Diskussion:Rademacherfunktionen

Aus dem Nachruf von Bruce Berndt, Acta Arithmetica 1992

'The fourteen papers published by Rademacher in 1916–1922 chiefly concern the theory of functions of a real variable and measure theory. In particular, we mention paper [(his 1922 article)] in which Rademacher introduced an orthogonal system of functions now known as Rademacher functions. He soon wrote a sequel on the completion of this system but was discouraged from publishing it. In the meanwhile, J. L. Walsh [see below] independently completed the system and published a paper containing much of Rademacher’s work. Rademacher never published his paper, which, for many years, was considered to be permanently lost. In the summer of 1979, the paper was miraculously unearthed, and soon thereafter E. Grosswald [see below] described the paper’s history and its contents at a conference honoring Grosswald at his retirement. Since its discovery, Rademacher’s orthonormal system has been utilized in numerous instances in many areas of analysis.'

• J. L. Walsh: A closed set of normal, orthogonal functions, Amer. J. Math. 55 (1923), 5–24.

• E. Grosswald: An orthonormal system and its Lebesgue constants, in: Analytic Number Theory, M. I. Knopp (ed.), Lecture Notes in Math. 899, Springer, Berlin 1981, 2–9.

-- KurtSchwitters 21:34, 11. Apr. 2011 (CEST)

Auch interessant: Felix Hausdorff, 1915

Hausdorff hat sie offenbar schon vor Rademacher definiert (damals unveröffentlicht). Siehe auch den Kommentar von Chatterji auf den folgenden Seiten 759/760. -- KurtSchwitters 16:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

Rademacher-Funktionen periodisch

Laut [1] sind Rademacher-Funktionen periodische Funktionen die auf dem Intervall [0,1) definiert sind und peridoisch fortgesetzt werden. Insbesondere gibt es laut dieser Quelle zwei Arten von Rademacher-Funktionen, womit sich auch der Konnex zu den Walsh-Funktionen (Walsh-Kaczmarz-Funktionen) leichter, ähnlich wie die Summen/Produktsätze bei trigonometrischer Funktionen, herstellen lässt. ("Walsh-Sinus" und "Walsh-Cosinus") Ausgegangen wird von folgenden beiden 1-periodischen Funktionen

$\operatorname {sir} (x):=(-1)^{\lfloor 2x\rfloor }=\operatorname {sign} (\sin(2\pi x))$

$\operatorname {cor} (x):=(-1)^{\lfloor 2x+{\frac {1}{2}}\rfloor }=\operatorname {sign} (\cos(2\pi x))$

Die Rademacherfunktionen sind dann:

$\operatorname {sir} (2^{n}x)$

$\operatorname {cor} (2^{n}x),\qquad x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$

Im Artikel tauchen nur die abgeleiteten sir-Funktion mit r bezeichnet auf, womit allerlei Bezüge, ähnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen, fehlen, z.B:

$\operatorname {sir} (x)\operatorname {cor} (x)=\operatorname {sir} (2x)$

Daneben lassen sich diverse Testfunktionen der Signaltheorie und Nachrichtentechnik wie Kippschwingung (period. Sägezahnfunktionen, Zackenfunktionen, Rechteckfunktionen) mit Rademacherfunktionen einfach angeben. So keine Einwände bestehen, stelle ich das im Artikel um.

[1] Eugen Gauß: Walsh-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Teubner, 1994, ISBN3-519-02099-8, Kapitel 3.1 und Seiten 46 und folgend.

--wdwd 20:40, 28. Okt. 2011 (CEST)

OK. Man kann ja so etwas schreiben wie, „für Anwendungen nützlich auch die entsprechende Familie (mit cos)“ usw. -- KurtSchwitters 20:47, 28. Okt. 2011 (CEST)

natürliches n

Ist im ersten Satz des Artikels wirklich "natürliches n" gemeint? Im genannten Intervall gibt es nur eine einzige natürliche Zahl... Besser: Reelle Zahl?? Ich bin kein Mathematiker, daher bitte ein Fachmensch an den Start... Radix --2003:F5:EBC6:22B8:31ED:EE82:3EAC:C9A3 19:25, 7. Jan. 2020 (CET)