Diskussion:Prinzip der Zweiwertigkeit

An der Darstellung finde ich zumindest den Ausdruck "Denotationsfunktion" problematisch: Wenn "Denotation" in der üblichen Weise verstanden wird (nämlich im Sinne der Referenz eines Ausdruck), unterstellt man damit, daß Sätze Wahrheitswerte bezeichnen (und nicht nur Wahrheitswerte "haben"). Das ist zwar etwa die Position Freges, wird aber heute von fast allen als kontraintuitiv abgelehnt.--Toto 15:39, 10. Dez 2005 (CET)

Mir gefällt auch das Wort "Bewertungsfunktion" besser, aber vor allem, weil es besser beschreibt, was die Funktion wirklich "tut", aber ich denke, dass der formale Begriff "Denotationsfunktion" heute weitgehend wertfrei als terminus technicus verwendet wird und keinen Rückschluss auf die Einstellung der Verwendenden zulässt. Mir persönlich gefiele eine Formulierung wie "Bewertungsfunktion (auch: Denotationsfunktion)" besser, aber das ist aus meiner Sicht eher eine Kleinigkeit.

Was ich mich in Bezug auf diesen Artikel frage, ist, ob der Hinweis auf das M|=P hier optimal aufgehoben ist - immerhin hat das ja nicht wirklich mit Zweiwertigkeit zu tun, sollte das nicht eher einen Semantik-Artikel bzw. in einen Semantik-Abschnitt eines geeigneten Logik-Artikels? --GottschallCh 15:57, 10. Dez 2005 (CET)

Natürlich – bleibt nur die Frage, wer bereit ist diese Arbeit zu machen ;) --Rtc 20:24, 10. Dez 2005 (CET)

Der Aufwand, diesen einen Satz zu löschen oder in einen anderen Artikel zu verschieben, ist überschaubar. ;-) Es ist nur so, dass der Satz erst kürzlich geschrieben wurde und ich das daher nicht ohne Zustimmung oder Stellungnahme des/der Schreibenden tun möchte, deshalb die Anfrage. --GottschallCh 22:15, 10. Dez 2005 (CET)

Ehrlich gesagt ich finde es auch besser den Satz zu löschen! Überhaupt ist der Artikel schwer lesbar durch die kryptischen Sachen:

$\mathrm {Ran} [[\cdot ]]=\{{\mathit {wahr}},{\mathit {falsch}}\}$

Dies blöde Ran wird nirgends erklärt. Rtc, willst Du dass alle schreiend weglaufen wenn sie Logikartikel sehen? PaCo 00:35, 11. Dez 2005 (CET)

Ich habe den Formalismus nunmehr entfernt, einerseits weil er inhaltlich die verbale Erklärung nicht ergänzt und auch nicht präzisiert; andererseits weil er sicher nicht allgemeinverständlich ist: Jemand, der/die das Prinzip der Zweiwertigkeit in einem Lexikon nachschlägt, wird nicht genug mathematisches Wissen haben, den Formalismus zu verstehen; bzw. kennt jemand, der den Formalismus versteht, ohnedies schon das Prinzip der Zweiwertigkeit. ;-) Auch glaube ich, dass "Ran" keine sehr gebräuchliche Abkürzung ist - mir war sie noch nicht untergekommen, und ich habe nur aus dem Kontext erschlossen, dass damit der Wertebereich der Funktion gemeint sein muss. --GottschallCh 03:21, 11. Dez 2005 (CET)

Bitte nicht entfernen, sondern besser erklären/besser machen. Dass der normale Leser das nicht wissen will/nicht versteht, ist keine Begründung dafür, Informationen zu entfernen. Leider wird diese fehlschlüssige 'Begründung' allzu oft gebraucht. Woher weißt Du, was der 'erwartete Lesende' wissen will und was nicht? ;) --Rtc 08:45, 11. Dez 2005 (CET)

Mein Hauptargument war, dass die formale Definition nichts anderes sagt als die deutsche Definition, und dass die Menge der Leute, die die deutsche Definition verstehen, eine echte Obermenge der Menge der Leute ist, die die formale Definition verstehen. ;-) Mein Nebenargument war, dass die Mächtigkeit der Schnittmenge der Menge all derer, die den Ausdruck "Ran" verstehen, und der Menge all derer, die das Prinzip der Zweiwertigkeit nicht kennen, kleiner sein dürfte als die Mächtigkeit der Schnittmenge der Menge all derer, die die deutsche Formulierung verstehen, und der Menge all derer, die das Prinzip der Zweiwertigkeit nicht kennen. --GottschallCh 15:26, 11. Dez 2005 (CET)

Verständlich müssen Artikel schon sein. Hier wollen sich nicht nur Informatik- und Mathefreaks informieren. Habe mal versucht Deinen Inhalt zu lassen und nur die (überflüssigen) Formeln entfernt. Wie wäre es bei einem Dissens übrigens mal mit einem Teilrevert? Deine Komplettreverts wirken stillos und unkollegial und lassen nur den Weg des Editwars offen. PaCo 13:34, 11. Dez 2005 (CET)

Ich finde die Formeln nicht überflüssig, im Gegenteil. Sie fügen doch nur Informationen hinzu und tun dem Artikel nicht weh. Ich habe keinen Teilrevert durchgeführt, weil keine korrekten Informationen übrig waren, die man noch hätte übernehmen können (Semantik ist grade nicht teil des Kalküls). Bitte die Formeln jetzt drin lassen und sie besser erklären. --Rtc 13:52, 11. Dez 2005 (CET)

Für die erste Formel, "Ran(...)={w,f}", verstehe ich aber nicht, welche Information sie hinzufügt: Sie sagt doch nur aus, dass der Wertebereich der Bewertungsfunktion die Menge der Wahrheitswerte ist. Genau das sagt der deutsche Satz, dass "in der Semantik einer Logik jedem Satz durch die Bewertungsfunktion (auch Denotationsfunktion) einer von zwei Wahrheitswerten zugewiesen wird" doch auch aus, dabei ist er aber verständlicher, oder nicht?

Dass Semantik nicht Teil des Kalküls ist, sondern dazu dient, dessen Ausdrücke zu interpretieren, sagt die Formulierung "dass in der Semantik einer Logik jedem Satz [...] zugewiesen wird"; das kann man meines Erachtens nicht fehlinterpretieren. Die Angabe des Definitionsbereichs der Bewertungsfunktion in mathematischer statt in deutscher Sprache fügt da nichts hinzu.

Was mir aber noch weniger klar ist (bitte erklären) ist, was das Zeichen "|=" mit Zweiwertigkeit zu tun hat. In einer zweiwertigen Logik bedeutet |=P (normalerweise?), dass P unter jeder Zuordnung von Wahrheitswerten zu seinen Atomen wahr ist. In einer mehrwertigen Logik heißt es |=P, dass P unter jeder Zuordnung einen designierten Wahrheitswert annimmt. Wie gesagt, ich sehe den Zusammenhang zum Prinzip der Zweiwertigkeit nicht.

Die Definition für M|=P ist übrigens meines Erachtens zumindest unüblich. M|=P heißt doch normalerweise, dass unter allen Zuordnungen (von Wahrheitswerten zu atomaren Aussagen), in denen alle Formeln ∈ M wahr sind (einen designierten Wahrheitswert hat), auch P wahr ist (einen designierten Wahrheitswert hat). Dass links vom "|=" - wie in der jetzigen Version des Artikels formuliert - die "Menge der wohlgeformten Ausdrücke" steht und rechts eine Aussage, und dass *das* bedeutet "Bewertung(P) = wahr", ist mir noch nicht untergekommen.

Könnten wir uns auf die aktuelle Version des Artikels einigen? Ich habe die deutsche Beschreibung noch weiter disambiguiert ("genau einen von zwei Wahrheitswerten") und sehe jetzt überhaupt keine Mehrdeutigkeit oder Unvollständigkeit darin; die formale Definition habe ich in einen Unterabschnitt "Formale Definition" übernommen, dabei aber ergänzt: Das Prinzip der Zweiwertigkeit sagt ja nicht, dass jedem Satz *höchstens* ein Wahrheitswert zugeordnet wird (was die Aussage des Ran(...)={w,f}" ist), sondern dass jedem Satz *genau* ein Wahrheitswert zugeordnet wird. Wenn schon, dann muss man also auch den Definitionsbereich der Funktion mit angeben. ;-) --GottschallCh 15:15, 11. Dez 2005 (CET)

Die aktuelle Version ist akzeptabel. Bezüglich |= bin ich mir unsicher, ich versuchte so viel wie möglich Sinn aus den Formalismen bei Gödelscher Vollständigkeitssatz zu machen. --Rtc 10:04, 12. Dez 2005 (CET)

Super, dann bin ich in Bezug auf diesen Artikel erst einmal beruhigt.

In Gödelscher Vollständigkeitssatz wird das Zeichen |= im üblichen Sinn gebraucht, d.h. M |= P heißt dort, dass der Satz P (semantisch) aus der Satzmenge M folgt. Der semantische Folgerungsbegriff wird im Gödel-Artikel leider nicht näher erklärt, was dort in der Diskussion auch bemängelt wird. Das würde in den Artikel "Gültigkeit" passen, zumal dort logische Gültigkeit falsch (!) definiert ist, und wahrscheinlich - wegen seiner Wichtigkeit - auch in andere Artikel (v.a. "Logik"), zumindest per Link (spontan fielen mir "Schlussfolgerung" und "Beweis" ein, die semantische Gültigkeit zumindest erwähnen sollten). Kennst du einen bestehenden Artikel, der semantische Gültigkeit schön definiert (und sie syntakt. Gült. gegenüberstellt), auf den wir verweisen könnten? --GottschallCh 12:03, 12. Dez 2005 (CET)

Ich glaube, es ist leider kein solcher Artikel vorhanden, obwohl er dringend benötigt wird. --Rtc 13:51, 12. Dez 2005 (CET)

Siehe auch

Zr Frage, ob hier die "Günther-Logik" erwähnt werden dürfe, vgl. Benutzer Diskussion:€pa#Prinzip der Zweiwertigkeit. -- €pa 15:40, 15. Jun. 2008 (CEST)

Computer/Binärtechnologie

Sollte hier nicht der binäre Computer kurz erwähnt werden, der doch auf dem Prinzip der Zweiwertigkeit aufbaut und letztendlich in einer Linie mit großen revolutionären Errungenschaften der Menschheit wie Sprache, Feuer, Rad/Automatisierung, Mathematik und Schrift steht? Oder versteh ich das Prinzip falsch? --stfn 16:28, 29. Mai 2010 (CEST)

Nochmal: Wozu der Formalismus?

Es ist schon mal diskutiert worden: der Formalismus bringt m.E. hier wirklich nichts, sondern erschreckt nur Nicht-Mathematiker. Das zeigt sich schon daran, dass -- wie schon beobachtet -- zweimal das Gleiche da stand. Ich würde ihn gerne entfernen.

Damit das Ganze für einen Laien verständlich ist, müsste man eigentlich einen Link beim ersten Auftreten von "Logik" einführen, denn für "normale Menschen" ist die Redeweise "Eigenschaft einer Logik" schon wirklich erklärungsbedürftig!

Ich habe aber kein passendes Ziel gefunden. Weder "Kalkül" noch "Mathematische Logik" enthalten gezielt etwas zur Sache. "Formales System" enthält zwar das, was gebraucht würde, ist aber m.E. wieder für Nicht-Mathematiker oder -Logiker nicht sehr hilfreich. (Sorry: Physiker, Informatiker usw. können hier natürlich mithalten). --Mini-floh (Diskussion) 22:19, 29. Nov. 2012 (CET)

Auch nach mehrfachen Versuchen, den Abschnitt "Formale Definition" zu überarbeiten (nicht alle fanden den Weg hierher) ist er sehr unbefriedigend, weil er eigentlich nur Tautologien liefert. Wenn man anfängt und behauptet, dass man jeder Formel einen "Wahrheitswert" zuordnen will und darunter "W","F" versteht, hat man ja schon zweiwertige Logik! Vielleicht findet jemand anderes doch eine glücklichere Formulierung? Sonst sollte man nicht nur die mathematisch aussehenden Formeln streichen, sondern gleich den ganzen Abschnitt--Mini-floh (Diskussion) 10:33, 30. Nov. 2012 (CET)

Laut Angaben des Artikels (ich weiß davon ansonsten nichts) ist das Prinzip der Zweiwertigkeit vom Tertium non datur abzugrenzen und ist eine Eigenschaft formaler Semantiken für Logiken. Wenn dem so ist, muss das auch klar hervorgehoben werden. Wofür man da Erklärungen braucht, dass das eindeutig ist, weil das eine Funktion ist, etc., weiß ich nicht. Auch weiß ich nicht, was genau man zu diesem Begriff sagen soll – mit weniger als zwei Wahrheitswerten kann man keine Modelltheorie betreiben, und je nach Ansatz/Logik reichen für eine reichhaltige Modelltheorie (die im besten Fall etwa einen Vollständigkeitssatz erlaubt) eben so viele auch aus oder nicht. Soll so eine Klärung in den Artikel? Ansonsten: Wird der Begriff tatsächlich irgendwo „formal“ definiert? Andernfalls sollte man auch hier nicht einen Abschnitt „Formale Definition“ haben. --Chricho ¹ ² ³ 11:22, 30. Nov. 2012 (CET)

Es gibt da wohl Forschungsgebiete, die an Formalisierung wenig zu wünschen (bzw. fürchten) übrig lassen, aber nicht exakt so wie hier präsentiert. Vergleiche http://plato.stanford.edu/entries/truth-values/ --Pjacobi (Diskussion) 11:58, 30. Nov. 2012 (CET)

Bestehst du auf dieser Formel? Ich verstehe nicht, wofür das gut sein soll, man kann einfach textuell sagen, dass man Interpretationen definiert und dabei Formeln Wahrheitswerte zuordnet, bei Zweiwertigkeit eben zwei. --Chricho ¹ ² ³ 21:27, 1. Dez. 2012 (CET)

Ich bestehe überhaupt nicht darauf und hätte sie von mir aus auch ganz weggelassen, aber ich hatte Pjacobi so verstanden, dass er die Formeln gut fand. Von mir auauch am liebsten: raus damit! (Zumal die korrektere Version des zweiten Teils ja sowieso wäre „Card (Ran) = 2“ und dann hätte man noch mehr zu erklären.

Mein Vorschlag: Wenn sich nicht jemand für die Beibehaltung der Formel ausspricht, entferne ich sie demnächst und formuliere alles Nötige ohne TeX-Ballast. Wenn Du für „Entfernen“ bist kannst Du ja den Erledigt-Button in der Qs-Diskussion wieder einbauen.--Mini-floh (Diskussion) 21:52, 1. Dez. 2012 (CET)

--Mini-floh (Diskussion) 21:53, 1. Dez. 2012 (CET)

Neueste Ergänzungen

Hallo Mini-floh! Ein paar Fragen:

„Geht man -- wie in der Definition -- davon aus, dass die Bewertungsfunktion vollständig ist[…]“

Das steht doch nirgendwo in der „Definition“ und es wird auch nicht im Artikel darauf eingegangen.

„Dies zeigt, dass die Intuitionistische Logik nicht unter diese Definition fällt, obwohl nur die Wahrheitswerte ‚wahr‘ und ‚falsch‘ auftreten.“

Das verstehe ich nicht. Bei Interpretationen mittels Heyting-Algebren treten natürlich andere Wahrheitswerte als „wahr“ und „falsch“ auf?

Außerdem weiß ich nicht, was Unbekanntheit der Gültigkeit eines Satzes mit Berechenbarkeit zu tun haben soll, eine Berechnung kann nun mal lange dauern. Bin mir auch nicht sicher, ob der Abschnitt mit Goldbach etc. hier in dem Artikel hilfreich ist. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 13:08, 13. Dez. 2012 (CET)

ad 1: wenn es in der „Definition“ ausdrücklich heißt, dass die Funktion auf ganz $M$ definiert ist, sehe ich nicht so ganz, wie man sagen kann, dass dort nicht steht, dass sie vollständig ist.

ad 2: bekanntlich (?) wurde eine Interpretation der intuitionistischen Logik mit Heyting-Algebren erst um 1930 entwickelt, während der Intiutionismus schon älter ist und zunächst ausdrücklich nur mit „wahr“ und „falsch“ operierte. Nicht von allen wurde „undefiniert“ als weiterer (Nicht-Wahrheits-)Wert akzeptiert, sondern es wurde zunächst gesagt, dass die Wahrheitswerte-Zuordnung unvollständig ist. Du hast aber recht, dass heute in der normalen Formulierung des Intuitionismus von vorne herein nicht mehr zweiwertig formuliert wird. Dies fällt dann aus anderen Gründen aus dem Prinzip heraus.

ad 3: ich gebe zu, dass das Wort „effektiv“ auch wieder mit „Berechenbarkeit“ assoziiert ist, ein Begriff, den ich ausdrücklich vermieden habe. Aber mir fiel kein besserer ein. Das Beispiel der Logiken 2-ter Stufe zeigt, dass „Berechenbarkeit“ in allen Varianten hier kein angemessener Begriff für die Wahrheitswerte-Funktion ist. Es wird ja normalerweise angenommen, dass hier das Bivalenzprinzip gilt.

Gerade die Goldbach-Vermutung ist ein Beispiel, das immer wieder diskutiert wurde (muss natürlich belegt werden, mir fehlt aber leider im Augenblick die Literatur. Irgendwann werde ich das nachtragen, falls es nicht jemand anderes vor mir schafft). Es wurde unterstellt, dass wir die wahre Antwort nie wissen werden, aber natürlich gebe es eine eindeutige Antwort. Die Rede ist dann immer davon, dass in der „wirklichen Mengenlehre“ (wie in der Diskussion, ob in der „wirklichen Mengenlehre“ GCH gilt) entweder die Vermutung gilt oder auch nicht und es denkbar wäre, dass wir dies nie herausbekommen können. (Ich glaube, Chaitin spekuliert etwas in der Richtung, aber ich bin nicht sicher.)

Wahrscheinlich hast du aber recht, dass man das Beispiel hier entfernen muss, wenn man es nicht ausführlich diskutieren will -- und dazu ist hier wohl nicht die richtige Stelle.--Mini-floh (Diskussion) 17:07, 13. Dez. 2012 (CET)

1. „Vollständigkeit“ muss man da doch im Sinne des Vollständigkeitssatzes verstehen – oder? Wenn die ableitbaren Sätzen den in allen Modellen gültigen Sätzen entsprechen, dann folgt daraus, dass diese Modelle das Prinzip der Zweiwertigkeit erfüllen, in der Logik das tertium nondatur bewiesen werden kann (vorausgesetzt die Semantik ist so gestrickt, dass sie die Junktoren irgendwie „sinnvoll“, in einem näher zu definierenden Sinne, interpretiert). Wenn das nicht so gemeint ist, weiß ich nicht, wie der Satz „dann folgt der ‚Satz vom ausgeschlossenen Dritten‘ aus dem Bivalenzprinzip“ genau zu verstehen ist. Ist es so gemeint, dass in einem konkreten Modell, das zweiwertig ist, stets tertium nondatur gilt (wieder unter der Bedingung „sinnvoller“ Interpretation) – aber dann lässt sich damit doch nichts über eine Logik als Ganzes, wie es im nächsten Satz steht, sagen? Es ist mir gerade ziemlich unklar. Falls es dir klar ist, vergiss lieber, was ich gerade wirres gesagt habe, und erklär es mir.

2. Wurde davor denn im Intuitionismus in irgendeiner Weise von Interpretationen gesprochen? Nur dann macht es Sinn, nach dem Prinzip der Zweiwertigkeit dort zu fragen. In der intuitionistischen Logik selbst gibt es natürlich nur wahr und falsch, aber das sind Ausdrücke in logischen Formeln, und keine Wahrheitswerte.

3. Ja, dass die Goldbach-Vermutung ein Standardbeispiel ist, weiß ich (auch wenn ichs nicht sonderlich gut finde, es ist doch immerhin dank Matijassewitsch bekannt, dass es eine diophantische Gleichung gibt, für die sich (Konsistenz angenommen) nicht beweisen lässt, ob sie eine Lösung hat – warum dann ein Beispiel nehmen, wo womöglich der Beweis in ein paar Jahren da ist?). Bloß scheint mir das Prinzip der Zweiwertigkeit von Semantiken für allgemeine Diskussionen über Unbewiesenes und Bewiesenes nicht direkt von zentraler Bedeutung. Wenn du auf philosophische Standpunkte mit „wirklicher Mengenlehre“ und „wirklicher Arithmetik“ hinauswillst – da ist das vllt. sinnvoll zu sagen. Aber man muss dann explizit sagen, dass man solche philosophischen Positionen voraussetzt. Solange man Interpretationen dagegen als etwas rein formales, mathematisches, innerhalb der Mengenlehre formuliertes auffasst, hat das kaum Belang. --Chricho ¹ ² ³ 18:12, 13. Dez. 2012 (CET)

1. Es ist schon so gemeint und deshalb habe ich ja auch extra einen Link "in die Welt der Bücher" angefügt, weil es eigentlich eine Trivialität ist.

2. Da der Intuitionismus ist ja als Reaktion auf bestimmte Formen der Formalisierung der Logik entstanden. Selbstverständlich wurden die Aussagen „interpretiert“.

Das Problem bei diesem Artikel ist doch (und das war der Grund, warum ich die Formeln entfernt haben wollte), dass hier nicht nur mathematisch versierte Leser hinkommen, sondern das Prinzip auch von philosophischer Seite angesteuert wird. Das sieht man ja an den weiteren Teilen der „Diskussion des Prinzips“ und das ist auch gut so. Natürlich landen die Philosophen aufgrund ihrer Geschichte eher beim „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“. Aber wenn sie das hier lesen, sollen sie halbwegs verstehen, was gemeint ist.

Da kann man der Goldbach-Vermutung eher etwas vermitteln, als mit unbeweisbaren diophantischen Gleichungen. Und da dachte ich, der Zusammenhang mit dem Satz vom tertium non datur sollte schon ausdrücklich dastehen. Zumal der bei den Philosophen ja eher im Sinne dieses Prinzips als eine Meta-Aussage gelesen wird: für jeden Satz $\varphi$ gilt: entweder $\varphi$ ist wahr oder $\neg \varphi$ ist wahr.

Ich hätte das Ganze am liebsten so formuliert, dass formalisierte Systeme überhaupt nicht explizit vorkommen, aber ich hatte noch keine Idee, wie man es dann noch wirklich korrekt machen kann.--Mini-floh (Diskussion) 19:56, 13. Dez. 2012 (CET)

Also das mit dem Intuitionismus versteh ich immer noch nicht: „Dies zeigt, dass die Intuitionistische Logik auch in Formulierungen, die auf zusätzliche Wahrheitwerte verzichten, nicht unter dies Prinzip fällt: die Bewertung ist dann unvollständig.“ Um welche Bewertung geht es denn hier? Es ist doch zum Beispiel problemlos möglich, eine vollständige, zweiwertige Bewertung der intuitionistischen Logik über einer gewissen Signatur anzugeben, die intuitionistische Logik ist ja auch nur eine Einschränkung der klassischen Logik – alles was man in letzterer interpretieren kann, kann man auch in ersterer. Diese Interpretation fällt dann unter das Prinzip der Zweiwertigkeit, bloß erhält man eben keinen Vollständigkeitssatz, solange man sich auf solche Interpretationen beschränkt. --Chricho ¹ ² ³ 20:04, 13. Dez. 2012 (CET)