Diskussion:Jacobson-Radikal

Überflüssige Voraussetzung

"Hat M keine maximalen Untermoduln, so setzt man $Rad(M)=M$." Diese Setzung scheint mir überflüssig. Hat M keine maximalen Untermoduln, so ist der Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von M gleich M.

Außerdem ist das Radikal stets die Summe aller "überflüssigen" Untermoduln. Die Voraussetzung M endlich erzeugt ist also überflüssig.--Hesmucet 20:40, 25. Mai 2011 (CEST)

"Nahe bei null"

Ich finde das Bild gar nicht so schlecht. Im Fall eines lokalen noetherschen Ringes hat man ja auch eine vernünftige Topologie, in der das Jacobson-Radikal (also das maximale Ideal) eine Umgebung der Null ist. Auch der Umstand, dass Elemente "nahe bei 1" invertierbar sind, klingt ja plausibel (und ist zumindest für Banachalgebren wahr). Man müsste sich vielleicht mal ein paar nicht semilokale, nicht-Jacobson-Ringe anschauen, ob die Anschauung dort noch haltbar ist.--Gunther 03:15, 6. Sep 2005 (CEST)

Ich finde halt, dass eine Formulierung in der Art von sich ähnlich wie das Nullelement verhalten weniger subjektiv als nahe bei Null ist und möchte ihr deshalb den Vorzug geben. Auch eine Formulierung Die Einheiten verhalten sich ähnlich wie das Einselement halte ich nicht für verwerflich.

Ich gebe ich zu, dass ich keine Ahnung von der von dir angedeuteten Topologie habe. Wie ist die denn für einen allgemeinen (bzw. einen lokalen noetherschen) Ring definiert?--MKI 21:59, 6. Sep 2005 (CEST)

Ist $I$ ein Ideal, dann kann man die Potenzen von $I$ als Umgebungsbasis der 0 verwenden. Für einen lokalen noetherschen Ring bekommt man mit dem maximalen Ideal einen Hausdorffraum. (Bis auf "Hausdorff" ist das ziemlich tautologisch.) Die Topologie auf den p-adischen Zahlen ist genau diese Topologie, auch für Potenzreihenringe entspricht sie den Vorstellungen (z.B. ist eine Potenzreihe der Grenzwert ihrer endlichen Teilsummen).--Gunther 22:25, 6. Sep 2005 (CEST)

ok, danke. Du meinst wahrscheinlich Potenzreihenringe über Körpern, denn sonst ist dieser nicht lokal. Oder passt das Ideal (X) in R[X] trotzdem?--MKI 22:45, 6. Sep 2005 (CEST)

Wieder zurück zum Thema: Ich denke immer noch, dass die Formulierung nahe bei Null nicht sehr glücklich ist.--MKI 22:45, 6. Sep 2005 (CEST)

Eine Topologie bekommst Du für beliebige Ringe und Ideale (alles kommutativ natürlich), und die X-adische Topologie auf $R[[X]]$ ist in jedem Fall Hausdorffsch (weil $\bigcap _{k}(X^{k})=0$).

sich ähnlich wie das Nullelement verhalten finde ich nichtssagend, das gibt mir keine Vorstellung. Alles verhält sich in irgendeiner Hinsicht wie das Nullelement. nahe bei null gibt mir eine Anschauung. Ein Aspekt, den man noch versuchen könnte wiederzugeben: Elemente des Jacobson-Radikals sind Funktionen auf dem Spektrum, die in allen abgeschlossenen Punkten verschwinden. Für "vernünftige" "globale" Ringe verschwinden sie dann überall, d.h. sind nilpotent.--Gunther 00:27, 7. Sep 2005 (CEST)

Und ich finde nahe bei Null gefährlich: Die Frage, ob im Ring der ganzen Zahlen die 1 nahe an der 0 ist, würden wohl signifikant mehr Personen mit Ja als mit Nein beantworten.--MKI 00:54, 7. Sep 2005 (CEST)

Tja, dann müssen die Personen mit "Ja" ihre Anschauung überdenken :-) --Gunther 01:15, 7. Sep 2005 (CEST)

Die Anwort bringt uns keinen Deut weiter. Tatsache ist, dass die Formulierung nahe bei z.B. für die ganzen Zahlen mit der kanonischen Metrik kollidiert. Für Leute, die bereits wissen, was das Jakobson-Radikal eines Rings ist, stellt das kein Problem dar. Für Leute, die es noch nicht wissen und deshalb hier nachschlagen möglicherweise schon. U.a. aus diesem Grund gefällt mir die Formulierung nicht. Bitte sag es mir direkt, wenn du diesen Einwand für haltlos oder unwichtig oder Erbsenzählerrei hältst.--MKI 01:55, 7. Sep 2005 (CEST)

Nein, mit der Antwort wollte ich ausdrücken, dass Du natürlich recht hast. Diese Anschauung ist nicht geeignet, um einen ersten Eindruck zu vermitteln, sie dient der Intuition beim Umgang mit dem Begriff.--Gunther 02:13, 7. Sep 2005 (CEST)

Jakobson-Radikal ein Radikal?

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radical eines Rings R ein Radikal von R. Ist das Jacobson-Radikal im Allgemeinen wirklich ein Radikal im Sinne von Radikal (Mathematik)#In der Ringtheorie? Im aktuellen Zustand geht es für nicht kommutative Ringe schon mal aufgrund dessen daneben, dass Radikale in der Wikipedia nur für kommutative Ringe definiert sind.--MKI 00:54, 7. Sep 2005 (CEST)

Hab's durch "Ideal" ersetzt :-) --Gunther 01:10, 7. Sep 2005 (CEST)

Ergänzungen?

Ich hab noch gefunden dass $J(R)=\cap _{M{\text{ einfach}}}Ann(M)$ gilt. Könnte man ja eventuell auch noch in den Artikel mitaufnehmen. Ich hab aber dazu noch nicht in Büchern nachgesehen und bin da auch noch nicht so fit drinne...Schönen Gruß "Wohingenau" 19:28, 10. Jan. 2010 (CET)