Diskussion:Neumann-Randbedingung

Die äußere Normale ist ein Vekor, deswegen die Fettschreibung ? -- 212.201.55.6 18:57, 9. Feb. 2008 (CET)

Genau. --P. Birken 20:52, 9. Feb. 2008 (CET)

Verständnisfragen

Aufgrund der Freiheit in gewöhnlichen Differentialgleichungen machen Neumann-Randbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung Sinn.

• Was bedeutet hier Freiheit? Und warum machen Neumann-Randbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung Sinn?

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist die alleinige Angabe von Neumann-Randbedingungen nur für elliptische Gleichungen auf einem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ sinnvoll, da die anderen Typen auch Vorgaben der Anfangswerte benötigen.

• Was ist eine elliptische Gleichung und warum benötigen andere (Gleichungs-?)Typen auch Vorgaben der Anfangswerte?

Damit die Ableitung in Richtung der äußeren Normalen an das Gebiet sinnvoll ist, muss dabei notwendig vorausgesetzt werden, dass sich der Rand $\partial \Omega$ lokal als Nullstellenmenge einer einmal stetig differenzierbaren Funktion schreiben lässt. Wir sagen dann, es handelt sich um einen $C^{1}$-Rand.

• Die "äußere Normale" $\mathbf {n} (x)$ eines Punktes von $\partial \Omega$ ist jener Vektor, der an diesem Punkt senkrecht auf $\Omega$ steht, richtig? Wie kann man für ein beliebiges $\Omega$ die $\mathbf {n} (x)$ bestimmen? Ich frage nach, weil ich nicht verstehe, wie man ${\frac {\partial u(x)}{\partial \mathbf {n} }}$ analytisch bestimmen kann. (Von en:Directional derivative#Normal derivative wissen wir, dass ${\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {n}}=\nabla _{\vec {n}}{f}({\vec {x}})={\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {n}}=Df({\vec {x}})[{\vec {n}}]$)
• Was heißt es, wenn sich der Rand lokal als Nullstellenmenge schreiben lässt?

Wir definieren [folgend] das Neumannproblem für eine quasilineare partielle Differentialgleichung: [...]

• Was ist eine quasilineare partielle Differentialgleichung?

Danke, --Abdull 19:16, 15. Feb. 2011 (CET)