Diskussion:Nichteuklidische Geometrie

Der angegebene Weblink in diesem Artikel verweist auf offenbar kommerzielle Software. Ist das für Wikipedia OK???

Diverses

Der konkrete Nachweis der Widerspruchsfreiheit wird seltener geführt als angenommen. Ich streiche die Erwähnung. Ich streiche ebenfalls den letzten Absatz, weil er mW den Stand der Physik von vor Jahrzehnten wiedergibt. -- ZZ 13:02, 22. Jun 2006 (CEST)

Zickzacks Änderungen leuchten mir nicht ganz ein:

1. Die Bedeutung eines mathematischen Satzes kann doch nicht daran gemessen werden, wie oft sein Beweis aufgeschrieben wird. Die Frage der Widerspruchfreiheit ist jedenfalls grundlegend für jede mathematische Theorie. Ist sie nicht gegeben, kann man bekanntlich alles aus der Theorie folgern. Für Axiomatiker steht und fällt deshalb die "Existenz" einer Theorie mit ihrer Widerspruchsfreiheit. Andererseits ist die Frage der Beziehung von Geometrie und Erfahrung ist bei dieser Gelegenheit gleich auch mit rausgefallen. Ich verweisen hierzu noch mal auf das Lemma euklidische Geometrie, wo einiges dazu steht. Natürlich müsste das Thema eigentlich noch gründlicher behandelt werden. Dabei werden wir an Kant nicht vorbeikommen. Der richtige Ort dafür ist wohl das Lemma Geometrie, aber ganz ignorieren kann man's hier doch nicht...
2. Der letzte Absatz beruht auf einem Hinweis aus einem Vortrag im Physikalisch Verein Frankfurt von Sommer 2005. Ich bewege mich da auf schwankendem Boden, weil ich kein Physiker bin. Aber wenn Zickzack weiß, dass die Sache inzwischen geklärt ist, würde mich doch interessieren: Mir welchem Ergebnis denn?

-- Peter Steinberg 22:54, 23. Jun 2006 (CEST)

Im Artikel stand: Vielmehr handelt es sich um axiomatische Theorien, deren „Gültigkeit“ zunächst allein darin besteht, dass sie als widerspruchsfrei nachgewiesen sind.

Dann lass Dir mal diesen Beweis zeigen. Alternativ kannst Du Dich fragen, ob er möglich ist. -- ZZ 00:26, 26. Jun 2006 (CEST)

Den meisten working mathematicians dürfte genügen, dass sie mindestens so widerspruchsfrei wie ZFC sind, und dann genügt ja die Angabe eines Modells.--Gunther 00:31, 26. Jun 2006 (CEST)

Eben. Und den meisten Mathematikern dürfte der Beweis genügen, dass die nicht-euklidische Geometrie konsistent ist, wenn die euklidische das auch ist. Umso seltsamer war das, was der Artikel ursprünglich schrieb. -- ZZ 16:26, 26. Jun 2006 (CEST)

Ich versteh immer noch nicht, wo das Problem liegt: Nichteuklidische Geometrien sind axiomatische Theorien. Die "Gültigkeit" axiomatischer Theorien liegt nicht in ihrem Bezug zur Wirklichkeit. Es wird aber von ihnen verlangt, dass sie widerspruchfrei sind (relativ zu ZFC oder relativ zu R. Letzteres würde mir in diesem Zusammenhang auch genügen, denn:) Wir schreiben ja nicht für den working mathematician, sondern in erster Linie für den "interessierte Laien". Der erwartet unter dem Lemma aber einen Hinweis darauf, wie es denn sein kann, dass es zu einer Geraden durch einen Punkt (z.B.) mehrere Parallelen gibt. Ein solcher Hinweis muss in den Artikel wieder rein.

Was ist übrigens mit der Kosmologie? -- Peter Steinberg 22:54, 26. Jun 2006 (CEST)

Das mit dem working mathematician soll heißen: Für denjenigen, der nicht die Axiome als Selbstzweck studiert, sondern tatsächlich mit ihnen Geometrie betreiben will. Also so eine Art Zwischending zwischen einem Experten und einem Laien. Die Phrase stammt aus dem Buchtitel Categories for the Working Mathematician von Saunders Mac Lane.--Gunther 22:59, 26. Jun 2006 (CEST)

Genau für den stellt sich doch aber, wenn er auf nichteuklidische Geometrien trifft, unabweisbar die Frage: „Was ist Geometrie?“ – Deshalb fand ich meine von Zickzack entfernte Formulierung gar nicht so blöd. -- Peter Steinberg 01:05, 27. Jun 2006 (CEST)

Moment, ich habe nirgends gesagt, dass jemand blöde Sachen schreibt. Ich habe darauf hingewiesen, dass der Satz, so wie er da steht, falsch ist. Im vorliegenden Fall war es, dass ein Beweis für die (absolute) Widerspruchsfreiheit nicht existiert. Es handelt sich da um ein Missverständnis der axiomatischen Methode.

Was Gültigkeit angeht, so wurde das Parallelenaxiom schon seit langer Zeit aus unterschiedlichen Gründen angezweifelt. Als nachgewiesen werden konnte, dass es nicht aus dem Rest der übrigen Axiome folgte, war auch klar, dass man es weglassen oder verneinen kann. Um rauszufinden, wohin das führt, wurde die nicht-euklidische Geometrie entwickelt (in der Geometrie gab es zu der Zeit ohnehin größere Umbrüche). Anfangs war das zwar abstrakt, aber keinesfalls beliebig. Als klar wurde, dass erst die nicht-euklidische Geometrie erlaubt, wesentliche Modelle der modernen Physik zu formulieren, war ihr Durchbruch geschafft. Es ist einer von den vielen Fällen, wo mathematische Durchbrüche physikalische Durchbrüche vorbereiten. -- ZZ 11:50, 27. Jun 2006 (CEST)

Ich dachte immer, es sei andersherum gewesen: Als nachgewiesen werden konnte, dass man es weglassen oder verneinen kann, war auch klar, dass es nicht aus dem Rest der übrigen Axiome folgt.--Gunther 11:57, 27. Jun 2006 (CEST)

Stimmt. Mein Abriss war ungenau insofern, als unterschiedliche Mathematiker aus unterschiedlichen Gründen nicht-euklidische Geometrien entwickelten. -- ZZ 12:17, 27. Jun 2006 (CEST)

Nachtrag: vermutlich geht es Peter Steinberg um den Satz: Sie sind damit nicht „Geometrie“ in dem Sinne, dass sie unsere Raumerfahrung präzisieren. Nach dem Stand der Physik sind gewisse nicht-euklidische Geometrien das doch, wobei euklidische Geometrie eine gute Näherung in schwach gekrümmten Räumen ist. -- ZZ 12:01, 27. Jun 2006 (CEST)

Ist das wirklich unsere "Raumerfahrung"? Ich denke, P.S. hat schon recht mit seinem Hinweis auf Kant.--Gunther 12:05, 27. Jun 2006 (CEST)

Es ist beobachtbar und messbar. -- ZZ 12:08, 27. Jun 2006 (CEST)

Vorbemerkung: Ich unterstelle niemandem, dass er mir Blödheit unterstellt. Diese Diskussion hier hat ein hohes Niveau, und wir können wohl mal salopp formulieren, ohne uns mit Empfindlichkeiten aufzuhalten.

@ZZ: Ja, genau um diesen Satz geht es mir. Und um den Leser, der wissen will, wieso es (...) mehrere Parallelen geben kann, und der dabei keinesfalls die allgemeine Relativitätstheorie im Blick hat. Mit oder ohne Kant ist dessen Raumerfahrung erstmal nichtrelativistisch. Dass es noch andere „Dimensionen“ gibt, wird wird im Folgenden ja angedeutet, und wer will, kann sich dort weiterklicken...

Natürlich sollten wir nichts formulieren, was „so wie es da steht, falsch ist“. Aber auch nichts, was, so wie es da steht, an den Erwartungen vieler Leser vorbeigeht. Das tut aber ein Artikel über nichteuklidische Geometrie, der sich nur auf Mathematik und Kosmologie bezieht und die Raumerfahrung ganz außen vor lässt.

Zum Thema „Widerspruchsfreiheit“: Das ist ja seit Gerhard Gentzen ganz heikel, eine absolute Widerspruchsfreiheit gibt es nicht, und es soll Leute geben, die reden deshalb seit 50 Jahren von einer Grundlagenkrise der Mathematik. Wieso es aber ein „Missverständnis der axiomatischen Methode“ sein soll, wenn ich Widerspruchfreiheit der Axiomensysteme fordere, leuchtet mir trotzdem nicht ein. Da „ex falso quodlibet“ folgt, muss ich das tun, um überhaupt noch was sagen zu können.

Lieber Zickzack, denkt doch mal darüber nach, ob deine Position nicht darauf hinausläuft, dass wir, statt eine Enzyklopädie zu schreiben, besser schweigen sollten. – Das ist jetzt nicht bös gemeint, aber ernsthaft. -- Peter Steinberg 01:51, 30. Jun 2006 (CEST)

Niemand wirft Dir vor, dass Du Widerspruchsfreiheit forderst. Solange Du nicht zu den Parakonsistenten gehörst, ist das Standard. Es ging aber darum, dass zur axiomatischen Methode angeblich ein Nachweis der Widerspruchsfreiheit gehört. Solche Beweise sind seit Gödel ziemlich ins Wanken geraten, doch die axiomatische Methode lebt und blüht.

Ironischerweise war es Gentzen, der weiter Beweise für die Widerspruchsfreiheit suchte. Anderes kam von Lorenzen in Gestalt der operativen Logik. Für den working mathematician dürfte gelten, dass für ihn die Existenz eines Modelles ausreichender Beleg der Widerspruchsfreiheit ist und Korrektheit ohnehin die wichtigere Eigenschaft darstellt.

Dass die Raumerfahrung euklidisch sein soll, ist Bestandteil einiger Philosophien. Die gerieten schwer ins Wackeln, als sich die Physik davon verabschiedete. Kant zum Beispiel kann nicht erklären, wieso sich der Raum der Anschauung anders verhält als der Raum der reinen Anschauung (wenn letzterer denn euklidisch ist). Das zu diskutieren führt hier aber sicher zu weit, das ginge vielleicht auf den Nutzerseiten.

Deswegen als Kompromissvorschlag: euklidische Raumerfahrung ist vielleicht nicht nachgewiesen, aber nahe liegend. Mir reicht, wenn der Artikel sagt, dass unsere Raumerfahrung euklidisch zu sein scheint (Hervorhebung hier zum Zwecke des bessreen Verständnis, im Artikel normaler Text) -- ZZ 23:23, 2. Jul 2006 (CEST)

Kosmologie

Ich hatte behauptet: „Ob die Geometrie des Universums „im Großen“ sphärisch (elliptisch), eben (das heißt euklidisch) oder hyperbolisch ist, gehört zu den großen aktuellen Fragen der Physik“. Dafür habe ich jetzt zwei Belege:

• Eine Diplomarbeit von Dominik Elsässer (ASTROPHYSIKALISCHE SIGNATUREN SUPERSYMMETRISCHER DUNKELMATERIE) vorgelegt an der Fakultät für Physik und Astronomie der Universität Würzburg (Prof. Dr. Karl Mannheim), Februar 2005,

und, leichter zugänglich, in den

• „Mitteilungen“ der Volkssternwarte Darmstadt, Heft 6/2000, eine Artikel mit den Titel „Ein BOOMERANG kommt zurück“ von Yasmin A. Walter, zu finden unter http://www.vsda.de.

Soweit ich das überblicke, geht es darum, zu bestimmen, welche Winkelsumme ein „großes“ Dreieck im Universum hat. (Die Raumverzerrungen durch ein paar Milliarden Milchstraßen spielen in diesen Dimensionen wohl keine Rolle.) Untersucht wird die kosmische Hintergrundstrahlung (zu deren Zeit eh keine Galaxien existierten) und deren Unregelmäßigkeiten (im Bereich von μK!), die auf bestimmte Resonanzen und damit auf die Größe des damaligen Universums schließen lassen.

Das Problem scheint praktisch gelöst zu sein - zu Gunsten eines ebenen (euklidische) Universums.

Da dies alles aber Sache der Physiker ist, ich auch nur sehr mühsam verstehe, wovon ich rede, und diese Erörterungen alle besser in das Lemma Kosmologie gehören, setze ich jetzt nur den ursprünglichen Satz über die „die Geometrie des Universums“ wieder ein. Dass er „den Stand der Physik von vor Jahrzehnten wiedergibt“ scheint mir widerlegt. -- Peter Steinberg 00:25, 2. Jul 2006 (CEST)

Nochmal: Raumerfahrung und Widerspruchfreiheit

Wie ich es verstehe, geht es Zickzack bei seinen Änderungen um zwei Dinge:

1. Nicht etwas als „Raumerfahrung“ zu postulieren, was er allenfalls als scheinbare Raumerfahrung anerkennen will. Dazu habe ich einen Vorschlag, das Problem (samt Kant) zu umschiffen, indem man historisch argumentiert. Ich kann mit nicht vorstellen, dass dagegen was zu sagen ist, und setze das gleich anschließend (versuchsweise) so ein.
2. Nicht von Widerspruchfreiheit zu reden, ohne die Probleme zu erwähnen, die Gödels Unvollständigkeitssatz da enthüllt hat. Da man dies nicht an jeder Ecke immer wieder tun kann, möge der Hinweis auf die Widerspruchsfreiheit hier entfallen. Was ich wieder einsetze, ist ein Link auf axiomatische Theorie, wo sich das ja (zumindest in irgendeiner Zukunft, wenn Wikipedia soweit gediehen ist) weiterverfolgen lässt.

-- Peter Steinberg 22:55, 10. Jul 2006 (CEST)

Jean Francois Moufot

Ist hier unter verwandte Themen verlinkt. Wer von Euch Mathematikern ist ihm in einem Buch begegnet? -- Lakonie 23:19, 14. Jul. 2008 (CEST)

hat sich erledigt. war einhoax und wurde gelöscht -- Lakonie 17:11, 17. Jul. 2008 (CEST)

Geschichte / Verbesserungs-/Ergänzungsversuch

´schlage unter Berufung auf Føllesdal, Dagfinn; Lars Walløe; Jon Elster: Rationale Argumentation. Ein Grundkurs in Argumentations- und Wissenschaftstheorie. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1988, S. 50-52 als Quelle folgende Neufassung vor (der Abschnitt über Gauß und die Landvermessung ist nicht aufgenommen, da er zwar richtig sein mag, aber nur anekdotisch erscheint):

Von vielen Mathematikern der Antike und des Mittelalters wurde das Parallelenpostulat Euklids als weniger offenkundig angesehen und sie versuchten es zu beweisen.

Einen wichtigen Fortschritt erreichte der Jesuit Gerolamo Sacceri (1667-1733), der versuchte, das Parallelenpostulat auf der Grundlage anderer Euklidischer Voraussetzungen zu beweisen. Er unterstellte die Nichtgeltung des Parallelenpostulats und bewies viele Theoreme der nicht-euklidischen Geometrie. Auf Grund eines Fehlschlusses ging Sacceri jedoch davon aus, dass es zu der Euklidischen Geometrie keine Alternative gibt.

Wahrscheinlich war Carl Friedrich Gauß der erste, der um 1813 zu dem Ergebnis kam, dass sich logisch widerspruchsfrei Geometrien konstruieren lassen, in denen das Parallelenpostulat nicht gilt. Die Arbeiten von Gauß wurden jedoch erst nach seinem Tod veröffentlicht.

Der Rechtswissenschaftler Professor Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) schickte Gauß 1818 eine Denkschrift über nicht-euklidische Geometrie zu. Auch diese wurde nicht veröffentlicht.

Im Jahr 1823 veröffentlichten unabhängig voneinander die Mathematiker János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski Arbeiten über nichteuklidische Geometrie. Dabei entwickelten sie eine hyberbolische nicht-euklidische Geometrie und scheinen der Auffassung gewesen sein, dass diese die einzige Alternative zur euklidischen Geometrie sei.

Gauß' Schüler Bernhard Riemann war es, der die Differentialgeometrie gekrümmter Räume entwickelte und in seiner Habilitationsvorlesung 1854 eine nicht-euklidische Geometrie vorstellte, die für die Oberfläche eines elliptischen Körpers gilt und daher auch elliptische Geometrie genannt wird.

Zu dieser Zeit erwartete niemand eine physikalische Relevanz dieses Themas. Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro und Elwin Bruno Christoffel bauten die Differentialgeometrie weiter aus. Einstein fand in ihren Arbeiten einen wahren Schatz an mathematischen Werkzeugen für seine allgemeine Relativitätstheorie. --Karl-Hagemann

P.S.: In Hofstädter, Douglas R.: Gödel, Escher, Bach. 5. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 1985, S. 1000 heißt es: Girolamo Sachheri (1667-1733) schuf eine hyperbolische Geomerie. Lambert kam der Sache noch näher. (Die Rolle Lamberts ist mir aber unbekannt.)

--Karl-Hagemann 23:29, 3. Jul. 2010 (CEST)

Winkelsumme in einem Dreieck

Wenn man die Winkelsumme eines Dreiecks, welches sich auf einer Kugel (wie etwa der Erde) befindet, bestimmt, so wird dieses Dreieck dabei natürlich andere Winkelsummen als ein Dreieck in der Ebene aufweisen. Dies hat überhaupt nichts mit einer "Krümmung des Raumes" zu tun. Es gibt auch ein zweidimensionales Modell der nichteuklidischen Geometrie , welches im positivem x-y-Koordinatensystem abgebildet werden kann. Siehe dazu auch Nichteuklidische Geometrie (Uni Wuppertal). -- Merklep 09:21, 23. Jan. 2011 (CET)

Das sehe ich unbedingt auch so. Ich würde daher den Satz "Die Genauigkeit seiner Instrumente hätte jedoch für den Nachweis der winzigen Krümmung des Raumes im Gravitationsfeld der Erde bei weitem nicht ausgereicht. Sie ist auch heute noch nicht möglich." ersatzlos streichen. -- Sinuspi (Diskussion) 13:55, 25. Nov. 2013 (CET)

Vermutlich Fehler in der Aussage

In dem Abschnitt zur elliptischen Geometrie steht: "Hier ist die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180°, der Umfang eines Kreises beträgt weniger als 2 \pi r und der Flächeninhalt weniger als \pi r^2." Die erste Aussage kann ich nachvollziehen, die zweite und dritte nicht. Entweder ich gehe von einem anderen Verständnis von 'r' aus, dann müste 'r' genauer erklärt sein. Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 'r' - erzeugt durch einen Schnitt durch eine Kugel - enstpricht dem gleichen Ergebnis wie bei der ebenen Geometrie. Die Fläche der durch diesen Abschnitt erzeugten Oberfläche ist jedoch größer. (nicht signierter Beitrag von 2.246.152.212 (Diskussion) 15:54, 7. Dez. 2014 (CET))

r ist der Radius, so wie man ihn kennt als Abstand vom Mittelpunkt zum Rand des Kreis. Ein Kreis wird zunächst nicht durch einen Schnitt einer Kugel gebildet (wie auch, wir befinden uns hier in der ebenen Geometrie, das 3D Konzept Kugel, ist da unbekannt), sondern darüber, dass man zu einem festen Mittelpunkt alle Punkte findet, die den Abstand r haben. "Zufällig" (die Einbettung ist so gewählt, dass unser euklidisches Hirn das gut versteht) entspricht ein Kreis in der elliptischen Geometrie, wenn man es auf einer Kugeloberfläche darstellt, einem euklidischen Kreis im 3D, dieser hat aber einen anderen Radius. Zur Verdeutlichung: Der Äquator der Erde (als perfekte Kugel) ist ein elliptischer Kreis um den Nordpol (oder Südpol, ist egal) mit einem Radius von r=ca. 10000 km, da dies der der Abstand von Nordpol zum Äquator ist und hat einen Umfang von 40000km, was deutlich kleiner ist als $2\pi r$. Der entsprechende euklidische Kreis hätte seinen Mittelpunkt im Erdkern (also außerhalb dessen, was in der elliptischen Welt möglich ist) und hat Radius von ca. 6378 km, das ist vermutlich das was du meinst, aber dieser Radius von 6378 km hat in der elliptischen Geometrie keine Bedeutung.--LamaMaddam (Diskussion) 16:53, 28. Feb. 2020 (CET)