Diskussion:Magischer Würfel

kann nicht stimmen

Einen magischen Würfel der Ordnung 6 kann man durch Rekursion aus 27 magischen Würfeln der Ordnung 2 herstellen

kann nicht stimmen, da es keinen magischen Würfel der Ordnung 2 gibt. Man scheitert schon beim m einer Seite: man weiß aus der Formel im Artikel, das die Summe 9 sein muss. Dann probiert 2 beliebiige Zahlen a und b, die Gleichung a + b = 9 erfüllen aus und macht damit die erste Kante, wenn man dann aber die zweite hinzufügen will, hat man ein Problem: die einzige Möglichkeit, auch für die nöchste Kante die Smme 9 zu bekommen wäre

a--b
|
b

Damit ist aber die Vorraussetzung nicht erfüllt, dass jede Zahl nur 1x vorkommen darf. Wer jetzt diese Erklärung nicht versteht, der darf kann für a und b beliebige zahlen, die a + b = 9 erfüllen, einsetzen, dann wird alles sofort klar. Das ist übrigens auh der Grund, warum es kein magisches Quadrat 2. Ordnung gibt. --80.109.39.94 14:54, 30. Mär. 2011 (CEST)

Vielleichgt ist es einfacher, das ganze mit einem Gleichungssystem zu erkllären:

a + b = 9

a + c = 9

...

aus den ersten beiden Gleichungen folgt dann:

b = 9 - a

c = 9 - a

b = c

--80.109.39.94 15:07, 30. Mär. 2011 (CEST)

Im Artikel wurden vermutlich als Kanten des Würfels fälschlicherweise die Verbindungen zwischen den Zahlen gezählt, statt der Zahlen selbst. Korrigiert man dies, würde die Aussage lauten

'Einen magischen Würfel der Ordnung 9 kann man durch Rekursion aus 27 magischen Würfeln der Ordnung 3 herstellen.'

(Dabei würde ich daran zweifeln, dass der Begriff 'Rekursion' hier zutreffend verwendet wird und würde empfehlen, den Begriff aus der Aussage zu streichen.)

Dass die Aussage mit Ordnung 9 und Ordnung 3 mathematisch korrekt ist, lässt sich an der Betrachtung einer beliebig gewählten Achse des Würfels der Ordnung 9 zeigen.

Seien die Würfel 1, 2 und 3 in einer (beliebigen) Achse angeordnet (beispielsweise vom oberen, vorderen, linken Element zum unteren, hinteren, rechten Element) und enthalten sie jeweils in der gleichen Richtung die Elemente a, b, c, so lässt sich die magische Zahl (Reihensumme) schreiben als

${\begin{alignedat}{2}S&=(a_{1}+n_{1}*27)+(b_{1}+n_{1}*27)+(c_{1}+n_{1}*27)\\&+(a_{2}+n_{2}*27)+(b_{2}+n_{2}*27)+(c_{2}+n_{2}*27)\\&+(a_{3}+n_{3}*27)+(b_{3}+n_{3}*27)+(c_{3}+n_{3}*27)\\\end{alignedat}}$

Für die anderen Achsen gilt dies entsprechend mit anderen Faktoren.

Dabei sind $n_{1}$ bis bis $n_{3}$ drei Faktoren aus der Menge $n_{1}$ bis $n_{27}$ mit den Werten 0...26, die ebenfalls in der Reihenfolge einem magischen Würfel der Ordnung 3 entsprechen. Die Klammern sind nur als Lesehilfe eingefügt.

Da jeder Unterwürfel ein magischer Würfel ist, müssen die jeweiligen Reihensummen der magischen Zahl entsprechen und also gleich sein. Im vorliegenden Fall für Ordnung 3 wäre das $m=a_{x}+b_{x}+c_{x}=42$. Somit lässt sich die Reihensumme umschreiben zu

${\begin{alignedat}{2}S&=&&m+(n_{1}*27)+(n_{1}*27)+(n_{1}*27)\\&&&+m+(n_{2}*27)+(n_{2}*27)+(n_{2}*27)\\&&&+m+(n_{3}*27)+(n_{3}*27)+(n_{3}*27)\\\\&=&&3*m\\&&&+(n_{1}*27)+(n_{1}*27)+(n_{1}*27)\\&&&+(n_{2}*27)+(n_{2}*27)+(n_{2}*27)\\&&&+(n_{3}*27)+(n_{3}*27)+(n_{3}*27)\\\end{alignedat}}$

Außerdem kann der Faktor 27 ausgeklammert und die Summen der $n_{x}$ als Produkt geschrieben werden:

$S=m+27*3*n_{1}+27*3*n_{2}+27*3*n_{3}$

Durch Ausklammern des Faktors 27 * 3 erhalten wir nun

${\begin{alignedat}{2}S&=m+27*3*n_{1}+27*3*n_{2}+27*3*n_{3}\\&=m+27*3*(n_{1}+n_{2}+n_{3})\\\end{alignedat}}$

Da die Konstanten $n_{1}\ \ldots n_{2}7$ ebenfalls als magischer Würfel angeordnet sind, müssen auch sie die magische Zahl für die Ordnung 3 ergeben, also $m=42$

Somit folgt

$S=m_{3}+27*3*m_{3}=(27*3+1)*m_{3}=m_{9}$

Da $m_{3}$ konstant ist, 27 * 3 + 1 aber auch, ist auch S konstant. Da die Achse frei wählbar ist, gilt dies für alle Achsen, also ist immer

$S_{9}=(27*3+1)*m_{3}=m_{9}$

-- Wasserdieb (Diskussion) 13:06, 12. Nov. 2017 (CET)

Ordnung

Ich verstehe nicht, inwiefern der abgebildete Beispielwürfel die Kantenlänge (= Ordnung) 3 haben soll. Der große Würfel ist mittig in insg. 8 Teilwürfel zerteilt, das ist doch dann eine Kantenlänge von 2, wenn man als Einheit die Kantenlänge der kleinen Würfel heranzieht. Oder wie ist die Kantenlänge (= Ordnung) sonst definiert? Danke.--Jordi (Diskussion) 16:01, 15. Jul. 2020 (CEST)