Diskussion:Isolierte Singularität

Damit der Diskussionslink im Überarbeiten-Baustein nicht rot ist: Aus der alten Fassung ist noch der Link Attraktor übrig, zu dem irgendetwas gesagt werden sollte. Und Singularitäten gibt es nicht nur in der Funktionentheorie, sondern doch mit Sicherheit auch in der reellen Analysis. Zu Singularitäten in der algebraischen Geometrie kann ich demnächst etwas schreiben, aber ob das in den selben Artikel passt, scheint mir zweifelhaft.-- Gunther 21:29, 16. Apr 2005 (CEST)

Immerhin linkt der Artikel elliptische Kurve hierher, es wäre wünschenswert hier eine passende Begründung vorzufinden.--MKI 09:06, 5. Jun 2005 (CEST)

Eine elliptische Kurve hat eben per Definition keine Singularitäten. Da kann man imho nichts mehr erklären. --Iznogood 19:02, 24. Aug 2005 (CEST)

Doch, eben was elliptische Kurven nicht haben. Dass eine Singularität wieder als Negation der Regularität definiert wird, ist natürlich ein kleiner Schönheitsfehler :-) --Gunther 19:31, 24. Aug 2005 (CEST)

Singularität (physikalisch)

Singularitätstheorie (physikalisch)

Neben den verschiedenen Erklärungen habe ich gehört es gebe eine physikalische (noch völlig unausgereifte) Theorie der Singularität die sich vor allem auf die Lösung ungeklärter Quantenprobleme (wie z.Bsp. EPR- instante Fernwirkung von Objekten) beziehe.

Wer weiß genaueres ? Siehe dazu auch Diskussion "Quantenteleportation".

MfG

Christian Stephan Rausch, MAILTO:letztens@gmail.com

Velma hat komisch gesagt

Eine Singularität bezeichnet in der Mathematik eine Stelle, an der eine Funktion oder ein geometrisches Objekt ein ungewöhnliches Verhalten zeigt.

Kann man ungewöhnliches Verhalten definieren, oder zumindest Beispiele nennen, was ungewöhnlich ist? --Abdull 14:54, 10. Jun 2006 (CEST)

Das steht ja im Rest des Artikels, welches ungewöhnliche Verhalten bei den jeweiligen Bedeutungen gemeint ist: Einmal eine Definitionslücke, einmal ein Punkt, dessen lokaler Ring nicht regulär ist.--Gunther 14:57, 10. Jun 2006 (CEST)

Ich schließe mich den Bedenken an. Ähnliche Bedenken habe ich mit den Begriffen nicht definiert und Definitionslücke (denn wer legt fest, ob etwas nicht definiert ist, oder nicht)? Die Frage ist nämlich, ob eine Funktion wirklich ein ungewöhnliches Verhalten aufweist, oder der Betrachter dies nur glaubt. Ob die Funktion $f(z)={\frac {\sin z}{z}}$ bei z=0 ein ungewöhnliches Verhalten hat, oder nicht, hängt aufgrund er Schwammigkeit des Begriffes von der Sichtweise des Betrachters ab. Ein Funktionentheoretiker wird bei z=0 keine Besonderheit entdecken können: es gilt f(0)=1. Die Funktion kann ja nichts dafür, dass sie als Quotient zweier holomorpher Funktionen notiert wurde. Siehe auch die Diskussion beim Artikel meromorph. Natürlich darf man umgangssprachlich solche schwammigen Begriffe wie ungewöhnliches Verhalten, schöne Funktion, interessantes Problem zur Untermalung bzw. Ausschmückung eines mathematischen Textes verwenden. Jedoch dürfen hieraus keine mathematischen Aussagen gefolgert werden, oder auch nur weitere mathematische Begriffe abgeleitet werden.--Skraemer 16:24, 2. Jul. 2008 (CEST)

Nix da. "ungewöhnlich" + "interessant" sind nat. Schwurbelbegriffe, Definitionslücke aber nicht (auch wenn der Artikel redirt). Definitionslücken sind Lücken im Definitonsbereich einer Funktion, nur sinnvoll, wenn eine Obermenge auf der Hand liegt. Sin z / z ist eine Funktion von C\0 -> C und hat bei Null eine Definitionslücke. Der Art her ist sie aber stetig behebbar, sodass die Funktion umfassender und ohne Probleme als von ganz C nach C def. werden kann. Bei 1/z kannst du keinen Punkt aus C angeben, der die Funktion im Nullpunkt STETIG erweitert. Dass da jetzt trotzdem nicht Schluss ist, liegt eben an der tollen Kompaktifizierung, die sich damit als Obermenge anbietet, entsprechend kann die Funktion allgemeiner gefasst von $\mathbb {C} \cup \infty$ nach $\mathbb {C} \cup \infty$. Jetzt gibts noch den Fall e^(1/z), das hat auch ne Def.-Lücke in Null und die ist heftiger als die Beispiele zuvor. Meine Funktion X: R \ {9} -> R, X(t) = 4 hat auch ne Def.-Lücke (und zwar in 9), kann dort aber unproblematisch stetig ergänzt werden. Spielt trotzdem keine Rolle, ich habe erstmal eine Def.-Lücke reindefiniert. Jetzt klarer? --χario 17:19, 2. Jul. 2008 (CEST)

Die Funktion   $L:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C} ,\quad L(z)={\frac {\sin z}{z}}$   mit   $\mathbb {D} :=\mathbb {C} \setminus \{0\}$   hat bei z=0 in der Tat eine Definitionslücke bezüglich $\mathbb {D}$. Die Funktion   $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\quad f(z)={\frac {\sin z}{z}}$   jedoch nicht.
Definitionslücke bezüglich eines angegebenen Definitionsbereiches ist OK, ohne Angabe eines zugehörigen Definitionsbereiches macht der Begriff keinen Sinn. Der Begriff Definitionslücke kann sich nur auf eine Definitionsmenge beziehen, nicht auf einen Funktionsterm, der nur eine formale Notation der betreffenden Funktion darstellt.--Skraemer 18:25, 2. Jul. 2008 (CEST)

Das stimmt nicht ganz: $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\quad f(z)={\frac {\sin z}{z}}$ hat sehrwohl eine Definitionslücke, da der Term, durch den die Funktion notiert wurde, an der Stelle 0 keinen definierten Ausdruck liefert. $f(z=0)={\frac {\sin 0}{0}}={\frac {0}{0}}$ ist nicht definiert, daher ist auch die Funktion an dieser Stelle nicht definiert. Statt die Lücke stetig zu beheben, kann man ja auch ohne weiteres einfach definieren, daß sie bei z=0 den Wert 1 hat. Dann hat sie auch keine Definitionslücke mehr. Desweiteren hat die ursprüngliche Funktion keine Lücke bezüglich $\mathbb {D} :=\mathbb {C} \setminus \{0\}$, sondern bezüglich $\mathbb {C}$ mit der Null als Element. Douba 13:05, 11. Feb. 2009 (CET)

Ich verstehe die Diskussion nicht. Die Symbolkette $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\quad f(z)={\frac {\sin z}{z}}$ ist sinnlos, weil die Division durch 0 nicht definiert ist, eine Funktion aber eine linkstotale Relation ist.

Eine Funktion ist ein Paket, bestehend aus Definitions- und Wertebereich und einer elementweisen Zuordnung, hier durch einen Funktionsterm.

Worüber man sinnvoll sprechen kann, ist der maximale Definitionsbereich eines Funktionsterms. Das ist auch das, was man idR meint, wenn man den Definitionsbereich nicht explizit angibt – aber schon bei Operatoren (in der Funktionalanalysis) ist die Mit-Angabe des Definitionsbereichs essentiell, weil wichtige Eigenschaften davon abhängig sind. Der maximale Definitionsbereich in $\mathbb {C}$ des Funktionsterms ${\frac {\sin z}{z}}$ ist (weiterhin) $\mathbb {C} \setminus \{0\}$.

Die Funktionen $g:\mathbb {C} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {C} ,\quad g(z)={\frac {\sin z}{z}}$ und $h:\mathbb {C} \setminus \{0,\pi \}\rightarrow \mathbb {C} ,\quad h(z)={\frac {\sin z}{z}}$ sind komplett verschieden. Dass sie auf einer gemeinsamen Teilmenge gleich sind, ist bereits eine Folgerung aus ihren Definitionen.

Die Funktion $g$ hat bei $0$ deswegen keinen Pol, weil der Grenzwert $\lim _{z\rightarrow 0}g(z)$ existiert (und nicht „erst“ $\lim _{z\rightarrow 0}zg(z)$). $g$ läßt sich stetig erweitern, dh es gibt eine Funktion $k:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$, die auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ mit $g$ übereinstimmt und auf ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} stetig ist. Dazu setze man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k(z)=f(z)} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z\neq0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k(z)=1} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=0} .

Definitionslücken kann man nur in bezug auf eine Obermenge (hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} ) benennen, eine intrinsische Definition für dieses Wort ist mir nicht bekannt (man könnte ja in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} die Definitionslücken dadurch ausfindig machen, dass ein Definitionsbereich nicht zusammenhängend ist, oder andere solche Späße…).

Man genieße den knackigen Satz: Jede gebrochen-rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig. --Stefan Neumeier 21:47, 14. Jun. 2009 (CEST)

ergänzend die Bemerkung, dass aber nicht jede gebrochen-rationale Funktion auf ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig ist (diese Eigenschaft wird gerade von den Polstellen gestört) --Stefan Neumeier 23:46, 8. Jun. 2010 (CEST)