Diskussion:Jensensche Ungleichung

Ich dachte die Jensensche Ungleichung ist:

Für konvexe Funktionen f(x) gilt:

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1:f(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(x_{i})$

Also in Worten: Wenn f(x) eine konvexe Funktion ist, dann ist das (gewichtete) arithmetische Mittel der Funktionswerte an i Stellen x_i größer oder gleich dem Funktionswert am Mittel dieser i Stellen.

Oder verwechsle ich da etwas? --Caramdir 18:06, 12. Sep 2003 (CEST)

falsche Formel

Sorry, ich habe jetzt deine Formel/Text eingesetzt. -- Benutzer:HenrikHolke

und in der englischen Wikipedia steht noch etwas anderes: http://www.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality für konvexe funktionen f gilt:

$f\left(\int _{a}^{b}y\,dx\right)\leq \int _{a}^{b}f(y)\,dx.$

--Caramdir 12:01, 15. Sep 2003 (CEST)

Implikation

Die angegebene Formel verwirrt mich etwas. Sehe ich das richtig, dass eine Implikation gemeint ist?

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1\Rightarrow f(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(x_{i})$

--SirJective 11:52, 26. Sep 2003 (CEST)

Es ist eine Implikation gemeint. Man könnte es auch so schreiben:

$f(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(x_{i})\quad \forall \lambda _{i}\ |\ \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1$

--hh 15:17, 26. Sep 2003 (CEST)