Diskussion:Ränderung
Irgendwie ist die Quellenlage etwas dünn. Gibt's auch ein Buch dazu? Gruß--Mathemaduenn 15:44, 21. Mär. 2007 (CET)
- Es gibt noch einen Zeitungsartikel von einem anderen Autor. Den habe ich jedoch nicht selber gelesen und ich habe im Moment nicht viel Zeit... Außerdem steht ein bißchen was zum Rändern in [1]. Ich werde mal schauen, ob ich noch mehr finde... Aber das dauert ein Weilchen. Jedenfalls ist die Methode beim numerischen Lösen von Gleichungssystemen recht wirksam. Beste Grüße -- TN 22:43, 21. Mär. 2007 (CET)
Habe jetzt einen Link zur Encyclopedia of mathematics eingebaut --Kamsa Hapnida (Diskussion) 08:32, 16. Nov. 2014 (CET)
Quellen
- ↑ Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville: Generalized Inverses. Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-00293-6
- ↑ J. W. Blattner: Bordered Matrices. J. Soc. Indust. Appl. Math., 10(1962), pp. 528-536, ISSN 03684245
- ↑ ("http://www.math.technion.ac.il/iic/ela/ela-articles/articles/vol10_pp16-30.pdf") R.B. Bapat and Bing Zheng: Generalized inverses of bordered matrices. Electronic Journal of Linear Algebra. ISSN 1081-3810, Volume 10, pp. 16-30, January 2003
Begriff Einervektor
Gibt es den Begriff "Einervektor"? Google findet ganze sechs Treffer, vier davon sind Reinkarnationen dieses Wikipedia-Artikels. (nicht signierter Beitrag von 141.35.13.239 (Diskussion | Beiträge) 13:10, 17. Jul 2009 (CEST))
Einleitung fehlt
Irgendwie fehlt da ein Einleitungssatz so etwa "Als Ränderung bezeichnet man eine Methode zum numerischen Lösen von Gleichungssystemen in der Algebra." - so spontan hätte ich beim Lemma auf Häkelumrandungen von Tischdecken getippt, direkt mit Formeln "erschlagen" zu werden finde ich als Laie da schwierig - zumal das Lemma selbst zumindest in den ersten Sätzen gar nicht vorkommt.--feba 16:46, 30. Mär. 2007 (CEST)
- Okay so? --TN 20:39, 30. Mär. 2007 (CEST)
- allerdings - da weiß ich zumindest, daß ich gar nicht erst weiterlesen muß ... und hab trotzdem noch was dabei gelernt ;-))) - wirklich toll, ich bin ja doch prinzipiell für die absolute Laientauglichkeit in den ersten zwei Sätzen - weiter geht es nicht, ohne in jeden weiterführenden Artikel drei Buchinhalte zu integrieren.. --feba 02:32, 31. Mär. 2007 (CEST)
Nutzen von Ränderung beim Lösen von Gleichungssystemen ?
Matrix-Konditionierung ist beim Lösen von Gleichungssystemen von praktischem Interesse. Die 2 gängigen und bekanntesten Methoden sind Pseudoinverse und Levenberg-Marquardt-Algorithmus (dieser hauptsächlich für Normal-Gleichungssysteme).
Beide Methoden suchen nach einer Lösung mit begrenzter Norm.
Zweifellos kann man eine Matrix mittels Ränderung besser konditionieren.
Will man diese jetzt aber - analog zu den 2 erwähnten Methoden - zur stabilen Lösung eines Gleichungssystems heranziehen, so ergibt sich ein Problem, welches die Methode für die Lösung eines Gleichungssystems unmöglich macht:
Mit den zusätzlichen Unbekannten werden auch zusätzliche Zeilen eingefügt. Um diese als zusätzliche Gleichungen lösen zu können, müssten aber zusätzliche Elemente des Konstanten-Vektors bekannt sein.
Bei einem theoretisch konstruierten Beispiel mögen diese zusätzlichen Elemente als bekannt vorausgesetzt sein (so wie im Artikel-Beispiel), bei jedem praktischen Beispiel werden diese aber in aller Regel unbekannt sein. Somit ist die Methode für die Lösung eines schlecht konditionierten Gleichungssystem nicht zu gebrauchen (im Gegensatz zu den oben erwähnten Methoden).
Die im Artikel-Beispiel eingesetzten Null-Elemente sind auf alle Fälle willkürlich (d.h. beim verändern dieser Konstanten-Elemente verändert sich auch der Unter-Lösungsvektor mit den eigentlichen Unbekannten und die Teil-Lösung aus der erweiterten Lösung ist weit von der Lösung des schlecht konditionierten Gleichungs-Systems entfernt.). Willkürlich eingesetzte Nullelemente führen im Gegensatz zur Pseudoinversen zu einer sub-optimal begrenzten Norm des Lösungsvektors.
Im Artikel-Beispiel stimmt zufälligerweise(!) die 3D-Sub-Lösung ( 0 , 0.1 , 0 ) (im Beispiel nicht explizit angeführt) - welche sich aus der vorgeschlagenen Erweiterung des Konstanten-Vektors mit einem Nullelement ergibt - überein mit der 2D-Original-Lösung ( 0 , 0.1 ).
Aendert man jetzt aber den Konstanten-Vektor b von ( 1 , 0.1 ) auf ( 0 , 1.1 ) ab, so ist dies nicht mehr der Fall. Statt der 2D-Lösung ( -11 , 1 ) resultiert jetzt aus der Erweiterung des Konstanten-Vektors mit einem Null-Element die 3D-Lösung ( 0 , 0 , 0.11 ), wobei der relevante Sub-Lösungsvektor ( 0 , 0 ) nicht mehr mit der Original-Lösung übereinstimmt!
Um eine korrekte Sublösung zu kriegen, müsste zum vornherein die korrekte Erweiterung des Konstanten-Vektors (in diesem Fall wäre es ein Element verschieden von Null, nämlich -110 ) bekannt sein! - Wann ist dies in einem praktischen Beispiel der Fall?
Sowohl Pseudoinverse wie auch Levenberg-Marquardt-Algorithmus (indem aus dem Original-Gleichungssystem zuerst ein Normal-Gleichungssytem gemacht wird) liefern aber hier die korrekte Lösung : ( -11 , 1 ) !
Es stellt sich also eine interessante und berechtigte Frage : Wo liegt die praktische Anwendung von Ränderung ? --Sourlier 13:35, 26. Sep. 2010 (CEST)
Beziehung zum ursprünglichen Gleichungssystem?
Das Beispiel ist ganz unverständlich: was hat die Lösung des geränderten Gleichungssystem () noch mit der Lösung des ursprünglichen Systems () gemein?
