Diskussion:Kleinstes gemeinsames Vielfaches/Archiv/Altes Archiv

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Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Der letzte Absatz des Artikels scheint mir nicht richtig zu sein. Zum einen ist in den seltensten Fällen der ggT zweier Elemente wirklich eindeutig (in Int.ringen nur eindeutig bis auf Assoziierte), zum anderen ist nicht jeder ggT-Ring euklidisch. --192.168.0.1 21:47, 13. Mär 2005 (CET)

Verbesserungsvorschläge:

• kgV: das kgV zweier Ringelemente $a,b$ wie im Artikel ist ein Erzeuger von $(a)\cap (b)$, und letzteres Ideal ist auch dann eine sinnvolle Verallgemeinerung des kgV-Begriffes, wenn es kein Hauptideal ist.
• ggT: ich hätte den ggT definiert als das Ideal $(a,b)$ bzw. dessen Erzeuger. Es hat die Eigenschaft

$I\mid a\land I\mid b\iff I\mid (a,b)\qquad (\mathrm {mit} \ I\mid J:\iff I\supseteq J).$

Falls $(a,b)$ ein Hauptideal ist, stimmen die Begriffe überein, im Polynombeispiel nicht. Man sollte diesen Begriff ("ggT im Idealsinn" oder so) wenigstens erwähnen.

--Gunther 23:18, 28. Mär 2005 (CEST)

Eine Verbesserung wäre es jedenfalls, wenn diese beiden Begriffe an geeigneter Stelle erwähnt würden (sie könnten "ggT und kgV im Elementsinn" aber nicht ersetzen). Gibt es Ringe, in denen ggT und kgV von Idealen besonders gern betrachtet wird? Ich hab da jetzt Dedekind-Ringe im Kopf, aber hab vergessen, was genau das ist. --192.168.0.1 19:00, 3. Apr 2005 (CEST)

In Ganzheitsringen von Zahlkörpern nimmt mann den Ideal-ggT und den Ideal-kgV ganz gerne her. Der Grund ist wohl, dass die Primfaktorisierung nicht mehr eindeutig ist, die Primideal-Faktorisierung aber schon.--MKI 22:01, 3. Apr 2005 (CEST)

Zum Satz "Für zwei natürliche Zahlen m und n gibt es stets einen größten gemeinsamen Teiler ggT(m,n), d.h. eine größte natürliche Zahl, durch die sowohl m als auch n ohne Rest teilbar sind."
Stimmt es wirklich, dass es für zwei natürliche Zahlen immer einen ggT gibt? Meines Erachtens ist dieser Satz falsch, denn es existiert nicht unbedingt ein ggT für zwei beliebige natürliche Zahlen.--IP

Ja, das stimmt. Es gibt immer den gemeinsamen Teiler 1, und jeder gemeinsame Teiler ist kleiner oder gleich m und kleiner oder gleich n. Es kommen also nur endlich viele Zahlen als gemeinsame Teiler in Frage, und eine von diesen ist die größte.-- Gunther 20:07, 10. Apr 2005 (CEST)

Öh, was ist demnach der ggT von 0 und 0, in Zeichen: ggT(0,0)? Die verallgemeinerte Definition sagt: 0 ist gemeinsamer Teiler, und jeder gemeinsame Teiler teilt diesen (trivial), also ist 0 ein ggT. ggt(0, n) = n \forall n \in N, auch hier hilft die Argumentation des Absatzes vorher nicht. Richtig ist dagegen: Der ggT ganzer Zahlen ist immer bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt. Nimmt man in der Definition nur den nichtnegativen, so ist er eindeutig.

Falls Du Dich auf den Absatz oberhalb beziehst: Da ist die Rede von natürlichen Zahlen. Wenn man die Null mit hineinbringen will, sollte man die Halbordnung durch Teilbarkeit verwenden, also z.B. $1<2<4<0$, entsprechend den Inklusionen $\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset 4\mathbb {Z} \supset \{0\}$.--Gunther 12:16, 17. Jan 2006 (CET)

Kommutativ- und Distributivgesetz

Gibt es einen tieferen Grund, die Eigenschaften des ggT mit diesen Namen zu versehen? Gibt es Interesse an $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {N}$ mit dieser Halbringstruktur?--Gunther 12:15, 28. Jun 2005 (CEST)

Wenn Du fragst, warum sie überhaupt aufgeführt sind? Keine Ahnung. Wenn Du fragst, warum ich Distributivgesetz und Kommutativgesetz dahinter gesetzt habe, dann antworte ich, weil es sich bei den beiden erwähnten Regeln eben genau um das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz (angewendet auf den ggT handelt). Das sollte man schon hervorheben.

Sollte ich auch noch De Morgan finden (Das lässt sich mit der Kombination ggT und kgV sicher prima darstellen) dann würde ich hinter die Regel auch noch De Morgan schreiben. --Arbol01 16:02, 28. Jun 2005 (CEST)

Ohne den Zusammenhang einer algebraischen Struktur würde ich die Eigenschaften eher Symmetrie und Homogenität nennen. Ansonsten solltest Du dazuschreiben, um welchen Kontext es geht (Verband, Halbring, was auch immer).--Gunther 16:27, 28. Jun 2005 (CEST)

Symmetrie ist: Wenn a teilt b und b teilt a, dann folgt daraus a = b. Das trifft bei ggT in diesem Fall aber nicht zu. ggT(a,b) = ggt(b,a) bedingt nicht, das a = b ist. Beispiel ggT(16,18) = ggT(18,16) = 2. Zur Homogenität muß ich mal nachsehen. --Arbol01 16:39, 28. Jun 2005 (CEST)

Eine Funktion $X\times X\to Y$ heißt symmetrisch, wenn $f(x_{1},x_{2})=f(x_{2},x_{1})$ für alle $x_{1},x_{2}\in X$ gilt. Sollte man mal irgendwo aufschreiben. Was Du beschreibst, heißt übrigens Antisymmetrie.--Gunther 16:47, 28. Jun 2005 (CEST)

Nachtrag: Wie wäre es einfach, hinzuschreiben, das es sich bei (ggT,N) um eine Gruppe handelt,oder bei (ggT,kgV,N) um einen Ring? Dann könnte man auf die einzelnen erwähnungen der gültigen Gesetze verzichten. Oder nicht? --Arbol01 16:21, 28. Jun 2005 (CEST)

(ggT,N) ist keine Gruppe, weil es keine Inversen gibt.--Gunther 16:28, 28. Jun 2005 (CEST)

Ja, schon gut! Ich habe es halt einfach schnell hingeschrieben, ohne es vorher zu überprüfen. --Arbol01 16:39, 28. Jun 2005 (CEST)

ggT oder gcd?

In den (jetzt speziell deutschsprachigen) Büchern und Artikeln, die ich lese, ist gcd(a,b) und lcm(a,b) die auch im deutschen Sprachkreis dominierende Variante, und ggT u. kgV sehe ich nur ab und zu in einem Schulbuch. Können wir die aus dem Englischen entlehnten gcd u. lcm wenigstens erwähnen (wenn nicht sogar zur bevorzugten Schreibweise erheben)?--JFKCom 21:46, 25. Jul 2005 (CEST)

gcd (greatest common divisor) ist die englische Bezeichnung für das Deutsche ggT (größter gemeinsamer Teiler). Ebenso ist lcm (least common multiple) die englische Bezeichnung für kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches). Da dies der deutschsprachige Teil der Wikipedia ist, sind die deutschen Bezeichnungen zu bevorzugen. Das die Kenntnis von gcd = ggT und lcm = kgV in unserer anglinisierten Welt durchaus wichtig ist, ist klar. --Arbol01 21:54, 25. Jul 2005 (CEST)

Erwähnen ja, verwenden nein. Bei der Gelegenheit kann man auch gleich die Kurzschreibweise $(m,n)$ erklären.--Gunther 22:04, 25. Jul 2005 (CEST)

ggT für ganze Zahlen

Hallo, in dem Abschnitt Rechenregeln wird plötzlich von ganzen Zahlen gesprochen, obwohl in der Einleitung nur von natürlichen Zahlen (einschließlich 0) die Rede war. Zumindest eine Definition müsste hier her. Sinnvollerweise nimmt man den ggT der absoluten Beträge. Dann ist der Abschnitt aber noch immer nicht ganz in sich stimmig, z. B. gilt dann nicht ggT(a, a) = a. Oder man schmeißt hier "ganze Zahlen" und einige Regeln raus. Was meint Ihr. Gruß von -- Wasseralm 12:35, 6. Okt 2005 (CEST)

"Größter gemeinsamer Teiler" ist ja auch für ganze Zahlen (die nicht beide null sind) ein definierter Begriff. Leider ist damit ggT(a, a) = |a|, daran kann man wohl nichts ändern. Aber ich möchte behaupten, dass ein ggT für ganze Zahlen sinnvoll ist.--Gunther 12:43, 6. Okt 2005 (CEST)

Klar, natürlich ist er sinnvoll, aber dann muss man ihn auch einführen, um Rechenregeln angeben zu können. Gruß, -- Wasseralm 12:48, 6. Okt 2005 (CEST)

Jetzt o.k.?--Gunther 13:09, 6. Okt 2005 (CEST)

Prima. -- Wasseralm 13:47, 6. Okt 2005 (CEST)

kgV(m,0)? und ggT(m,0)=|m|

$\operatorname {kgV} (m,0)=0$ müsste hier nicht zuvor die Division durch 0 definiert werden? Auch $\operatorname {ggT} (m,0)=|m|$ scheint mir ein relativ pathologischer Fall zu sein. Also wäre es nicht bessen, dass m und n als ungleich 0 angenommen werden? -- Sommerfm 13:56, 14. Okt 2005 (CEST)

Ich sehe nicht, wo hier eine Division durch 0 erforderlich wäre. Kannst Du Deine Bedenken etwas präzisieren?--Gunther 14:03, 14. Okt 2005 (CEST)

Das kgV(m,n) wurde im Artikel wie folgt definiert: "Es gibt auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV(m,n), d.h. eine kleinste nichtnegative natürliche Zahl, die ihrerseits durch m und n ohne Rest teilbar ist." Wenn ich das nicht falsch verstehe, muss also kgV(m,0) durch m und 0 teilbar sein, wenn es existieren soll. Andererseits ist in allen Fällen in denen m und n ungleich 0 sind ggT(m,n)<=kgV(m,n). Nur für m ungleich 0 und n=0 gilt ggT(m,0)>kgV(m,0), was bei mir irgentwie einen zusätzlichen Verständnisbruch an der Sinnfälligkeit dieses Sonderfalls auslöst. -- Sommerfm 13:34, 17. Okt 2005 (CEST)

Ah ja, wenn man es so formuliert, muss man durch 0 teilen. Leider funktioniert die Formulierung "kleinste nichtnegative Zahl, die Vielfaches von m und Vielfaches von n ist" nicht, weil das immer 0 wäre. Von einem abstrakteren Standpunkt geht es um folgendes: Ideale in Z haben einen eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger; der ggT ist der Erzeuger von $(m)+(n)$, das kgV der Erzeuger von $(m)\cap (n)$. Elementar ausgedrückt bedeutet das: Eine Zahl ist genau dann Vielfaches von m und Vielfaches von n, wenn sie Vielfaches von kgV(m,n) ist. m und n sind genau dann Vielfache einer Zahl t, wenn auch ggT(m,n) ein Vielfaches von t ist. Diese Eigenschaften charakterisieren ggT und kgV ohne die direkte Verwendung der Division.--Gunther 13:57, 17. Okt 2005 (CEST)

Diese Charakterisierungen sind dann aber zweideutig, da sie für +/-ggT und +/-kgV gelten würden. -- Sommerfm 16:52, 20. Okt 2005 (CEST)

Wie gesagt, der nichtnegative Erzeuger ist eindeutig bestimmt.--Gunther 17:39, 20. Okt 2005 (CEST)

ggT zweier Brüche errechnen

Wie kann ich den ggT zweier Brüche errechnen? Muss ich da erst den ggT des ersten und des zweiten errechnen und dann aus diesen beiden den ggT ausrechnen oder geht das noch viel einfacher? Danke für evt. Hilfe

--mz:-) 19:22, 17. Okt 2005 (CEST)

Ich verstehe nicht, was Du willst. Der ggT ist doch nur für ganze Zahlen und ähnliche Sachen (wie Polynome, Ringe, ...) definiert.

Der grösste gemeinsame Teiler von ${\frac {2}{3}}$ und ${\frac {2}{5}}$ was soll das sein? Etwa ${\frac {2}{1}}$? Beispiele helfen --Makarius 12:15, 28. Jul 2006 (CEST)

Es gäbe verschiedene Gründe, weshalb man 2/15 als den ggT ansehen sollte. Aber solange nicht klar ist, wofür man die Verallgemeinerung braucht, sind derartige Erörterungen wenig sinnvoll. Der obige Beitrag ist über ein halbes Jahr alt, ich glaube nicht, dass der Benutzer sich nochmal meldet.--Gunther 12:43, 28. Jul 2006 (CEST)

Ist zwar schon etwas länger her, aber mir ist völlig schleierhaft, was Gunther hier gemeint haben könnte: Die Brüche bilden einen Körper, jeder Bruch ist durch jeden anderen Bruch ungleich 0 teilbar. Wie wird da die Definition für den ggT angewendet? Ich würde spontan bspweise bei 1/3 und 1/4 an 1/12 denken, aber das ist ja eher ein kgV... --χario 19:49, 5. Jun. 2008 (CEST)

15, 25, 40

was is denn das kgv von 15 25 un 40? (nicht signierter Beitrag von 84.165.240.245 (Diskussion) 14:17, 6. Sep 2006)

Man kann das entweder machen wie im Artikel, also zuerst das kgV von 15 und 25 berechnen (nennen wir es X) und dann das kgV von X und 40. Oder man schaut sich die Primfaktorzerlegungen an und nimmt für jede Primzahl den höchsten irgendwo vorkommenden Exponenten. Klar?--Gunther 14:23, 6. Sep 2006 (CEST)

ggT(0,0)

Ist ggT(0,0) definiert? --212.144.134.2 18:00, 10. Mai 2007 (CEST)

Zitat erster Absatz: Sind m und n nicht null, so gibt es auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. Da hier m null ist, ist das kgV nicht definiert. -- Michael2402 16:25, 3. Apr. 2008 (CEST)

Achtung: Da 0 zweifellos eine ganze Zahl ist, (und die hier aufgeführten Rechenregeln angeblich für alle ganzen Zahlen gelten), müsste demzufolge $\operatorname {ggT} (0,0)=|0|$ zutreffen. 0 ist aber niemals Teiler irgend einer Zahl. (nicht signierter Beitrag von 62.47.191.202 (Diskussion) )

Falsch: Definition: a teilt b, falls es ein c gibt mit b=a*c.

Demzufolge ist die Aussage a teilt 0 für alle a wahr, denn man kann ja c=0 setzen. Dies geht auch für a=0 (dann kann man jedes c wählen).

Erstes Fazit: Alle Zahlen (inklusive 0) sind Teiler von 0.

Warum ist 0 der ggT von 0 mit sich? d heißt ggT von a und b, falls d ein Teiler von a und b ist und falls alle gemeinsamen Teiler von a und b zugleich Teiler von d sind.

Konkret (für a=b=0): d ist ggT von 0 und 0, falls [1. d ein Teiler von 0 und 0 ist] und [2. alle Teiler f von 0 und 0 auch Teiler von d sind].

[1.] ist für alle d erfüllt (siehe erstes Fazit).

[2.] alle f sind Teiler von 0 und 0. Also bedeutet 2., dass alle Zahlen f Teiler von d sind. Und dies geht nur für d=0.

Zweites Fazit: ggT(0,0)=0. --Tolentino 15:53, 5. Jun. 2008 (CEST)

Sorry, aber so Geschichten wie '0 ist ein Teiler von 0' sind grob fahrlässig. Tipp' einfach einmal 0:0 in den Taschenrechner ein und lass' Dich überraschen, was geschieht! Die 'Definition' ist ohnehin mysteriös, es wird nicht einmal eine Definitionsmenge erwähnt. Vorschlag: So man sich unter 'ggT' unbedingt eine Abbildung vorstellen will, so käme dazu z.B. Z x Z \ {(0,0)} --> N \ {0} in Frage. Erwähnt man dann bei der Definition auch eine Definitionsmenge (keine schlechte Idee imo), dann kommt man auch nicht auf die Idee, dass 0 ein Teiler von 0 oder sonst irgend einer Zahl sein könnte. So, wie es hier steht: 'gilt für ALLE ganzen Zahlen' ist man jedenfalls auf dem Holzweg. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 80.121.75.102 (Diskussion • Beiträge) 19:02, 5. Jun. 2008 (CEST))

Seufz... Wir können immer dann ggt's sinnvoll definieren, wenn es ein ZPE-Ring ist. Ein wichtiger Punkt ist, dass es keine Nullteiler gibt. D.h für jedes Ringelement a gilt: a*0=0 während während für alle a,b $\neq$ 0 gilt: a*b $\neq$ 0. Man braucht also ganz und gar nicht alles umzuformulieren, weil egal wie es für die Null geregelt ist, der Rest der multiplikativen Gruppe nicht tangiert wird. Besser gesagt, 0 ist nicht Teil der multiplikativen Gruppe und deswegen von vornherein auszuschließen. '0 ist Teiler von 0' ist tatsächlich sehr umgangssprachlich aber es kommt nur darauf an, dass man mit ggt(0,0) sinnvoll umgeht. Und es gleich 0 zu setzen passt super in alle sonstigen Zusammenhänge. Inwiefern das zur Anschauung passt oder ihr zuwider läuft ist bei diesen "0-Fragen" fast immer persönliche Ansichtssache. --χario 19:32, 5. Jun. 2008 (CEST)

Dass 0:0 nicht definiert ist, hat nichts damit zu tun, ob ggT(0,0) definiert ist.

Fangen wir neu an: Sei R ein Integritätsring mit Einselement ($\mathbb {Z}$ mit üblicher Addition und Multiplikation und Einselement 1 ist ein Integritätsring).

Definition: Es seien $a,b\in R$. Man sagt: $a$ teilt $b$, falls es ein $c\in R$ gibt mit $b=ac$.

Beachte hier: 0 teilt 0, denn es gibt ein $c\in R$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = 0\cdot c} . (Tatsächlich kann jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c \in R} benutzt werden.)

Definition: Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, d \in R} . Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} heißt ggT von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} , falls zwei Eigenschaften erfüllt sind:

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} teilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} teilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} .

2. Für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in R} , die sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} teilen, gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} teilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} .

Beachte hier: Diese Definition impliziert, dass 0 der ggT von 0 und 0 ist.

Dies ist keine Privatdefinition, erst recht keine Theoriefindung, denn so ist es nachzulesen in Meyberg, Algebra, Teil 1, 2. Auflage, Seite 133-135. --Tolentino 08:34, 6. Jun. 2008 (CEST)

Einmal noch weise ich auf den offensichtlichen Widerspruch in dieser Definition hin, die keine Privatdefinition ist (?). Sei also 0 der größte gemeinsame Teiler von (0,0). D.h. es gibt kein x € Z, für das gilt: x teilt 0 UND x teilt 0 UND x ist größer als 0. 1 teilt 0 UND 1 teilt 0 UND 1 ist größer als 0. Schon haben wir ein x € Z gefunden, das es laut unserer Annahme nicht geben dürfte. Als nächstes behauptet noch jemand, 1 kann nicht größer als 0 sein, weil sonst ja 0 nicht der ggT von (0,0) wäre. Vielleicht war es bisher auch nur mein privater Irrtum, dass 1 größer als 0 ist, und bestimmt gibt es ein Buch, in dem das Gegenteil nachzulesen wäre. Wie auch immer, imo gibt es x € Z, die größer als 0 sind, und sowohl 0 als auch 0 teilen. Solange, bis jemandem der Beweis dafür gelingt, dass es nur negative Zahlen gibt. Dann wäre 0 wohl in der Tat der GRÖSSTE gemeinsame Teiler. P.S.: Die Definition widerspricht im Grunde 0 < 1, und ist somit trivial absurd. P.S.2: Es gibt noch einen triftigen Grund, der gegen ggT(0,0) = 0 spricht, und wiederum ist er von elementarer logischer Natur. Ich möchte das kgV(0,0) nach der Formel |m*n|/ggT(m,n) berechnen. Der ggT(0,0) sei also 0. Das Ergebnis einer Definition durch Null ist undefiniert. Also ist das kgV(0,0) undefiniert. Dieser Schluss ist genau so aberwitzig (aber folgt aus ggT(0,0) = 0) wie die Behauptung 0 ist nicht kleiner als 1, die ebenfalls aus ggT(0,0) folgt. -> bitte noch einmal genau darüber nachdenken, welche Konsequenzen eine Definition wie ggT(0,0) = 0 hätte. Es gäbe plötzlich kein kgV(0,0) mehr. Und 0 wäre nicht kleiner als 1. (Lieber nicht!) Benutzer:Kenne_meine_IP_zur_Zeit_nicht_auswendig (nicht signierter Beitrag von 62.47.191.243 (Diskussion) )

Meinen Hinweis, dass dies keine Privatdefinition ist, solltest du erst in Zweifel stellen, wenn du in das von mir angegebene Buch schaust (welches ein Standardwerk unter den deutschsprachigen Algebrabüchern ist). Erst wenn du der Meinung bist, ich würde es falsch zitieren, wäre dein Vorwurf gerechtfertigt.

"es gibt kein x € Z, für das gilt: x teilt 0 UND x teilt 0 UND x ist größer als 0." ist nicht dasselbe wie 0 = ggT(0,0). Schon alleine das Wort "größer" kommt nicht in der Definition vor und kann es auch nicht, weil Ringe im Allgemeinen keine Anordnung besitzen. --Tolentino 13:59, 6. Jun. 2008 (CEST)

Jetzt liest sich der Text schon viel besser, weil gleich zu Beginn eine Unterscheidung zwischen dem ggT (wie er in der Grundschule gelehrt wird) und dem ggT (wie er in Deinem Buch beschrieben wird) getroffen wird, und die Widersprüche nicht mehr auftreten. Sehr gute Idee, das Thema ist gegessen. mfg Verwirrter Leser(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 62.47.188.208 (Diskussion • Beiträge) 15:29, 6. Jun. 2008 (CEST))

@Tolentino: Sind die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b} explizit aus ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} oder eventuell nur aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R^*} ? --χario 20:10, 7. Jun. 2008 (CEST)

Im Meyberg steht explizit aus R, d. h., er nimmt die 0 nicht heraus. Aber ich will nicht ausschließen, dass andere Autoren das vielleicht anders definieren; es ist halt ne reine Definitionsangelegenheit. --Tolentino 17:00, 8. Jun. 2008 (CEST)

Ein gewisses Ärgernis stellt die kgV Formel kgV = |m*n|/ggT(m,n) dar. In der englischen Wikipedia gibt's keine Betragsstriche, hier schon. Was ist denn nun die 'richtige' Formel? Der englischen Wiki zufolge kann ein lcm auch negativ sein. Oder ist's egal? Verwirrter Leser

Am besten für ganze Zahlen ist |kgV| = |m*n/ggT(m,n)|, da man den kgV analog zum ggT allgemein definieren kann: k ist ein kgV von a und b <=> (1) k ist ein gemeinsames Vielfaches und (2) Jedes gemeinsame Vielfaches von a und b ist Vielfaches von k. Genau wie bei der allg. Definition des ggT ist dies nur betragsmäßig eindeutig. Im Falle der ganzen Zahlen nennt man den positiven ggT/kgV dann den ggt bzw. den kgV. Im Falle von Polynomen ist der ggT bzw. der kgV dann das normierte Polynom. Allgemein gilt (wenn ich mich gerade richtig erinnere): kgv(m,n)*ggT(m,n) = m*n * c, wobei c ein Teiler der 1 ist. (nicht signierter Beitrag von 79.196.204.154 (Diskussion | Beiträge) 20:39, 31. Mai 2009 (CEST))

Verbesserungsfähig

Hallo,

ihr sollte bedenken, dass dieser Artikel nicht nur von Mathematikstudenten gelesen wird, sondern sich vielleicht auch 6.Klässer in der Hauptschule über ggT und kgV informieren wollen, die werden von diesem Artikel nicht viel verstehen. Oder besser gesagt: OMA-Test nicht bestanden! --88.134.128.118 12:01, 25. Jul. 2007 (CEST)

Trennung ggT und kgV

Hallo. Ich schlage vor, die beiden Artikel -- wie sonst in der Wikipedia üblich -- zu trennen. Sie waren vor langer Zeit auch mal getrennt, nun haben wir einen langen Sammelartikel, den man erst komplett lesen muss, auch Teile über das kgV, selbst wenn man nur schnell etwas über den ggT erfahren will und umgekehrt. Ein besonderes Problem ergibt sich nun durch die vielen Umleitungen und vor allem durch die Unmöglichkeit eines vernünftigen Interwiki-Links, da in den anderen Sprachversionen die Artikel getrennt sind. Stern 14:43, 20. Jan. 2008 (CET)

Hallo, es kommt öfter vor, dass zwei (oder mehr) Begriffe in einem Artikel vereint sind, siehe z. B. Maximales und minimales Element, Größtes und kleinstes Element, Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt, Freie Variable und gebundene Variable. Dabei handelt es sich um Gegensatzpaare bzw. duale Begriffe. ggT und kgV sind zwar von der Ordnungstheorie her auch dual zueinander, in der Anwendung spielt dieser Aspekt aber meist keine Rolle, so dass aus meiner Sicht eigentlich nichts gegen eine Trennung spricht. Gruß, Wasseralm 16:04, 20. Jan. 2008 (CET)

Ich finden den Lemmannamen auch etwas ungewöhnlich, solange jedoch die entsprechenden Redirects für die Einzelbegriffe existieren ist das im Prinzip ok. Man sollte aber darauf achten, das die Einzelbegriffe im Artikel trotzdem möglichst einfach lesbar bleiben, d.h. man sollte nicht gezwungen, einen langen Artikel komplett zu lesen, wenn man nur einen Einzelbegriff nachschlagen möchte.--Kmhkmh 13:56, 18. Mai 2008 (CEST)

Hab's gesplittet, nicht zuletzt, weil die Interwikis vorher nicht stimmten. Zuerst wollte ich die neuen Artikel tatsächlich neu gliedern und teilweise neu formulieren und den Mutterartikel zu löschen, das erschien mir aber dann doch zu viel für mal eben zwischendurch und ich habe das so zwischengelöst. Wenn's nicht gefällt: feel free. -- Emdee 22:09, 20. Jul. 2009 (CEST)

Beispiel ist Quatsch

Hallö, M.E. ist das Beispiel am Ende Quatsch. Die beiden Zahlen haben sowohl einen ggT als auch ein kgV. ggT ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1+\sqrt(-3)} und kgV dann logischerweise 8, damit kgV(a,b) * ggT(a,b) = a * b oder seh ich das falsch? Vielleicht einfach erstmal löschen, da mir grad keine idee kommt, wie man das noch retten kann^^ gruß, Benni

Das Beispiel ist vollkommen richtig, man könnte es nur noch etwas ausführlicher erklären. Ich hab versucht es etwas umzuformulieren, vieleicht wird es dann klarer. Wichtig ist, es gibt zwei Teiler mit gleichen Betrag, die aber nicht zueinander assoziert sind, was ein Wiederspruch zur Definition des GRÖSSTEN gemeinsamen Teiler ist... Schönen Gruß "Wohingenau" 14:13, 16. Aug. 2008 (CEST)

kleinster gemeinsamer teiler ist richtig!

der titel des artikels ist höherer blödsinn (selbst wenn es die engländer so bezeichnen sollten)! weil, einen grössten gemeinsamen teiler kann es per definition garnicht geben (grösser kann man einen teiler immer machen - also was soll dieser unsinn: gross, grösser, am grössten?), sondern nur einen "kleinsten" (meint: kleinstmöglichen) gemeinsamen teiler über die primzahlenzerlegung. in dem ersten beispiel also 3 x 5 x 7 = 105 (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von Dontworry (Diskussion • Beiträge) 04:58, 17. Aug. 2008)

Der etablierte Fachbegriff ist „größter gemeinsamer Teiler“. Der Name ist auch stimmig, da der ggT unter allen gemeinsamen Teilern nunmal der größte ist. Und noch ein kleiner Hinweis für die Zukunft: Wenn du ernstgenommen werden willst, dann solltest du nicht zu häufig Wörter wie Blödsinn verwenden. --Stefan Birkner 16:41, 17. Aug. 2008 (CEST)

mit logik hat wohl diese mathematik nicht mehr viel am hut, da muss es einen nicht wundern, wenn solche sprachliche "unlogik" (da bekommt der "fachidiot" ja eine ganz neue qualität!) als fachbegriff verwendet wird und die schüler dann beim nächsten pisa-test wieder alles versemmeln! das kommt halt wenn man alles stupide aus den englischen begriffen übernimmt! ich habe es jedenfalls noch als "kleinsten gemeinsamen nenner" gelernt und rechne auch heute noch damit. und auf dieses "ernstnehmen" verzichte ich dann auch (freiwillig) gerne! ;-) dontworry 17:24, 17. Aug. 2008 (CEST)

jetzt zeigt sich die Genialität: kleinster gemeinsamer teiler und kleinster gemeinsamer nenner ist das gleiche. Aha! An alle Schüler die mitlesen: Vergesst bitte den ganzen Abschnitt. -- 92.106.76.133 17:33, 17. Aug. 2008 (CEST)

Es liegt hier augenscheinlich eine Verwechslung der Begriffe „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinster gemeinsamer Nenner“ vor. --Stefan Birkner 17:41, 17. Aug. 2008 (CEST)

Nein, genau so einfach ist das: oberhalb des bruchstriches steht der "zähler" und unterhalb der "teiler" bzw. "nenner". oder hast du es etwa anders gelernt? der nenner heisst nämlich so, weil er den bruch benennt (viertel, achtel usw.)! dontworry 17:45, 17. Aug. 2008 (CEST)

meine aussage lässt sich ganz einfach überprüfen, denn man kann ja einen bruch beliebig "erweitern" indem man zähler und nenner mit der gleichen zahl multipliziert, ohne dass sich dadurch der wert des bruches ändert! jetzt soll mir also mal jemand erzählen, welches die grösstmöglichen zahlen sind, mit welcher er den bruch erweitern kann, um auf den "grössten (möglichen) gemeinsamen teiler" zu kommen? ich setze mein ganzes vermögen als preis, wenn mir jemand das ergebnis schriftlich liefert! dontworry 18:03, 17. Aug. 2008 (CEST)

Der Begriff Teiler bezieht sich nicht die Bruchrechnung, sondern auf den Teilbarkeitsbegriff der Zahlentheorie. Bitte lies dazu zuerst den Artikel Teilbarkeit. --Stefan Birkner 18:16, 17. Aug. 2008 (CEST)

wenn ich erst einen artikel lesen muss um zu wissen ob der "teiler" teilt oder was anderes macht (kartoffel schält oder erbsen zählt), ist sowieso alles zu spät - dann soll er sich (der teiler) zum teufel scheren! dontworry 18:24, 17. Aug. 2008 (CEST)

ps. ich habe mir jetzt mal den artikel "teilbarkeit" angesehen. wenn mathe jetzt in dieser sprache in deutschland gelehrt wird, kann ich sofort verstehen, dass damit kein normaler mensch rechnen lernen kann - das ist richtig perverses unverständliches deutsch. ich hatte in der (fach)abendschule auch mal nen mathelehrer der die ganze tafel vollschrieb und keiner aus der klasse verstand was gemeint war - dieser artikel erinnert mich sehr daran! ich konnte allerdings auch daraus nicht erkennen, dass ein teiler jetzt nicht mehr teilen sollte - trotz dieses verschwurbelten sprachduktus'? ;-) dontworry 19:20, 17. Aug. 2008 (CEST)

Da du anscheinend den vollen Durchblick hast, ziehe ich mich aus dieser Diskussion zurück. --Stefan Birkner 20:21, 17. Aug. 2008 (CEST)

ich sehe das eher etwas anders (mit dem durchblick) und daran will ich auch keineswegs dir die schuld geben, denn diese "sprachregelung" ist ja wohl nicht auf deinem mist gewachsen? sondern eher dem eines kreises von mathe-bürokraten, denen es mit solch "unlogischen" formulierungen und sprachregeln erfolgreich gelungen ist ihr herrschaftswissen möglichst geheim zu halten und somit die exklusivität ihres wissens zu waren. wenn es durch diese eher simplen tricks (kleinster/grösster) nicht möglich ist greift man auch gerne zu - allgemein unverständlichen - fachausdrücken. exemplarisches beispiel in "teilbarkeit"[1]: "...Der Begriff Teilbarkeit wird in der Algebra von den ganzen Zahlen auf Integritätsringe und teilweise sogar auf kommutative Ringe erweitert...". da möchte ich gerne wissen, für wieviel prozent der wp-user dies verständlich sein soll (relevanz, oma-regel usw.)? das ist das gleiche, wie ich es mit uwe gille über viele der medizinartikel bereits diskutiert habe: es schreiben hier (zunehmend) fachidioten für andere fachidioten (und wenn man sie darauf hinweist, sind sie auch noch beleidigt)! dontworry 11:44, 18. Aug. 2008 (CEST)

Hallo dontworry, der erste Absatz des Artikels Teilbarkeit reicht völlig aus, um den Zusammenhang hier zu diskutieren. Nach meiner Meinung besteht dein Problem einfach darin, dass du anscheinend den Nenner eines Bruches "Teiler" nennst, was sonst niemand tut. Da hilft das ganze Geschimpfe über "Herrschaftswissen", "Bürokratie", etc. auch nichts. Gruß, Wasseralm 21:21, 18. Aug. 2008 (CEST)

wenn du nur mal was belangloses loswerden wolltest (mangelndes wissen oder phantasie, durch die "gnade" der späten geburt?), musst du mich nicht (überflüssigerweise) auch noch grüssen - das gehört nicht zu einer diskussion (wundere mich immer wieder, wieviel sinnfreie grüsse hier tagtäglich versand werden - man kommt sich vor wie auf einer auktion für grusskarten sammler)! und der versuch - vom thema (fachidioten-sprache) abzulenken - war noch nicht 'mal die bytes wert die dazu notwendig waren! ausserdem frage ich mich auch - wenn mir hier alle so nachdrücklich den "teiler" (als synonym für nenner) ausreden wollen - warum dann, im artikel überhaupt vom "grössten gemeinsamen teiler" die rede ist und wo sich dieser dann befinden soll? ist der jetzt plötzlich aus dem artikel weg gebeamt - ins imaginäre? ;-) dontworry 08:48, 19. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe den Artikel um ein einfaches Beispiel erweitert, das u. a. erläutern soll, wie der Begriff "Teiler" hier verstanden wird. Gruß, Wasseralm 19:36, 22. Aug. 2008 (CEST)

Die ganze Diskussion ist ja mal wirklich äußerst lustig. Keine Ahnung was Dontworry hat, den Begriff ob eine Zahl teilbar ist oder nicht kennen selbst Hauptschüler. Und kleinster gemeinsamer Teiler ist vollkommener Quark, denn da braucht man nicht viel rumrechnen das ist die 1 unabhängig von den Zahlen! Und nur mal zur Info das ganze hat absolut 0 mit Bruchstrichen zu tun denn das wären die Rationalen Zahlen hier geht es um die Natürlichen Zahlen, da gibt es sowas wie Bruchstriche nicht, dennoch kann man hier eine Division durchführen (teilen), es dürfen lediglich keine Brüche (Kommazahlen) rauskommen und das ist genau was Teilbarkeit bedeutet. Und der größte gemeinsame Teiler bezieht sich eben auf die größtmögliche Zahl mit der man 2 andere natürliche Zahlen teilen kann, so dass kein Bruch entsteht. Also ich verstehe wirklich nicht was daran schwer zu begreifen ist und ja selbst Hauptschüler verstehen das (ich war auch mal einer).