Diskussion:Partielle Differentialgleichung

redir oder eigener artikel

redirect hatte imho keinen Sinn, da selbst der Zielartikel hierher verweist. Zudem gibt es ausreichend Links hierher und genügend Informationen in der englischen Wikipedia zu diesem Thema um einen eigenen Artikel zu rechtfertigen. Oracle of truth 18:12, 7. Jul 2004 (CEST)

Also zum ersten: Der Redirect war in keiner Weise "falsch". Dann ist ein Artikel in der englischen Wikipedia kein Grund für einen Artikel hier, es sei denn jemand schreibt hier tatsächlich einen (was bisher ja nicht geschehen ist). Ferner stehen unter dem Artikel Differentialgleichung schon einige Informationen zu partiellen Differentialgleichungen. Irgendwann in der Zukunft kann man die beiden Artikel ja mal aufsplitten, zur Zeit sehe ich dafür keinen Grund. Der Zielartikel verweist übrigens bestimmt nur hierher, weil irgend Honk den Link gesetzt hat ohne nachzugucken was sich dahinter verbirgt. Man kann nicht hinter jedem herräumen. Viele Gruesse --DaTroll 23:03, 12. Jul 2004 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:11, 10. Jul. 2015 (CEST)

Mittelwerteigenschaft der Lösungen der Laplace/Beltrami Gleichung

Lösungen der Laplace/Beltrami Gleichung

$\Delta f=0$

besitzen eine Mittelwerteigenschaft, d.h. die Werte im Inneren sind durch die Werte auf dem Rand festgelegt. Siehe harmonische Funktionen. Siehe analytische Funktionen (hier gilt die Laplacegleichung der Dimension 2, daher auch der Integralsatz von Cauchy). --Marc van Woerkom 20:48, 20. Okt 2004 (CEST)

Mh, willst Du uns sagen, dass das in den Artikel soll? Wenn ja, bin ich dagegen ;-) Sowas passt ganz hervorragend nach Laplace-Gleichung oder Harmonische Funktion. Ansonsten habe ich noch eine Frage: wieso fandest Du die Bemerkungen anfangs ueberfluessig? Viele Gruesse --DaTroll 10:43, 21. Okt 2004 (CEST)

Mittelwerteigenschaft bezieht sich auf:

Diese treten typischerweise in Zusammenhang mit zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein weiteres Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen oftmals einen Zusatand minimaler Energie beschreiben, also von Variationsproblemen her kommen.

Die Mittelwerteigenschaft (ich hoffe, ich vertue mich nicht, gemeint ist: Die Werte auf den Rand legen alle Werte im Inneren fest) beschreibt Gleichgewichtssituationen. Dauert leider noch bis zum 4.11. bis meine Bücher nachgezogen sind, dann kann ich das mal in Ruhe nachlesen. Die Sätze am Anfang fand ich überflüssig, oder sollte das der Laien verständliche Teil sein? Da würde ich vielleicht erzählen, warum eigentlich PDEs so eine grosse Rolle in der Physik spielen? (Antwort: sie beschreiben lokal z.B. Kräftegleichgewichte oder Strombilanzen, die Integration der PDE entspricht der Suche nach einer passenden globalen Lösung inkl. Rand- und Nebenbedingungen). Wir können es aber auch sein lassen. --Marc van Woerkom 22:13, 22. Okt 2004 (CEST)

Ja, ich fand die erläuternden Sätze am Anfang ganz nett, dann steht man mit der formalen Definition nicht so alleine. Ansonsten stehe ich irgendwie etwas auf dem Schlauch: redest Du von Ergänzungen, die Du gerne in den Artikel schreiben willst? Viele Gruesse --DaTroll 22:26, 22. Okt 2004 (CEST)

Ja, ich hoffe die genannten Punkte nochmal ordentlich zu recherchieren und dem Artikel hinzu zu fügen. --Marc van Woerkom 23:07, 22. Okt 2004 (CEST)

Einleitung

• in der PDE kommen partielle Ableitungen nach mindestens 2 Variablen vor

Ich glaube, dass dies nicht stimmt, denn was ist mit

$u_{t}(x,t)=5\,u(x,t)\implies u(x,t)=v(x)e^{5t}$?

Nicht spannend, aber eine partielle Differentialgleichung. --Marc van Woerkom 11:45, 28. Okt 2004 (CEST)

• in der Gleichung kommen nur die Funktion, sowie deren partielle Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet vor

Der Artikel verschweigt, dass es mehrere Formen gibt, eine Differentialgleichung zu spezifizieren. Was hier gesagt wird, trifft vielleicht für die implizite Form zu. Wobei sich das vielleicht auf die Auswertungspunkte bezieht. Bei einer expliziten gegebenen Differentialgleichung muss das nicht so sein. Ich erinnere mich düster an die Wärmebilanz an einer Phasengrenze Flüssig-Fest. Die Wärme hat hier einen Sprung wegen der Freisetzung latenter Wärme beim Schmelzen. Da könnten dann Auswertungen von Werten vor und nach der Phasengrenze (a la links- und rechtseitige Grenzwerte) auftauchen. Der Grund, dass üblicherweise alles an einem Punkt ausgewertet wird, könnte auch daran liegen, dass die meisten physikalisch motivierten Probleme lokale Bilanzen oder Kräftegleichgewichte sind. Mir fällt leider kein Problem ein, wo man die Ableitung an einem Punkt und die Ableitung 3cm weiter rechts auch gleichzeitig benötigt. Aber es könnte auch eine zulässige partielle DGL sein. --Marc van Woerkom 11:45, 28. Okt 2004 (CEST)

Hallo Marc, deine Gleichung oben ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, mit einem Parameter x. Das Ding kann mit Methoden der gew. Diffgl. behandelt werden. Die Definition Ableitung nach mindestenst 2 Variablen stimmt schon Unyxos 18:57, 28. Okt 2004 (CEST)

Weiters, dein Phasengrenzen Beispiel würde ich zwar als parteielle differentialgleichung klassifizieren, aber das wird normalerweise so behandelt, dass man das als PDE in den Gebieten der jeweiligen Phasen betrachtet, und am übergang eine übergangsbedingung formuliert- kann auch ein freies Randwertproblem sein. Eine Gleichung wo Ableitungen 3cm weiter Rechts vorkommen ist sicher keine parteille Differentialgleichung, die ganze Theorie funktioniert da sicher nicht. Das einzige was ich kenne sind Delay equations, bei dynamischen Systemen, wo eine Zeitsprung drin ist. Aber auch das wird im allgmeinen nicht als PDE bezeichnent. Unyxos 20:54, 28. Okt 2004 (CEST)

Vielleicht denke ich ja zu primitiv, aber für mich ist eine PDE eine Gleichung, wo partielle Ableitungen auftreten. Das man den o.g. Fall natürlich auf gewöhnliche DGLn zurückführt ist mir schon klar. BTW so ein paar Lösungsmethoden, wie den Separationsansatz, also oben u(x,t) = v(x) w(t), könnten wir doch hier bringen, oder? Bin bisher leider nicht dazu gekommen mal in einem guten Buch ordentliche Definitionen zu recherchieren. Jedenfalls schön, dass sich noch ein paar Leute für PDEs interessieren. --Marc van Woerkom 11:41, 29. Okt 2004 (CEST)

Also ich bin mir ziehmlich sicher, dass die Definition passt. Normalerweise wird eine PDE ja nicht so ausführlich definiert, aber ich wollte extra so ein Beispiel wie u_t(t,x) = u(t,x) ausschliessen, weil das eine gew. difgl. ist. Lösungsmethoden wären ganz wichtig, die Gefahr besteht aber das mit einem Beispiel der ganze Artikel etwas überladen wird, also vielleicht Separationsansatz nur kurz beschreiben und Details in einmem eigenen Lemma. Von den analytischen Lösungsmethoden fällt mir eh nur Seprationsansatz und Lösungen mit der Greensfunktion ein (und Symmetrie eventuell) Unyxos 18:43, 29. Okt 2004 (CEST)

Die Charakteristiken Methode ist noch eine analytische Lösungmethode, zumindestens für PDE's 1. Ordung. Jiri Kraus 21:20, 28. Jan 2006 (CET)

Ich finde, es etwas verwirend zu sage, dass in der gleichung nur die Funktion, sowie deren partielle Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet vor kommen. Ist $g(x,t)u_{t}(x,t)+a(x,t)u_{xx}=f(x,t)$ nicht eine PDE die außer der Funktion und ihren partiellen Ableitungen auch noch die Funktioen g,a,f enthält? Jiri Kraus 21:20, 28. Jan 2006 (CET)

Diese Pünktchen

Was sollen eigentlich die Pünktchen in der implizieten Form

$F\left(x,y,u(x,y),{\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}},{\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}},\ldots {\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial y\partial x}},\ldots \right)=0,$

(am Anfang des Artikels) verbergen / abkürzen? Ist das nicht eigentlich schon die komplette Form der PDG?

Danke, --Abdull 22:33, 3. Nov 2004 (CET)

Ich würde die ersten Pünktchen weglassen, die zweiten nicht, z.B. die dritte Ableitung nach x könnte auftreten. --Marc van Woerkom 22:55, 3. Nov 2004 (CET)

Die ersten Pünktchen sind eigentlich nicht unbeding notwendig. Die letzten dagegen schon. Es ist gar nicht mal so einfach, die allgemeine Form hinzuschreiben (zumindest in allgemeinverständlicher Form), da die Gleichung von einer beliebigen aber fixen Zahl von partiellen Ableitungen abhängen kann. (nicht signierter Beitrag von Unyxos (Diskussion | Beiträge) 1:02, 4. Nov 2004)

Man kann z.B. beim mehrdimensionalen Taylor alle Kombinationen der Ableitungen durch einen Ausdruck der Art

$(\partial _{x}+\partial _{y}+\cdots )^{n}$

generieren, aber ich glaube das nützt hier höchstes für die allgemeine lineare PDE was. --Marc van Woerkom 11:01, 4. Nov 2004 (CET)

Klassifizierung von part DGLs 2.Ordnung

Bei der Einteilung der DGL nach elliptisch, parabolisch, hyperbolisch bin ich der Meinung, dass die entsprechenden Matrizen definit, semidefinit und indefinit sein müssen.

Habe dass sogar in Mathe-Lehrwerken nachgeschaut. Meine diesbezüglich Änderung wurde allerdings rueckgänig gemacht. (nicht signierter Beitrag von 84.56.109.172 (Diskussion) 16:45, 8. Sep 2005)

Nein wurde sie nicht, für sowas einfach mal in die Versionsgeschichte schauen oder den Artikel neu laden. --DaTroll 17:57, 8. Sep 2005 (CEST)

Stimmt! Sorry. (nicht signierter Beitrag von 84.56.110.151 (Diskussion) 18:52, 9. Sep 2005)

Wir hatten in unserer Vorlesung noch die Klassifizierung "Ultrahyperbolisch" (anhand der Eigenwerte der Koeffizientenmarix die 2. partiellen Ableitungen). Gibt es außerdem noch eine Erklärung für die Benennung elliptisch, hyperbolisch, parabolisch ? Ist da ein Zusammenhang mit den geometrischen Objekten gegeben ? -- 212.201.55.6 19:14, 9. Feb. 2008 (CET)

Ja, siehe Kegelschnitt. --P. Birken 00:10, 10. Feb. 2008 (CET)

Vosicht! Ich misstraue stark der Einteilung bez. der Determinante: Die Formel für Eigenwerte einer zweidimensionaler Matrix A ist ja $\lambda _{\pm }={\frac {{\text{Spur}}A}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {{\text{Spur}}A}{2}}-{\text{Det}}A}}$. Definitheit entspricht Vorzeichen der Eigenwerte, also würde die Definition über die Determinante nur das selbe ergeben wie die über die Definitheit, wenn Spur A > 0. Das war ja nirgends vorausgesetzt! --134.176.250.14 17:50, 4. Feb. 2012 (CET)

Zwei Fehler bei der Klassifizierung von PDE

Der Artikel enthält zwei Ungenauigkeiten, was die Klassifizierung der Gleichungen angeht:

Parabolisch nennt man Gleichungen nur dann, wenn 0 ein einfacher Eigenwert der Matrix ist. Wenn die Matrix positiv semidefinit ist, aber 0 als mehrfachen Eigenwert besitzt, ist die Gleichung unklassifiziert.

PDE 1. Ordnung sind nicht immer hyperbolisch, auch wenn es bei allen wichtigen Beispielen für einfache Gleichungen (nicht Gleichungssystemen) der Fall ist. Systeme 1. Ordnung heißen generell hyperbolisch, wenn die Funktionalmatrix reell diagonalisierbar ist, und elliptisch, wenn die Funktionalmatrix ausschließlich nichtreelle Eigenwerte besitzt. Damit sind die Cauchy-Riemann-Gleichungen elliptisch (Eigenwerte +i und -i). Es wäre Unsinn die eng mit der Laplace-Gleichung verbundenen Cauchy-Riemann-Gleichungen als hyperbolisch zu klassifizieren, nur weil sie Gleichungen erster Ordnung sind. (nicht signierter Beitrag von 88.134.155.53 (Diskussion) 3:02, 14. Feb 2007)

Da bin ich auch gerade drüber gestolpert. Krass, dass sich der Fehler anscheindend seit über acht Jahren gehalten hat. Ich versuche es zu korrigieren. --DufterKunde (Diskussion) 14:09, 10. Jul. 2015 (CEST)

Ohje den Fehler gibt es ja tatsächlich schon ewig! Mit der jetztigen Formulierung bin ich aber immer noch nicht so ganz einverstanden. Mein erster Gedanke als ich begann den Abschnitt zu lesen, ging an die Gleichung $\partial u=0$, wobei $\partial$ der Cauchy-Riemann-Operator ist. Die Gleichung ist also nur eine Kurzschreibweise der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung. Auch ich und gewisse Literatur sind der Ansicht, dass diese DGL elliptisch ist. Worauf ich aber hinaus will: Betrachtet man die DGL als Gleichung von Funktionen mit komplexen Variablen, so kann man wohl den Standpunkt vertreten, dass es sich hier nicht um ein Gleichungssystem, sondern um eine einzelne Gleichung handelt. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 17:05, 10. Jul. 2015 (CEST)

Hallo Christian1985! Verstehe ich Dich richtig, dass das Problem nur im Komplexen auftritt? Wenn es Dich beruhigt, wäre ich mit „einzelne reelle Gleichungen erster Ordnung“ einverstanden. Aber ich finde, partielle Differentialgleichungen verstehen sich auch so als Thema der reellen Analysis. Solange man nicht explizit von komplexen Gleichungen schreibt, käme ich nie auf die Idee. (Übrigens sitze ich grad dran, den Abschnitt „Einteilung nach Grundtypus“ zu präzisieren und zu erweitern. Ich hoffe, dann wird es klarer.) --DufterKunde (Diskussion) 18:19, 10. Jul. 2015 (CEST)

Ich kannte die Aussage bis jetzt nicht. Daher kann ich Deine Frage nicht abschließend beantworten. In der Encyclopedie of math kann man lesen, dass diese Aussage für partielle Differentialgleichungen mit reellen Koeffizienten gilt. Ich vermute, dass dies hier auch gemeint war. --Christian1985 (Disk) 23:30, 10. Jul. 2015 (CEST)

links

Die ersten beiden Literatur-Links funktionieren nicht. [Thilo] (nicht signierter Beitrag von 128.176.180.192 (Diskussion) 18:34, 28. Mar 2008)

Bei mir funktionieren sie? --P. Birken 19:03, 28. Mär. 2008 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:06, 10. Jul. 2015 (CEST)

Beispiele

Die Beispiele zum Dirichlet- oder von Neumann-Problem haben nur die offensichtlichen, trivialen Lösungen 0 oder konstant. Ist solch ein triviales Beispiel der Rede wert? --Norbert Dragon 00:38, 17. Okt. 2008 (CEST)

Mh, ich sehe hier keine Beispiele zu Dirichlet- oder Neumann-Problemen? --P. Birken 17:02, 18. Okt. 2008 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:07, 10. Jul. 2015 (CEST)

Überarbeitung des Artikels

Habe den Artikel die letzten Tage stark überarbeitet, mit der Hoffnung, dass er jetzt besser lesbar und auch einigermaßen vollständig ist. Lediglich der Abschnitt über die numerischen Methoden ist noch deutlich zu kurz.--KMic 09:06, 2. Sep. 2010 (CEST)

Es gefällt mir viel besser als vorher. Danke für die Überarbeitung! --P. Birken 11:40, 5. Sep. 2010 (CEST)

Ich überlege gerade, ob man den Abschnitt "Motivation und Beispiele" nicht vor den Abschnitt "Definition" stellen sollte. Wäre vielleicht ein besserer Einstieg, als gleich mit der Formel für den allgemeinsten Fall erschlagen zu werden?--KMic 22:15, 5. Sep. 2010 (CEST)

Erledigt--KMic 10:30, 11. Sep. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:09, 10. Jul. 2015 (CEST)

Einteilung nach Grundtypus

stimmen die Ungleichheitszeichen wirklich bei http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung#Zwei_Variablen?

Unser Prof. hat sie genau umgekehrt, so auch http://www.ekt.tu-darmstadt.de/media/fachgebiet_ekt/documents_1/vorlesungen_7/ws1011_1/verbrennunga/nva_11_numerische_loesungsverfahren_ws10.pdf Seite 3. (nicht signierter Beitrag von 188.118.246.65 (Diskussion) 09:03, 12. Sep. 2011 (CEST))

Im angegebenen Skript wird ja genau das negative des hier angegebenen Terms betrachtet. Ist also konsistent. Viele Grüße --P. Birken 16:40, 17. Sep. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:10, 10. Jul. 2015 (CEST)

Ort - Zeit ?

Zitat: "Die gesuchte Funktion u(x,t) ist von 2 Variablen abhängig, wobei üblicherweise x den Ort und t die Zeit bezeichnet. Nehmen wir an, dass die Funktion u zu einer gewissen Zeit (etwa zu der Zeit t=0) bekannt ist. Es gelte also für alle x im Definitionsbereich von u eine Beziehung der Form u(x,0)=g(x), wobei g eine beliebig vorgegebene, mindestens einmal differenzierbare Funktion sei (Anfangsbedingung). Dann ist für beliebige Zeiten t die Lösung der linearen Transportgleichung durch u(x,t) = g(x-t) gegeben.[1]"

Ich verstehe in der fettgedruckten Gleichung insbesondere den rechten Term nicht. Vielleicht ist diese Syntax ja mathematisch korrekt, mir bleibt so jedoch die Bedeutung verborgen, da in der rechten Klammer eine Zeit t von einem Ort x subtrahiert wird. Waere hier nicht eher etwas wie u(x,t) = g(x,t-t0) korrekt ?

MfG (nicht signierter Beitrag von 95.8.203.43 (Diskussion) 18:08, 23. Dez. 2013 (CET))

Das stimmt schon so (abgesehen davon, dass die Stelle „mit Geschwindigkeit eins“ ein bisschen schlampig erklärt ist): Zur Zeit t=0 hat man die Funktion g(x) und z.B. eine Zeiteinheit später die „nach rechts verschobene“ Funktion g(x-1). Da g nur ein Argument hat, würde ja g(x,t-t0) gar keinen Sinn ergeben. Weihnachtliche Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 09:56, 25. Dez. 2013 (CET)

Klassische Lösung / Starke Lösung / Schwache Lösung / Distributionelle Lösung

Hallo,

der Abschnitt zur Klassifikation von Lösungen einer PDE braucht ganz dringend Quellen. Von milden oder maßwertigen Lösungen habe ich noch nie etwas gehört, womit ich natürlich nicht bestreiten will, dass es die Begriffe gibt. Der Begriff starke Lösung ist meiner Ansicht nach nicht eindeutig definiert. Es gibt Literatur, die den Begriff etwa so definiert wie er im Artikel steht. Andere Literatur verwendet den Begriff synonym zu klassischer Lösung. Auch mit dem Begriff schwache Lösung habe ich etwa das gleiche Problem. Manche Literatur - insbesondere die die keine Distributionentheorie beschreibt - nennt Lösungen im Sobolev-Raum schwache Lösungen, andere Literatur versteht die Begriffe distributionelle Lösung und schwache Lösung - so weit ich mich erinnere - als äquivalent.--Christian1985 (Disk) 16:58, 10. Jul. 2015 (CEST)

Hallo Christian1985! Ich versuche mich drum zu kümmern. Hab mir einen Stapel Bücher zurechtgelegt . --DufterKunde (Diskussion) 18:08, 10. Jul. 2015 (CEST)

Jetzt zufrieden? --DufterKunde (Diskussion) 15:54, 14. Jul. 2015 (CEST)

Lineare und nichtlineare Gleichungen

Die als Beispiel für eine semilineare Gleichung angegebene Minimalflächengleichung ist keine semilineare Gleichung, sondern eine quasilineare. Dies sagt auch die hier angegebene Quelle: " 6) [Minimalflächengleichung] ist ein Beispiel einer quasilinearen Gleichung, die nicht semilinear ist." (Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen. Elliptische (und parabolische) Gleichungen, S.5).

Als Beispiel einer semilinearen Gleichung kann stattdessen die Korteweg-de Vries-Gleichung angegeben werden.--Craicy (Diskussion) 12:26, 21. Jul. 2018 (CEST)

Habe das entsprechend korrigiert. Man kann auch nicht jede nichtlineare Gleichung in eine quasilineare überführen. PS: bitte immer wie hier üblich mit zweimal -, viermal ~ unterschreiben.--Claude J (Diskussion) 10:39, 21. Jul. 2018 (CEST)

Hallo, bin der Meinung, dass die Min.flächengl. noch nicht mal quasilinear ist, denn in ihr sind die Ableitungen höchster Ordnung nicht linear: ihre Koeffizientenfunktionen $\left(1+u_{y}^{2}\right)$ bzw. $\left(1+u_{x}^{2}\right)$ hängen offensichtlich nicht nur von den Veränderlichen x und y ab, sondern von (Ableitungen) der gesuchten Fkt. u. Damit sind die beiden Koeffizientenfkt.n gem. der Def. im Abschnitt darüber nicht linear, und damit die Min.fl.fkt. insgesamt nicht quasilinear. --Acky69 (Diskussion) 21:58, 13. Okt. 2019 (CEST)

nein. Lies bitte nur die Definition wie sie da steht, belegt mit Jost, PDE, S. 4/5, wo auch explizit die Minimalflächengleichung als quasilineare Gleichung angegeben wird (und als Beispiel für nicht semilinear, bei semilinearen Gleichungen dürfen nämlich die Koeffizienten vor den höchsten Ableitungen nicht von der funktion und ihren niedrigeren ableitungen abhängen).--Claude J (Diskussion) 23:02, 13. Okt. 2019 (CEST)