Diskussion:Konvergenz (Stochastik)

Verschiedene Konzepte

Zitat: "Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem Stichprobenumfang, weil das asymptotische Verhalten der Experimente immer von den einzelnen Realisationen abhängt." Die Begründung gefällt mir nicht - aber was ist wirklich der Grund für die unterschiedlichen Grenzwertbegriffe? --NeoUrfahraner 22:12, 9. Nov. 2006 (CET)

Das ist schon der Grund für die verschiedenen Begriffe, sonst hätte ich das nicht hingeschrieben. Der Begriff der fast sicheren Konvergenz ist die Eins-zu-Eins-Übertragung des klassischen analytischen Begriffs. Die anderen Konvergenzbegriffe kommen daher zustande, dass man durch die Wahrscheinlichkeiten noch zusätzliche "Gewichtungen" besitzt. Wenn man zum Beispiel bei stochastischer Konvergenz statt P(|X_n - X| < \epsilon) nur |X_n - X| < \epsilon betrachten würde, käme man wieder bei der analytischen Konvergenz raus. Durch die Wahrscheinlichkeit toleriert man aber systematische Abweichungen vom Grenzwert, sofern sie nur selten auftreten. Ähnlich ist das bei Konvergenz im p-ten Mittel. Solange die Erwartungswerte das Richtige tun, müssen die konkreten Realisationen nicht konvergieren. (Wobei man fairerweise sagen muss, dass fast sichere Konvergenz und Konvergenz im p-ten Mittel in den meisten Fällen (beschränkte Zufallsvariablen z. B.) äquivalent sind.) --Scherben 22:27, 9. Nov. 2006 (CET)

Nichtsdestotrotz habe ich mal einen Satz zur Konvergenz von Funktionen ergänzt und bin dabei auf den schönen Artikel Funktionenfolge gestoßen. --Scherben 22:36, 9. Nov. 2006 (CET)

Mit dem Verweis auf Funktionenfolge gefällt es mir besser. --NeoUrfahraner 08:44, 10. Nov. 2006 (CET)

Ist der Zusammenhang zwischen den Konvergenzarten tatsächlich so einfach gelagert? Müssen nicht noch gewisse Annahmen getroffen werden um von der einen Konvergenzart auf eine andere schließen zu können? Wie z.B.: von konvergenz f.ü. auf K. im pten Mittel muss zusätzlich:|f_n|<=g gelten

Dazu steht im Artikel doch gar nichts. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 18:44, 10. Mär. 2007 (CET)

Problem in der Definition von schwacher Konvergenz

Auch wenn das den Artikel wieder komplizierter und un"ubersichtlicher machen wird: Die Definition von schwacher Konvergenz verwendet stetige Funktionen, die auf dem Ma"sraum definiert sind. Nun hat aber ein Ma"sraum nunmal keine kanonische Topologie, sondern eben nur eine Sigma-Algebra und ein Ma"s. Selbst, wenn man annimmt, dass die Sigma-Algebra aus den Borelmengen einer Topologie entstanden ist, so ist es nicht m"oglich, von den Borelmegnen wieder auf die Topologie zu schlie"sen...

Vorschlag zur Verbesserung: Wir definieren die schwache Konvergenz erstmal nur f"ur Ma"se auf den reellen Zahlen (oder auf dem R^n) . Da wir ja eigentlich sowieso nur auf die Verteilungskonvergenz von reellwertigen Zufallsvariablen hinauswollen, w"are das ja ausreichend. Vielleicht kann ja ein Stochastiker oder ein Topologe mal seinen Senf dazu geben... -- 130.83.2.27 11:15, 24. Mai 2007 (CEST)

Stimmt. Ich habe die Definition auf die Version von Ash geändert. --NeoUrfahraner 18:39, 24. Mai 2007 (CEST)

Beispiel

Vielleicht könnte man noch einen Absatz einfügen in dem Beispiele und Gegenbeispiele aufgeführt werden. Etwa eine Folge von ZV, die stochastisch konvergieren, aber nicht fast sicher.

z.B. Omega= [0,1] X ist konstant 0

X_1 = Indikator [0,0.5] X_2= Indikator [0.5,1]

X_3=Indikator [0 , 0.25] X_4= Indikator [0.25,0.5] X_5= Indikator [0.5,0.75] X_6=Indikator [0.75,1]

X_7=Indikator [0, 0.125] etc.

X_n konvergiert stochastisch gegen X, aber X_n konvergiert nicht f.s. gegen X

Wenn man die Definitionen zum ersten mal liest erschließt sich einem typischerweise noch nicht die volle Pracht.

Ich habe für's erste dieses Beispiel ergänzt. In den angebenen Literaturstellen finden sich natürlich noch mehr davon. --NeoUrfahraner 22:04, 8. Jan. 2008 (CET)

Und ich habe Kleinigkeiten verändert. Ich hatte übrigens immer gedacht, dass diese Funktionen "Rademacher-Funktionen" heißen, aber irgendwie finde ich gerade keine Belege dafür. Weiß jemand mehr? --Scherben 10:27, 9. Jan. 2008 (CET)

Danke für die Bugfixes. In der von mir zitierten Liteatur hat diese Funktion keinen Namen; zu Rademacher-Funktion habe ich das gefunden: http://mathworld.wolfram.com/RademacherFunction.html Eine gewisse Ähnlichkeit ist zwar da, aber letzltich geht's um was anderes (nämlich um ein Orthonormalsystem). --NeoUrfahraner 10:47, 9. Jan. 2008 (CET)

Danke. Wird wohl die Ungenauigkeit eines Dozenten gewesen sein. :) --Scherben 11:13, 9. Jan. 2008 (CET)

Die Topologie der fast sicheren Konvergenz

...existiert nicht. Der Beweis dafür steht im Artikel und es ist außerdem noch eine Quelle gegeben. Deswegen ändere ich das jetzt wieder zurück. Die Topologie der punktweisen Konvergenz existiert übrigens in der Tat, es ist sozusagen die Produkttopologie, aber eben nicht die der punktweisen Konvergenz fast überall, die existiert in der Tat nicht. --Cosine 15:40, 11. Nov. 2009 (CET)

Um das Argument noch besser zu erklären:

Lemma (Subsequence Subsequence Criterion) Sei X ein topologischer Raum und darin sei eine Folge (x_n) und einen Punkt a gegeben. Dann gilt: (x_n) konvergiert genau dann gegen a, wenn jede Teilfolge von (x_n) selbst wieder eine Teilfolge hat, die gegen a konvergiert. (Beweis geht ganz leicht per Widerspruch und funktioniert in beliebigen Topologischen Räumen, selbst in nicht-Hausdorff-Räumen)

Wenn es jetzt also eine Topologie der punktweisen Konvergenz fast überall gäbe, dann würde also obiges Lemma auf fast sicher konvergente Folgen von Zufallsvariablen zutreffen. Nun haben wir aber in dem Beispiel eine Folge, die nicht gegen 0 konvergiert, aber die Eigenschaft hat, dass jede Teilfolge eine Teilfolge besitzt, die gegen 0 konvergiert. Also Widerspruch.

Kurz: Auch wenn hier über Folgen argumentiert wird, ist Metrisierbarkeit überhaupt kein Thema.

Ich hoffe, dass das nun die Situation ein wenig klärt. --Cosine 15:57, 11. Nov. 2009 (CET)

Defekter Weblink (erl.)

– GiftBot (Diskussion) 08:54, 20. Sep. 2012 (CEST)

Alle Inhalte Ausgelagert

Ich habe nun alle Inhalte in eigene Artikel ausgelagert und dort teilweise massiv Erweitert. Ich würde diese Seite jetzt in eine Weiterleitung auf Konvergenz verwandeln, um zumindest einigermaßen den Sinn der Links, die auf diese Seite zeigen zu erhalten. Meinungen? --NikelsenH (Diskussion) 02:06, 20. Jun. 2015 (CEST)

Auf jeden Fall ist es super, dass die einzelnen Konvergenzarten jetzt eigene Artikel haben! Stoff genug gibt es dafür auf jeden Fall. Vielen Dank! Ich bin persönlich aber eher dafür, diesen Artikel hier zu behalten, inklusive kurzer Definitionen der einzelnen Konvergenzarten und vor allem den Abschnitt „Zusammenhang zwischen den einzelnen Konvergenzarten“ auszubauen. Der Stoff bieten genug Potential für Verwirrungen und Verwechslungen, sodass so ein zentraler Anlaufpunkt nicht schaden kann. Die Begriffsklärungsseite Konvergenz ist nicht schlecht, aber zu knapp um wirklich Orientierung zu bieten. --DufterKunde (Diskussion) 14:48, 20. Jun. 2015 (CEST)

Ich hab den Artikel jetzt mal etwas gestrafft und einige wenige Inhalte in die Entsprechenden Artikel ausgelagert. Ich würde jetzt die Abschnitte zu den einzelnen Artikeln so lassen. Evtl. kommen noch ein paar Kriterien dazu, unter denen sich die Implikationen umkehren lassen. LG --NikelsenH (Diskussion) 09:08, 23. Jun. 2015 (CEST)