilen ran.

Passiert hier sonst etwas auf der Seite? Ich wäre sonst bereit, demnächst etwas mehr zu schreiben.

--burningbunny 14:42, 24. Aug. 2007 (CEST)

Ich glaub ich war der erste seid langem. Hau rein in die Tasten! StollenTroll 13:03, 27. Aug. 2007 (CEST)

Sinn des Ganzen?

Aus dem Artikel geht der Sinn des Formalismus überhaupt nicht hervor. Insbesondere das Beispiel bringt keinen Aufschluss darüber: Mit dem Newton'schen Formalismus ist der Oszillator nicht minder elegant zu beschreiben, im Gegenteil. Was also steckt dahinter? --87.234.104.203 09:43, 4. Apr. 2008 (CEST)

Dazu muss konsequent zwischen ursprünglichen und transformierten Variablen unterschieden werden. Habe das nach Goldstein "Klassische Mechanik" gefixt.--Claude J 11:26, 6. Apr. 2008 (CEST)

Verständnis

Hallo, folgende Punkte verstehe ich nicht, bitte OMA-tauglich erklären:

1.) (Zitat aus dem Abschnitt konservative Systeme):"Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(q,p')} für konservative Systeme:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(q,p) \Rightarrow H\left(q,\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}\right) = \tilde {H}(p').} "

fehlt da am Ende nicht ein =0, um daraus wirklich die H-J-Dgl. zu machen? Und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {\partial S}{\partial t}} entfällt ganz?

2.) (Zitat weiter unten, auch aus dem Abschnitt konservative Systeme): "Benutzt man nun die Lagrange´schen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L = T-V} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} die kinetische Energie ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V(q)} das Potential):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p') = \frac {\partial L}{\partial \dot q}\dot q = \frac {\partial T}{\partial \dot q}\dot q = 2T} ."

Da fehlt irgendwie der 2. Halbsatz bzw. der Anschluss / die Verknüpfung stimmt nicht, oder? Ist evtl. gemeint: "Benutzt man die L. Bwg.gl.n, so ergibt sich folgende Formel: ..."??

Gruß--Acky69 (Diskussion) 10:49, 24. Sep. 2017 (CEST)