Diskussion:Runge-Kutta-Verfahren

Einleitung

Könntet ihr bitte an die Omas dieser Welt denken und zumindest einen kleinen Hinweis geben worum es geht (Logik? Mathematik? Atombombenbau?) southpark 22:33, 11. Feb 2004 (CET)

• Der Bitte von southpark vom 11. Feb 2004 (CET) konnte wohl deshalb bisher nicht entsprochen werden, weil die Diskseite meist keiner liest: dennoch nichts gegen Omas bitte, und alles für sinnvolle kurze Einleitungen zu einem Artikel!!!----Zaungast 12:03, 29. Okt 2004 (CEST)

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Omas lesen das hier eh nicht - und evtl. interessiert es die auch nicht. Man muß ja nicht alles wissen, und -ja - es geht um Atombombenbau !!!

Nur um das nochmal klar zu stellen: Es geht hier nicht um Atombombenbau, sondern um Mathematik :-) ... Weiterhin denke ich, dass der Bitte von Southpark schon vor einiger Zeit ausreichend entsprochen wurde. Gruß -- DerGrosse 16:47, 30. Aug 2006 (CEST)

hint: es geht um mathemetik, speziell dieses verfahren findet in der praxis bei der strömungsvisualisierung anwendung (RK-2 bei simplen strömungen, RK-4 bei komplexen strömungen)

Oma kann ab dem ersten Summenzeichen auch gar nicht mehr weiter lesen, denn hier fällt ein s vom Himmel, dass dann im nächsten Summenzeichen genauso unkommentiert erscheint und sich dann verflüchtigt. Spätestens jetzt sind die Mathe-Grundkursler auch von diesem Artikel verbannt. 'tschuldigung, ich finde diesen Artikel ja gar nicht mal soo schlecht, aber wenn ich mir manche Mathe-Artikel in Wikipedia ansehe und dann zum Teil völlig unkommentierte Formeln um die Ohren gehauen bekomme, gelange ich zu dem Schluss, es handelt sich hier um ein Formel-Nachschlagewerk für Physik-Studenten, nicht aber um Wissen für die Allgemeinheit. Das lateinische und das griechische Alphabet 'rauf und 'runter, garniert mit Indizes und Exponenten und schließlich geklammert bis zum geht nicht mehr...wer will das lesen? Der Mutter (und von mir aus auch der Oma), die in der Tram "Runge-Kutta" hört und schnell im Handy nachschlagen will, ob die mitfahrenden Studenten über die neue Nachbarin herziehen, wird damit nicht geholfen. Und ab der Überschrift "Butcher-Tableau" ist für mich in diesem Artikel endgültig Schluss: Der zugehörige Link geht auf die Person John C. Butcher und dafür tauchen dann a_ij auf, die weder etwas erklären noch erklärt werden. Hätte man statt dessen das angefangene Beispiel weiter ausformuliert und berechnet zum y₁ und vielleicht noch zum y₂ hätte der Artikel wirklich gewonnen. Wikipedia ist für ich eine Enzyklopädie für alle(!) und nicht ein Mathe-Fachbuch ohne Beweise. Vielleicht würde ja eine Dreiteilung der Fachartikel helfen: Seite 1 für Leute bis IQ 100, Seite 2 für IQ 150++, Seite 2 diese Diskussion. --178.4.41.174 21:52, 25. Mär. 2015 (CET)

OMA-tauglichkeit

Ich bin keine Oma und verstehe es dennoch nicht. Und ich war in der Schule nicht gerade schlecht in Mathe. Wie bei den meisten Artikeln zu Mathematik, wird mit Fachbegritten und Mathematischen Zeichen um sich geworfen, ohne etwas wirklich zu erklären. Ich versuche es dennoch zu verstehen. Wenn jemand bestätigen kann, dass das, was ich mir denke richtig ist, können wir es ja in den Artikel aufnehmen: In der Naturwissenschaft kommt es vor, dass sich ein Phänomen nur durch eine mathematische Funktion beschreiben lässt, dessen zweiter Parameter wiederum eine Funktion ist. So zumindest interpretiere ich $f\left(x,y(x)\right)$. Da zu einem solchen Anfangsproblem in der Regel keine exakte Lösung angeben lässt, wird das Runge-Kutta-Verfahren zur Annäherung verwendet. (Alternative Verfahren sind ... oder Mehrschrittverfahren). Dabei wird ?was? ?wieviele?mal wiederholt. Hilfreich könnten (für jemanden, der das Prinzip verstanden hat und den Artikel verbessern will) auch die folgenden Fragen sein:

• Was genau ist das Problem? (Wie ist die Ausgangssituation? Warum gibt es keine exakte Lösung?) (Am Besten in Worten und nicht in Formeln beschreiben.)
• Wie wird das Problem gelöst? Wie funktioniert das Verfahren? (Die Formel erklärt das, aber nur, wenn man komplexe Formeln versteht.)
• Wie kommt man auf diese Lösung? Wie ist die Herleitung? (Brauchen ja nicht die Zwischenschritte sein, nur die Idee.)
• In welchen Fällen ist sie geeignet und in welchen nicht? Wenn nicht, warum nicht? Wenn, warum?
• Kann meine Oma (oder zumindest ein durchschnittlicher Abiturient) meine Erläuterung verstehen, ohne jeden Begriff nachschlagen zu müssen?

Ich hoffe ich konnte Helfen. -- Nico Düsing (Diskussion) 22:46, 4. Jan. 2010 (CET) Leider macht es in einer Enzyklopädie nicht wirklich Sinn gleiche Informationen in Artikeln immer wieder zu wiederholen, deswegen sind für das Verständnis notwendige Fachbegriffe verlinkt (bzw. ich habe die entsprechenden Verlinkungen nachgeholt). Auch wenn es fraglich ob dieser Artikel OMA-tauglich ist, so geht man aber vom Idealfall aus, dass die verlinkten Artikel gelesen werden und verständlich sind. Solange man sich dabei nicht im Kreis dreht, finde ich dass auch sinvoll. Wenn die verlinkten Artikel nicht verständlich sind, so wären dort Verbesserungsvorschläge sinvoll. Außerdem muss ich sagen, dass ich den Artikel im Vergleich zu anderen Mathe-Artikeln schon für recht gelungen halte, wobei natürlich immer noch Verbesserungen möglich sind.

Ansonsten zu deinen Vorschlägen:

In der Naturwissenschaft kommt es vor, dass sich ein Phänomen nur durch eine mathematische Funktion beschreiben lässt, dessen zweiter Parameter wiederum eine Funktion ist. So zumindest interpretiere ich $f\left(x,y(x)\right)$. Da zu einem solchen Anfangsproblem in der Regel keine exakte Lösung angeben lässt, wird das Runge-Kutta-Verfahren zur Annäherung verwendet. (Alternative Verfahren sind ... oder Mehrschrittverfahren).

Anfangswertproblem ist verlinkt und wird deshalb nicht nocheinmal erklärt.

Dabei wird ?was? ?wieviele?mal wiederholt.

Anzahl ist ist s. Gehört aber meiner Meinung nach nicht in die Einleitung, sondern eher in die Erklärung der Rekursionsformel. Dort könnte man aber gerne die Rekursionsformel noch einmal in Worten zusammenfassen.

• Was genau ist das Problem? (Wie ist die Ausgangssituation? Warum gibt es keine exakte Lösung?) (Am Besten in Worten und nicht in Formeln beschreiben.)

Anfangswertproblem. Ob es eine exakte Lösung gibt ist unerheblich, die näherungsweise Bestimmung ist einfach schneller, aber das gehört eigentlich eher in den Artikel numerische Mathematik.

• Wie wird das Problem gelöst? Wie funktioniert das Verfahren? (Die Formel erklärt das, aber nur, wenn man komplexe Formeln versteht.)

Genauere Erläuterung der Formel in Worten und eventuell Pseudocode wären sinvoll.

• Wie kommt man auf diese Lösung? Wie ist die Herleitung? (Brauchen ja nicht die Zwischenschritte sein, nur die Idee.)

Herleitung Könnte man irgendwann ergänzen, aber ist meiner Meinung nach ersteinmal nicht so wichtig. Wüsste jetzt auch nicht in welchen Lehrbuch man dies finden könnte.

• In welchen Fällen ist sie geeignet und in welchen nicht? Wenn nicht, warum nicht? Wenn, warum?

Kann man meißt bei Numerischen Verfahren nicht so allgemeingültig sagen und hängt sehr von der Problemstellung ab. Ist zum Teil schon im Artikel enthalten, aber wenn es dazu genauere Angaben gibt, sollten sie mit Quellenangabe in den Artikel eingefügt werden.

• Kann meine Oma (oder zumindest ein durchschnittlicher Abiturient) meine Erläuterung verstehen, ohne jeden Begriff nachschlagen zu müssen?

Wie gesagt, leider kommen du und auch deine Oma nicht drumherum, alle Begriffe Nachzuschlagen, ansonsten wäre der Artikel so lang wie ein Buch.

Trotzdem Danke für die Vorschläge. Schönen Gruß "Wohingenau" 00:27, 5. Jan. 2010 (CET)

Danke für die Antworten. Die Fragen waren mehr als Anregung gedacht und nicht als Diskussionsgrundlagen, aber gut ^^. Was die Fachbegriffe angeht, so erwarte ich norm. wenn ich einen Artikel gelesen habe, mich schlauer zu fühlen und nicht dümmer, es geht mir auch nicht direkt darum die Begriffe zu erklären sondern eher einfachere umgangssprachlichere Begriffe zu verwenden (und auf Fachbegriffe hinzuweisen). Pseudocode wäre super. --84.142.123.139 17:15, 5. Jan. 2010 (CET)

Das Anfangswertproblem ist doch sogar im ersten Absatz hingeschrieben? Ohne irgendeine Kenntnis von Differentialgleichungen wird man diesen Artikel nicht verstehen, aber vermutlich auch nicht nachschlagen. --P. Birken 15:11, 9. Jan. 2010 (CET)

Lemma

Sollte man den Artikel nicht besser "Runge-Kutta-Methode" statt "Runge-Kutta Methode" nennen? --Stfn 11:35, 12. Feb 2004 (CET)

Das Schlagwort, das mir einfällt, heisst eher Runge-Kutta-Verfahren, Runge-Kutta-Methode wird IMHO seltener verwendet. Hubi 11:49, 12. Feb 2004 (CET)

Google hat zu "Runge-Kutta-Methode" ca. 260 Treffer, zu "Runge-Kutta-Verfahren" ca. 2600. --Stfn 12:01, 12. Feb 2004 (CET)

Konsistenz => Konvergenz

Konsistenzordnung und Konvergenzordnung gilt nur, wenn es Lipschitzstetigkeit in f bzgl. y gibt, das konnte ich in der Beschreibung nicht finden. Ich ueberpruefe das nochmal auf Korrektheit und passe es ggf. an, falls es nicht sowieso schon jemand besser weiss.

$0=>x_{0}$

Sollte es bei "Allgemeine Formulierung" anstelle von $y(0)=y_{0}$ nicht besser $y(x_{0})=y_{0}$ heißen? --Pinetik

Das ist eine reine Geschmacksfrage. --P. Birken 21:52, 12. Jul. 2007 (CEST)

Trapezverfahren

Wie sieht das eigentlich mit dem Trapezverfahren aus? So wie ich das kenne sind Runge-Kutta Verfahren explizit. --Babucke 20:46, 3. Nov. 2007 (CET)

Hi Babucke, wie auch beim Trapezverfahren in der Diskussion geschrieben, scheinst du dich da zu irren, der Artikel hat in dem Punkt recht: RK-Verfahren sind nur in Spezialfällen explizit, nämlich dann, wenn das Butcher-Tableau (nilpotent) strikt untere Dreiecksgestalt hat. Deswegen habe ich vorhin das Tableau zum Trapezverfahren eingepflegt, bisher waren nur explizite vertreten. Ist z.B. auch im recht verbreiteten Dahmen-Reusken-Buch nachzulesen, das auszugsweise zum Download bereitsteht ("Folien für Dozenten"): [1], Kapitel 11. Grüße, --RealZeratul 21:33, 3. Nov. 2007 (CET)

Sorry, habe mich da vertan, es gibt natürlich auch implizite Runge-Kutta Verfahren. Nur das Trapezverfahren gehört da totzdem nicht rein sondern in die Gruppe der Adams-Moulton Verfahren. Runge-Kutta heist Prädiktor-Korrektor, Adams-Moulton bedeutet ja y_n+1=y_n + h(a₀f_n+1 +a₁f_n +a₂....). Siehe z.B. en:Multistep_method (da steht das besser drin als im deutschen Artikel). Das von Dir genannte Buch Numerik für Ingenieuere und Naturwissenschaftler führt zwar die Trapezregel unter Einschrittverfahren, es ist aber ein Mehrschrittverfahren, da f_n und f_n+1 verwendet werden. Nur weil man es mit der hiesigen Tabelle darstellen kann, bedeutet das nicht, dass es auch da rein gehört. Gruss --Babucke 14:40, 5. Nov. 2007 (CET)

Praediktor-Korrektor ist eine Art eines impliziten Loesungsverfahrens, in die man sowohl Runge-Kutta als auch Mehrschrittverfahren pressen kann. Ansonsten gibt es verschiedene Verfahren, die sowohl Runge-Kutta-Verfahren als auch Mehrschrittverfahren sind, insbesondere der explizite und der implizite Euler, aber auch das Trapezverfahren. Es geht um die Zahl der Startwerte, die benoetigt werden, um das Verfahren durchzufuehren. Und da f_{n+1} eh nie gegeben ist, zaehlt dies nicht mit. Ein Verfahren, was mit f_n und f_{n+1} arbeitet ist somit immer ein Einschrittverfahren. --P. Birken 17:17, 5. Nov. 2007 (CET)

Also ich habe mir das nochmal angeschaut, die Bezeichnungen unterscheiden sich bei verschiedenen Leuten. Im Prinzip fallen da eben die verscheidenen Definitionen aufeinander (wie Du gesagt hast Euler expl./impl. Trapezregel). Erst ab 3. Ordnung trennt sich das dann wirklich. Um nicht in Haarspalterei aufzugehen, ist es wohl am besten, man erwähnt die eben in all den Gruppen, wo sie rein passen. Gruss --Babucke 11:49, 6. Nov. 2007 (CET)

Beispiele

Ich fänd es Super wenn die Matrizen mit Nullen auffüllen würde. So köntne man explizite Verfahren direkt daran erkennen das Es sich bei A um eine strikte untere Dreieicksmatrix (und somit um ein explizites Verfahren) handelt.

Ich habs mal im Text erwähnt. --P. Birken 12:10, 6. Apr. 2008 (CEST)

Wär auch nett, wenn eine Erklärung dabei wär, wie man die Beispiele lesen muss. So für Dummies... (nicht signierter Beitrag von 109.192.29.34 (Diskussion) 22:17, 21. Sep. 2011 (CEST))

Was ist denn nicht zu verstehen? --P. Birken 15:31, 2. Okt. 2011 (CEST)

Weblinks

Der Link geht bei mir nicht, ist es bei jemand anderen auch so?--Schönen Gruß "Wohingenau" 18:03, 21. Jan. 2010 (CET)

Ja, der Link ist tot. Kann ich bestätigen --85.180.77.172 13:21, 23. Jan. 2010 (CET)

Jo, ich habe ihn wieder rausgenommen. --P. Birken 15:38, 23. Jan. 2010 (CET)

Abschnitt 3: zu lange

Abschnitt 3 (Konsistenz- und Konvergenzordnung) ist zu lange. Es wird viel Theorie erklärt, die besser in einem anderen Artikel stehen sollten. Die Quintessenz zum Runge-Kutta-Verfahren kommt nicht direkt heraus.

Ja, das stimmt. Ich habe es mal etwas gekürzt. Besser? --P. Birken 19:24, 7. Mär. 2010 (CET)

Fehler im Teil "Allgemeine Formulierung"?!?

hallo,

ich denke die Definition von $k_{j}$ via

$k_{j}=f\left(x_{j}^{(i)},y_{j}^{(i)}\right)(1)$

mit

$y_{j}^{(i)}=y^{(i)}+h\sum _{l=1}^{s}a_{jl}k_{l}(2)$

kann so nicht funktionieren, da man in (2) ja schon alle $k_{l}$ benötigt um im Endeffekt überhaupt erst $k1$ zu berechnen. Ich denke, der Fehler liegt in Formel (2) und es sollte vielleicht heissen:

$k_{1}=f\left(x^{(i)},y^{(i)}\right)$

und

$k_{j}=f\left(x_{j}^{(i)},y_{j}^{(i)}\right),j>1$

mit

$y_{j}^{(i)}=y^{(i)}+h\sum _{l=1}^{j-1}a_{jl}k_{l}$

und

$x_{j}^{(i)}=x^{(i)}+hc_{j}$

So erscheint es mir sinnvoller. Stimmt jemand zu? Weiß es nicht sicher... (nicht signierter Beitrag von 89.247.118.229 (Diskussion) 18:36, 19. Jul 2010 (CEST))

Nein das stimmt nicht. Wenn die k_j bereits in die Berechnung der k_j eingehen, ist die Lösung eines linearen oder nichtlinearen Gleichungssystem nötig, die Verfahren heißen dann implizit. Ich habe dazu gerade einen eigenen Abschnitt eingefügt. --P. Birken 16:58, 21. Aug. 2010 (CEST)

Er hat aber damit recht, dass es so schwierig ersichtlich ist, wie sich Explizite Verfahren herleiten. Aus der Bedingung a_jl = 0 für l >= j folgt ja, dass die Summe nur bis j-1 laufen muss und dass die k_j nicht von sich selbst abhängen (Multiplikation mit 0). Aber ersichtlicher wäre das vermutlich mit einem expliziten Satz an Formeln.

RK 2. Ordnung als Collatz-Verfahren?

Siehe auch: http://www.math.tu-berlin.de/numerik/mt/Sources/Bollhoefer/numerikbuch/uebung/092/uebweb.pdf und http://www.itm.uni-stuttgart.de/courses/numerik/pdf_files/Aufgabenblaetter/A16.pdf (nicht signierter Beitrag von 84.157.206.69 (Diskussion) 00:37, 25. Mär. 2011 (CET))

Schreibweise

Zitat: Die Koeffizienten $b_{j}$ definieren das jeweilige Verfahren und können als Quadraturformel für das Integral $\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))dt$ interpretiert werden. Ich bin mit diesem Satz nicht zufrieden. Laut Text können die $b_{j}$ als Quadraturformel angesehen werden. Die $b_{j}$ sind aber lediglich Gewichte der Quadraturformel, die von einem Verfahren stammen, oder irre ich mich da? --Jost88 23:11, 9. Aug. 2011 (CEST)

Ich würde Jost88 diesbzgl. Recht geben. b_j stellen meinem Verständnis nach die Gewichte dar... (nicht signierter Beitrag von 79.221.186.38 (Diskussion) 13:30, 6. Jul 2013 (CEST))

Verstehen oder nicht, an alle Omas und Opas und die, die in Mathe gut waren

Ob es gelingen kann, in Wiki etwas so darzustellen, dass es ein jeder versteht, ist fraglich. Eine Wiki Seite kann unmöglich ein Mathe Buch ersetzen: Kusch, Papula, Zurmühl etc.

Butcher-Tableau

Der Abschnitt zum Butcher-Tableau erklärt leider nicht wie man aus c, A und b da Verfahren ableiten kann. Die englisch-sprachige Wikipedia macht das deutlich besser.--85.212.6.180 15:27, 22. Jul. 2021 (CEST)

Abschnitt Geschichte: Hairers Verfahren

Es wird angegeben, daß „1978 ein Verfahren 8. Ordnung mit zehn Stufen” gefunden wurde. Ich habe aktuell kein Buch greifbar; eine Quellenangabe wäre dafür schön. [Ich nehme an, Hairers Verfahren ist explizit, sonst wäre Ordnung 8 mit 10 Stufen ja uninteressant, weil man mit impliziten Gauß-Legendre-Verfahren bereits Ordnung 20 mit 10 Stufen erzielen kann.]

In der englischsprachigen Version des Artikels gibt es eine Tabelle, aus der hervorgeht, daß man für (explizite) Verfahren 8. Ordnung ein Beispiel mit 11 Schritten kennt, und aus dem Text geht hervor, daß dies die beste bekannte Information ist (man kennt kein Verfahren mit 10 Schritten: ‘all known methods of order 8 have at least 11 stages, though it is possible that there are methods with fewer stages. (The bound above suggests that there could be a method with 9 stages; but it could also be that the bound is simply not sharp.)’.

Auch auf der Seite [2], die im Abschnitt Weblinks angegeben wird (und im wesentlichen von Butcher verfaßt ist), findet man 11 Schritte für Ordnung 8. Dort steht sogar ‘Although it is not known, for arbitrary orders, how many stages are required to achieve this order, the result is known up to order 8 and is given in Table 2.’. Dies würde bedeuten, daß 11 Schritte sogar bekanntermaßen (Quelle?) notwendig sind, um Ordnung 8 mit einem expliziten Verfahren zu erreichen.

All dies deutet für mich darauf hin, daß hier etwas nicht stimmt, und ggf. eine Korrektur notwendig ist. Das sollte unbedingt mal richtig überprüft und belegt werden. Vielleicht liest das einmal ein Numeriker, der sich besser als ich damit auskennt. --128.131.43.38 16:59, 14. Mär. 2022 (CET)

Edit: Ich nehme an, daß Hairers Resultat in „Hairer, E. A Runge-Kutta method of order 10. J. Inst. Math. Appl. 21 (1978), no. 1, 47–59. MR0488754 (58 #8270)” zu finden ist.--128.131.43.38 17:25, 14. Mär. 2022 (CET)

In dieser (oben angegebenen) Quelle MR0488754 konstruiert Hairer ein explizites Verfahren der Ordnung 10 mit 17 Stufen, also 1 Stufe weniger als Curtis in (Curtis, A. R., J. Inst. Math. Appl. 16 (1975), 35—55) vor ihm. Es wird in Hairers Artikel auch zitiert, daß Curtis 1970 (Curtis, A. R., Num. Math. 16 (1970), 268—277) ein 11-stufiges RK-Verfahren der Ordnung 8 angegeben hat, ‘[b]ut it is still not known if there exists a RK-method of order 8 with s = 10’, wobei s die Anzahl der Stufen ist. Es wird in Hairers Arbeit erwähnt, daß s = 10 gleichzeitig die minimale Anzahl an Stufen ist, die ein explizites RK-Verfahren der Ordnung 8 haben könnte, wie aus den Butcher-Schranken in (Butcher, J.C., SIAM J. Numer. Anal. 12 (1975), 304—315) hervorgeht. Man beachte, daß Hairers Artikel 1976 angenommen wurde, aber erst 1978 im Druck erschienen ist. Daher schließen diese Informationen zunächst nicht aus, daß Hairer nicht später auch ein Verfahren mit 10 Stufen und Ordnung 8 konstruiert hat.

Tatsächlich ist es aber unmöglich, daß man ein explizites RK-Verfahren der Ordnung 8 mit nur 10 Stufen produzieren kann. Dies folgt aus einer späteren Arbeit von Butcher (Butcher, J.C., The nonexistence of ten-stage eighth order explicit Runge-Kutta methods. BIT 25 (1985), no. 3, 521–540. MR797101)

Konsequenz dieser Literaturrecherche ist, daß die Aussage im Artikel, wie von mir vermutet, falsch ist. Korrigieren könnte man den Text durch „1978 ein Verfahren 10. Ordnung mit siebzehn Stufen“ (inklusive Quellenangabe, Hairers Artikel). Für ein Verfahren von Ordnung 8 mit 11 Stufen wären Curtis, 1970 bzw. Cooper, G.J. & Verner, J.H. SIAM J. Numer. Anal. 9 (1972), 389—405 zu zitieren, und für die Optimalität der 11 Stufen die Arbeit von Butcher, 1985. Man kann auch ein 25-stufiges RK-Verfahren der Ordnung 12 von Ono erwähnen (On the 25 stage 12th order explicit Runge–Kutta method. JSIAM 16 (2006), 177–186), welches auf Hairers 17-stufigem Verfahren der Ordnung 10 aufbaut. --128.131.43.38 17:04, 17. Mär. 2022 (CET)

z. Ordnung

Es gibt sogar Runge Kutta 6. Ordnung --31.150.136.84 17:31, 1. Sep. 2022 (CEST)