Diskussion:Satz (Mathematik)

Behauptung vs. Aussage, Aufbau eines Satzes vs. Aufbau eines Dingsbums mit Satz

1. So wie die Bemerkung über eine Irreführung mit dem Wort "Behauptung" jetzt im Artikel steht, habe ich nicht verstanden, worum es eigentlich geht. Dazu musste ich erst die gesamte Diskussion hier nachlesen. An die Frau oder den Herrn mit der Adresse 83.129.168.113: Schreib das doch mal so, dass man es versteht.

2. Ich finde das Schema Voraussetzung-Aussage/Folgerung-Beweis sehr praktisch: Beim Schreiben vergesse ich so nichts wichtiges, und wenn ich Artikel lese, dann habe ich häufig ein Problem damit, herauszufinden, was die Voraussetzungen sind. Es ist manchmal nicht ganz klar, ob in einem Artikel die gerade besprochenen Dinge Voraussetzung für den nächsten Satz sind oder nicht, vor allem über die Grenzen von Abschnitten hinweg. Ich sehe ein, dass die Implikation Voraussetzung=>Folgerung bereits der Satz ist und der Beweis nicht dazu gehört. Aber wie heißt das Ding, dass aus Voraussetzung, Folgerung und Beweis besteht?

3. Einen Satz, der keine Implikation ist, wird man kaum finden. Ich meine, alle aufgelisteten Beispiele in dem Artikel sind mit dem Kalkül versehen, in dem sie zu verstehen sind. Und das Kalkül enthält doch Axiome und diese sind auch Voraussetzung für die äh Folgerung/Aussage des Satzes.

DrLemming 18:03, 7. Okt. 2010 (CEST) NIGGA STEAL MY NUTELLA (nicht signierter Beitrag von 217.226.30.63 (Diskussion) 11:17, 28. Jun. 2012 (CEST))

Östliche Logik

Wo habt ihr denn das her, dass der Sprachgebrauch mit der "Behauptung" besonders im Osten verbreitet wäre? Der entsprechende Verweis auf eine Seite bei der Mathematikdidaktik in Erlangen funktioniert nicht mehr. DrLemming 17:41, 7. Okt. 2010 (CEST)

Proposition

Der Link Proposition führt zu einem Artikel des falschen Themas. Artikel müsste neu angelegt werden. Benutzer:dasLambda

Mittlerweile ist dort eine Begriffsklärungs-Seite, die aus diesen Artikel hier verweist. --83.129.168.113 14:46, 3. Apr 2005 (CEST)

Verweise auf Seiten, in denen der gesuchte Begriff überhaupt nicht vorkommt, sind nicht besonders hilfreich. Sollte im Artikel der Begriff "Proposition" nicht wenigstens irgendwo auftauchen? --77.57.173.212 10:39, 3. Mär. 2010 (CET)

Für Anfänger/Schüler der Mathematik

Ich habe den Artikel um den Aufbau erweitert. Vielleicht findet jemand noch ein Beispiel für eine Voraussetzung, die nur hinreichend ist, das aber nicht zu konstruiert wirkt. EPsi 16:39, 19. Okt 2004 (CEST)

Behauptung/Aussage

Nachdem eine Behauptung etwas als Tatsache darstellt, ist also die Behauptung des Satzes, dass er wahr ist; während die Aussage des Satzes der eigentlich interessante Teil des Satzes ist: nämlich das Ergebnis aus diversen Schlüssen (also wäre auch „Schlussfolgerung des Satzes“ ein geeigneter Ausdruck für „Aussage des Satzes“; dies ist dann im englischen gebräuchlich: conclusion). Ich habe dies einmal durch geeignete Änderungen deutlich gemacht (die vorherige Version mischte munter den Begriff Behauptung in seiner eigentlichen Bedeutung und in einer falschen, irreführenden Bedeutung, was nichteinmal durch entsprechende Kommentare aufgelöst wurde, so dass eine Rekursion entstand B=(V=>B), was eine ziemliche Zumutung sein dürfte; desweiteren ist eine Ambivalenz hier gar nicht sinnvoll oder nötig; es mag sein, dass es Mathematiker gibt, die ein gewisses, absonderiches Vergnügen daran haben, irreführendes abzusondern, was aber heute nicht mehr zeitgemäß sein dürfte). --83.129.168.113 14:46, 3. Apr 2005 (CEST)

Hm, ich denke, das ist ziemlich egal, meinetwegen kann auch der Satz die Aussage machen, dass aus den Voraussetzungen die Behauptung folgt. Vielleicht würde das einem Logiker besser gefallen, vielleicht nicht, ich bin jedenfalls keiner. Hauptsache, die Verwendung der beiden Wörter ist konsequent.--Gunther 15:11, 3. Apr 2005 (CEST)

War ja teilweise noch nichteinmal grammatikalisch korrekt. Ich habe es daher geändert. So wie es jetzt ist, sollte es bleiben. --83.129.168.113 15:59, 3. Apr 2005 (CEST)

Lies doch einfach unter Aussage (Logik) nach, die Aussage ist genau der Inhalt des Satzes. --213.54.214.35 16:04, 3. Apr 2005 (CEST)

Manno! Dort ist selbstverständlich nicht Satz (Mathematik) sondern Satz (Grammatik) gemeint. Das ist ja wohl ganz offensichtlich. Deine Polemik stört hier bloß, weil Du krampfhaft versuchst, Deine falsche These zu stützen! --83.129.168.113 16:13, 3. Apr 2005 (CEST)

Die Aussage eines mathematischen Satzes ist sein Inhalt und hat einen Wahrheitswert, das ist soweit konform mit der Aussagenlogik. Voraussetzung und Behauptung sind die üblichen Bezeichnungen für die Teilglieder eines solchen Satzes. Was genau stört Dich daran so? --213.54.219.2 17:57, 3. Apr 2005 (CEST)

Nun gut (im folgenden werde ich folgende Abkürzungen verwenden: B=(V==>A)): Ein Satz im mathematischen Sinne hat aber den Anspruch, dass er wahr ist, während allseits aber zugegeben wird, dass eine Aussage (auch im mathematischen Sinne) diesen Anspruch nicht hat (wahr oder unwahr kann eine Aussage sein). Daher behauptet ein Satz also, dass die Aussage des Satzes (A) gilt, wenn die Voraussetzung (V) erfüllt ist. Dahingegen behauptet man die Aussage des Satzes (A) im Allgemeinen nicht, weil die Aussage (A) nicht wahr zu sein braucht, wenn die Voraussetzung (V) nicht erfüllt ist, so dass A nicht die Behauptung B sein kann. Selbstverständlich kann man dem Wort „Behauptung“ auch eine weitere zusätzliche, widersprüchliche Bedeutung geben, wie es in dem Artikel Behauptung versucht wird, was ich aber wegen der Sinnlosigkeit und der Gefährlichkeit des Versuches verachte. Desweiteren stört es mich, dass man im englischen Sprachraum hier eine vernünftige Lösung gefunden hat, während im deutschen Sprachraum die „Experten“ immernoch herumeiern. --83.129.168.113 19:53, 3. Apr 2005 (CEST)

Die Namensgebung leitet sich ja vom Beweisschema ab: erst wenn ich zeigen kann, dass aus den Voraussetzungen die Behauptung folgt habe ich den Satz bewiesen, bis dahin ist es eine Vermutung. Eine Satz wäre also ein Postulat über die Existenz eines Beweises für die Vermutung (V => B). --213.54.219.2 20:22, 3. Apr 2005 (CEST)

Was??? :-)) Ein Satz ist keine Vermutung! Ein Satz behauptet seine eigene Wahrheit (also die Wahrheit von (V=>A)); und wer 's nicht glaubt, der kann sich n Beweis machen oder holen. So Schluss jetzt (was mich betrifft)! Ich bin für die Einführung der englischen Sprache als Lehr-/Forschungs-Sprache in den richtigen Wissenschaften... --83.129.168.113 20:37, 3. Apr 2005 (CEST)

Desweiteren sagt ja schon die Formulierung, dass die Behauptung „V==>B“ ist, weil da schließlich steht „dann gilt...“, was ausführlich bedeutet: „Unter der Bedingung, dass die Voraussetzungen erfüllt sind, gilt...“. Es wäre völlig krank, die Aussage B nun irrsinnig Behauptung zu nennen, nur weil irgend ein Humboldt das so will (oder auch nicht will)... --83.129.168.113 16:09, 3. Apr 2005 (CEST)

Nur weil irgendein Schnappskopf das Wort „Satz“ irgendwann einmal völlig verdreht im Sinne von „Theorem“ gebraucht hat, muss man ja nicht auch noch das Wort Behauptung völlig Sinn-verdreht im Sinne von „Schlussfolgerung“ oder „Aussage“ verwenden. Ich verstehe gar nicht, weshalb im Englischen Sprachgebrauch mehr Klarheit herrschen sollte, als im detschen. HABEN WIR NOCH NICHT GENUG ÄRGER DURCH DÜMMLICHE IRREFÜHRUNGEN GEHABT??? K****FIX!!!! --83.129.168.113 16:23, 3. Apr 2005 (CEST)

Übrigens führe ich einfach einmal ganz tolldreist etliche Fehler in diesem Bereich daraufzurück, dass jemand die irrtümlich als Behauptung bezeichnete Aussage eines Satzes hernimmt und ohne Prüfung der Vorraussetzungen verwendet, weil er eben irrtümlich annimmt, es handele sich um die Behauptung (das Wort Aussage ist hier zumindest neutral, während das Wort Schlussfolgerung sogar noch zum Nachdenken anregt (nämlich über die Aussagen, aus denen etwas schlussgefolgert werden kann)). An die zahlreichen Trotteligkeiten, bei denen sogar Menschenleben gefährdet wurden, brauche ich wohl nicht zu erinnern (z. B. kann man ganz offensichtlich eine Schiene nicht befahren, wenn dort noch fette Eisenklötze draufgenagelt sind). --83.129.168.113 16:31, 3. Apr 2005 (CEST)

Ja, es ist trottelig, wenn eine man Schiene befährt, wenn dort fette noch Eisenklötze festgenagelt sind. Aber was hat das mit dem Thema zu tun? — Martin Vogel 鸟 17:01, 3. Apr 2005 (CEST)

Genau das eben! Wozu soll ich sprechen, wenn es keinen Sinn macht? --83.129.168.113 18:22, 3. Apr 2005 (CEST)

Wenn ich Logische Aussage richtig verstehe, dann darf eine Aussage in diesem Sinne keine freien Variablen enthalten. Wenn ein Satz also die Form $\forall x\colon A(x)\Rightarrow B(x)$ hat, dann ist $B(x)$ keine Aussage, da die Variable $x$ nicht gebunden ist. Allerdings verweist Behauptung auf Logischer Ausdruck, welchselbiges ein Redirect auf Logische Aussage ist. Der Verweis auf Implikation ist ebenfalls nicht hilfreich.--Gunther 16:45, 3. Apr 2005 (CEST)

Wo steht da bitte was von freien Variablen??? Z. B. hat die Aussage „$A\vee \neg A$“ eine Variable $A$, die nicht weiter bezeichnet ist, und die auch gar keine Rolle spielt. Es wäre krank, diese Aussage nun nicht Aussage zu nennen. Und wo steht denn da was von Variablen??? Da steht nur was von Sätzen, die Sachverhalte beschreiben, was ich für ein bisschen zu speziell halte, weil es nicht unbedingt ein Sachverhalt sein muss, der in einer Aussage dargestellt wird; eine Aussage kann ganz allgemein eine Formulierung sein, die wahrheitsfähig ist (also wäre „20“ keine Aussage, wohl aber meine herrlich aufgeblasene Konstruktion am Anfang des Absatzes). --83.129.168.113 17:26, 3. Apr 2005 (CEST)

Beispiel: in der Formel $x=2$ ist $x$ nicht gebunden. Deshalb kann man ihr keinen Wahrheitswert zuweisen. Erst wenn $x$ durch einen Quantor gebunden wird, ist das der Fall, z.B. $\forall x\colon x=2$ (falsch) oder $\exists x\colon x=2$ (wahr). In logische Aussage steht aber, dass eine Aussage wahr oder falsch sein muss; deshalb ist $x=2$ keine Aussage. Wie gesagt, ich bin kein Experte, aber so steht das da.

Wenn jetzt der Satz lautet: "2 ist die einzige gerade Primzahl", dann ist das von der Form $\forall x\colon A(x)\Rightarrow B(x)$, wobei $A(x)$ die Formel "$x$ ist eine gerade Primzahl" und $B(x)$ die Formel $x=2$ ist.--Gunther 17:44, 3. Apr 2005 (CEST)

Das ist doch nur eine Frage der Formulierung. "Für alle x mit x<2 (Voraussetzung): x ist nicht prim (Behauptung)". --213.54.219.2 18:04, 3. Apr 2005 (CEST)

Das ist egal: $A(x)$ ist "$x<2$", $B(x)$ ist "$x$ ist nicht prim". Das sind wieder Formeln, die keinen Wahrheitswert haben, solange man $x$ nicht irgendwie bindet. (Ich verstehe die mathematische Aussage dahinter nicht, aber das ist für die diskutierte Frage egal.) Es wäre übrigens schön, wenn Ihr Euch anmelden könntet, dann muss ich nicht immer raten, welche IPs jetzt vermutlich die gleiche Person sind :-) --Gunther 18:13, 3. Apr 2005 (CEST)

Das soll hier ja kein Tanz-Tee sein, nach dem wir uns dann bei Dir treffen und uns mit Vornamen/Spitznamen anreden, sondern nur ein Gedankenaustausch. --83.129.168.113 18:27, 3. Apr 2005 (CEST)

@Gunther: Du möchtest demnach den Quantor mit einbringen. Frage ist nur, wie wir das Formulierungsproblem Aussage/Behauptung lösen. --213.54.219.2 18:46, 3. Apr 2005 (CEST)

Ich finde ja die Definition von Aussage auch etwas bescheiden (aber auch das Theater mit Behauptung/Schlussfolgerung). Vielleicht ließe sich das Problem lösen, indem wir Schlussfolgerung statt Aussage schreiben? --83.129.168.113 19:02, 3. Apr 2005 (CEST)

Bitte oben nachlesen und auf das Argument eingehen. --213.54.219.2 19:13, 3. Apr 2005 (CEST)

Das mit dem Quantor ist mir sowas von egal, so dass ich mich zu dem Teil nicht geäußert habe. Ich habe mich zu Deinem Einwurf „Frage ist nur, wie wir das Formulierungsproblem Aussage/Behauptung lösen.“ geäußert, wobei das irgendwie kein Argument ist. Von welchem Argument redest Du eigentlich? Hilfe!? Oder meinste das mit dem Tanz-Tee??? Mir geht es nur um die Definition von „Behauptung“ und „Aussage“. --83.129.168.113 19:27, 3. Apr 2005 (CEST)

Ich meine den Beitrag von 17:57. --213.54.219.2 19:41, 3. Apr 2005 (CEST)

Bitte Beiträge von 16:09 und 19:53 lesen! --83.129.168.113 20:04, 3. Apr 2005 (CEST)

Nichtsdestotrotz passt da das Wort Behauptung immernoch nicht.--83.129.168.113 18:22, 3. Apr 2005 (CEST)

Ich bin mit der Aufteilung in A und B nicht einverstanden. Ich würde den Satz wie folgt formulieren:

Satz: Sei P die Menge aller Primzahlen, dann gilt $\bigwedge _{x\in \mathbf {P} }x\in 2\cdot \mathbb {N} \Rightarrow x=2$. --83.129.168.113 18:22, 3. Apr 2005 (CEST)

Nicht zuletzt schreibst Du selbst B(x) (in meinem Fall wäre es B(P), so dass nämlich die Aussage B(x)/B(P) eben nur eine Schablone für B(2)/B({x:x ist prim}) darstellt. --83.129.168.113 18:22, 3. Apr 2005 (CEST)

Schließlich definiert die Wikipedia nicht die Mathematik oder die deutsche Sprache (z. B. steht in Logische Aussage nicht, dass man genau einen dieser Wahrheitswerte zuordnen können muss, sondern nur ODER, so dass man der Aussage x=2 einen der beiden Werte zuordnen kann, sobald x denn bekannt ist (aber man ist sich auch bei unbekanntem x sicher, dass man es könnte, wenn x nicht unbekannt wäre). --83.129.168.113 18:22, 3. Apr 2005 (CEST)

Aber eigentlich ist mir dieses alles egal, weil ich es ohnehin leid bin, mit Menschen zu kommunizieren... Ich beobachte vielmehr nur noch gewisse Auswüchse. --83.129.168.113 18:22, 3. Apr 2005 (CEST)

Das Problem der freien Variablen wird ja durch die Voraussetzung gelöst. --213.54.214.35 16:55, 3. Apr 2005 (CEST)

Ja. Die Schlussfolgerung definiert ihre Symbole entweder selbst oder sie übernimmt sie aus den Voraussetzungen. --83.129.168.113 17:26, 3. Apr 2005 (CEST)

Ich habe die grundsätzlich-logische Frage mal auf Portal Diskussion:Mathematik gestellt.--Gunther 16:50, 3. Apr 2005 (CEST)

Solange, bis hier ein kompetenter Logiker auftaucht, sollte der Vergleich von Google für Behauptung und Google für Aussage ausreichend Klarheit schaffen.--Gunther 10:26, 4. Apr 2005 (CEST)

Prädikatenlogik

Ich möchte zu dieser Thematik noch anmerken, dass der Begriff „freie Variablen“ bezüglich der Eigenschaft „Aussage“ wenig Sinn macht, weil allseits wohl zugegeben wird, dass „2 ist prim“ eine Aussage ist, ohne dass das Prädikat „ist prim“ gebunden wurde (ebenso wie in (V=>A) (mit A=„p ist prim“ und V=„p=2“ die Variable „p“ in „A“ selbst nicht gebunden ist (wohl aber im Gesamtzusammenhang)). Dabei ist das Prädikat „ist prim“ also durch den Gesamtzusammenhang gebunden, weil ein Mathematiker nuneinmal eine spezielle Vorstellung von prim-en Zahlen hat, die einen Laien vielleicht überrascht. --213.54.89.122 19:19, 1. Sep 2005 (CEST)

Das Prädikat "ist prim" in "2 ist prim" wird auf die Konstante "2" angewendet; ich verstehe nicht, was du hier mit "gebunden" meinst. In der Formel "p=2 -> p ist prim" wird p implizit allquantifiziert, um zum Satz (ohne freie Variablen) "für alle p: p=2 -> p ist prim" zu kommen. In allen mir bekannten mathematischen Sätzen, in denen anscheinend freie Variablen auftraten, sind diese allquantifiziert gemeint. Hier erschließt sich auch, dass die vielfach angesprochene Darstellung eines Satzes als "Voraussetzung -> Folgerung" unhaltbar ist: Die meisten Sätze benötigen einen Kontext, der die Aussagenteile sinnvoll macht, egal ob das nun ein Allquantor ist oder, wie weiter unten genannt, die Bedingung "p ist eine Primzahl". --SirJective 23:58, 1. Sep 2005 (CEST)

Offenbar ist das Prädikat selbst gemeint. Das Prädikat „ist prim“ ist nicht innerhalb der Aussage gebunden, so dass keiner versteht, weshalb jede Aussage sofort auswertbar sein muss (s. o.)... Es kommt eben auf den Gesamtzusammenhang an... Der mathematische Satz wird übrigens immernoch in dem Artikel in die Form „Wenn..., dann...“ gepresst, was ja wohl einer Folgerung (Implikation, $\Rightarrow$) entspricht (wieso soll das jetzt plötzlich nicht mehr haltbar sein?). Ich verstehe im übrigen ohnehin nicht, weshalb man sich die Mühe mit der Implikation macht, wenn man doch alles, was man überhaupt ausdrücken kann, auch hübsch mit „Negation“ ($\neg$) und „Oder“ ($\vee$) hinbekommt... Aber es wundert einen langsam ja gar nichts mehr (man kann auch „Tisch“ statt „Folgerung“ und „Wand“ statt „Schrank“ sagen)... --213.54.70.85 07:37, 2. Sep 2005 (CEST)

Mir ist gerade noch eingefallen, dass man auch „schmierige Mathematik“ statt „reine Mathematik“ und auch „arsch(x)“ statt „arsh(x)“ sagen kann... --213.54.70.85 07:41, 2. Sep 2005 (CEST)

Ja, die konkrete Bedeutung von "ist prim" haengt vom Kontext ab. In Z ist 2 prim, in Z[sqrt(2)] nicht. Es kommt mir so vor, als waere "is prim" schlicht unvollstaendig und muesste korrekt heissen "ist prim in R", wobei R ein Ring ist. Der Ring ergibt sich aber meist - wie von dir und mir gesagt - aus dem Zusammenhang.

Ich stimme mit dir ueberein, dass die Fixierung auf "Wenn, dann"-Aussagen unverstaendlich ist. Vielleicht ist sie traditionell begruendet? Meine Behauptung der Unhaltbarkeit ging wohl etwas zu weit: Man kann natuerlich jeden Satz als "Wenn, dann"-Aussage formulieren.

Muss ich deine Bemerkungen "man kann auch ... statt ... sagen" verstehen? --SirJective 11:51, 2. Sep 2005 (CEST)

Nein, Du musst mich gar nicht verstehen (sonst auch niemand...)... Ich bin ganz gewaltfrei... Ich werd nur unglücklich, wenn mich jemand verarscht (ob durch komische Lehren, die mir irre vorkommen, oder durch körperliche Abstrafung)... Mit den Ersetzungen da oben wollte ich wohl kunstvoll zum Ausdruck bringen, dass es wenig Sinn macht, die Bedeutung eines Wortes umzudefinieren, obwohl es doch schon ein Wort mit der gewünschten Bedeutung gibt... --213.54.70.85 13:12, 2. Sep 2005 (CEST)

Erinnerung an meine Mathevorlesungen

Ein Satz in der Mathematik besteht aus (in Klammern ein Trivialbeispiel):

1. Voraussetzung (Sei n eine ungerade natürliche Zahl)
2. Behauptung (n ist nicht durch 2 teilbar)
3. Beweis (blabla ... qed)

Genau das sind die fachlichen Begriffe. -- tsor 20:14, 3. Apr 2005 (CEST)

Biste derselbe, der mir das mit der kubischen Gleichung unterjubeln wollte? ;-) --83.129.168.113 20:30, 3. Apr 2005 (CEST)

He, tsor ist tsor!!! Yep ich bin es persönlich ;-) -- tsor 20:48, 3. Apr 2005 (CEST)

Hmm. Dazu fällt mir ein, dass es gar nicht die fachlichen Begriffe gibt (z. B. totale Ordnung/partielle Ordnung wird je nach Author mit Ordnung abgekürzt, so dass von der Mathematik gerade im Bereich der Definitionen gar keine Rede sein kann). Hinzukommt, dass in Tsor's Stellungnahme das Wort Behauptung in aberwitzigem semantischem Zusammenhang verwendet wird. Desweiteren gehört der Beweis nur indirekt zum Satz (nämich dann wenn die Wahrheit des Satzes hinterfragt wird, aber eben nicht zum Satz (das macht auch Sinn, weil eine Behauptung zunächst keinen Beweis benötigt)). --83.129.168.113 20:30, 3. Apr 2005 (CEST)

Tja, das stammt so von meinem Prof, Wolfgang Wendland heisst der. Und dann zitiere ich noch Erich Martensen: Analysis I, BI Hochschultaschenbücher, 1969 Seite 6: "Im Gegensatz zu den Definitionen bedürfen die Behauptungen stets eines Beweises; sie stellen die eigentlichen mathematischen Aussagen dar ..." - Lang lang ists her ;-) -- tsor 20:48, 3. Apr 2005 (CEST)

Das hört sich doch nach mir an... Die Behauptung ist z. B. "Sei n eine ungerade natürliche Zahl. Dann ist n nicht durch 2 teilbar.". Natürlich wird man desöfteren nach einem Beweis für eine Behauptung fragen, aber eine Behauptung ist auch ohne Beweis eine Behauptung (selbiges gilt für einen Satz). Hinzukommt, dass zwei Quellen noch gar nichts aussagen. Desweiteren kann man auch den Sprachgebrauch an die Vernunft anpassen. Aber auch Dir muss ich sagen, dass ich es leid bin, über diese Albernheiten zu reden. --83.129.168.113 20:59, 3. Apr 2005 (CEST)

Na dann bring halt mal 2 Gegenquellen. -- tsor 16:38, 4. Apr 2005 (CEST)

Umkehrsatz

In einem mathematischen Satz gibt es immer eine unscharfe Trennung zwischen dem "Setting" und den eigentlichen Voraussetzungen. Beispiel: Satz: Ist $p$ eine Primzahl, die bei Division durch $4$ den Rest 1 lässt, dann gibt es eine Zahl $a$, so dass $a^{2}+1$ durch $p$ teilbar ist. Als Formel:

$\forall p\colon (p\ \mathrm {prim} )\land (p\equiv 1{\pmod {4}})\Rightarrow \exists a\colon p\mid a^{2}+1.$

Was ist nun die Umkehrung dieses Satzes?

• Ist $p$ eine Zahl, so dass es ein $a$ gibt, für das $p$ ein Teiler von $a^{2}+1$ ist, so ist $p$ eine Primzahl, die bei Division durch 4 den Rest 1 lässt?

Nein, bestimmt nicht. "Richtig" wäre:

• Ist $p$ eine Primzahl, und existiert ein $a$, so dass $a^{2}+1$ durch $p$ teilbar ist, so lässt $p$ bei der Division durch 4 den Rest 1.

Nur an der formalen Version lässt sich nicht ablesen, dass "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} prim" das "Setting" und die Rest-1-Bedingung die "Voraussetzung" ist. Kann man diese Unbestimmtheit irgendwie im Artikel unterbringen?--Gunther 02:11, 4. Apr 2005 (CEST)

Solange Ihr noch hemmungslos ohne weitere Erläuterung (noch nichtmal mit einem Verweis) das Wort „Behauptung“ Sinn-verdreht verwendet, vermag ich Dein Ansinnen mit dem „Setting“ nicht zu verstehen... Desweiteren sehe ich nicht die Relevanz von „Umkehrsätzen“, weil die im Allgemeinen sowieso falsch sind (d. h. nicht für alle Sätze hält der jeweilige Umkehrsatz, was er verspricht). --83.129.169.202 09:24, 4. Apr 2005 (CEST)

Der Begriff "Umkehrsatz" oder "Umkehrung" ist durchaus gängig (auf kleinster Ebene ist das ja einfach die Unterscheidung zwischen logischer Folge und Äquivalenz), und ich kann in meinem obigen Beitrag das Wort "Behauptung" nirgendwo entdecken. Bitte zur Sache beitragen.--Gunther 10:10, 4. Apr 2005 (CEST)

Ach je! Mir gefällt dieser Artikel immer weniger... Eigentlich ist diese starre Trennung eines Theorems in Voraussetzung und Schlussfolgerung/Aussage/„Behauptung“ nicht sonderlich sinnvoll; besonders sinnlos wird es, wenn dann auch noch starr von einer Implikation die Rede ist, so dass man formal gesehen bei Äquivalenz-Beziehung zwei Sätze aufschreiben müsste. Aus diesem Dilemma entstammt dann wohl auch der völlig unübliche und meistens auch noch falsche Umkehrsatz, der eigentlich nur verwirren kann. Daher sollte also ein Satz im mathematischen Sinn/Theorem also vielmehr als eine Behauptung mathematischen Inhalts definiert werden und Schluss ist! Es macht mich ganz traurig, dass sich hier derartig unnütze Lehren ausbreiten... Und das war mein allerallerletztes Wort zu diesem Thema. --83.129.169.202 11:30, 4. Apr 2005 (CEST)

Schlag ein beliebiges Buch über Elementargeometrie auf, suche "Satz des Thales", und Du wirst den entsprechenden Umkehrsatz (oder meinetwegen "Kehrsatz" o.ä.) finden (die dritte Ecke eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse). Wie willst Du das denn sonst nennen?

Und dass ein Satz nicht mathematisch präzise in die genannten Teile zu trennen ist, war ja gerade der Grund für meinen obigen Beitrag.--Gunther 12:28, 4. Apr 2005 (CEST)

Das wäre dann eine Bedingung, unter der der Satz gilt:

Bedingung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\ \mathrm{prim}}

Satz: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall p}

Voraussetzung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\equiv 1\pmod4}

Behauptung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists a\colon\; p\mid a^2+1}

Sprachlich: Sei p Primzahl. Dann gilt für alle p: wenn p äquivalent 1 mod 4, dann gibt es ein a, so dass ...

--213.54.192.109 14:22, 4. Apr 2005 (CEST)

Dass Sätze freie Variable enthalten sollen, finde ich dann doch ungewöhnlich. Sätze sind richtig oder falsch und nicht unter irgendwelchen Bedingungen richtig oder falsch. Außerdem kann man formal den Quantor nicht setzen, wenn die Variable außerhalb auftaucht.--Gunther 15:29, 4. Apr 2005 (CEST)

Zusammengeschrieben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall (p\in\mathbb{P})\colon\left\{ p\equiv 1\pmod4\Rightarrow\exists (a\in\mathbb{N})\colon (p\mid a^2+1) \right\}}

--213.54.192.109 16:09, 4. Apr 2005 (CEST)

• Je nach Formalisierung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall p\in\mathbb P\colon} nur eine Kurzschreibweise für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall p\colon p\in\mathbb P\Rightarrow} .
• Mein Punkt war: es gibt kein deterministisches Verfahren, das unabhängig von der gewählten Formeldarstellung eines Satzes den "richtigen" Kehrsatz liefert. Man muss die interpretatorische Einteilung in "Setting" (oder "Bedingung") und "Voraussetzung" selbst vornehmen.

--Gunther 16:29, 4. Apr 2005 (CEST)

Es obliegt aber dem Aufsteller des Satzes, den Gültigkeitsbereich (Vorbedingung, Einschränkung) zu benennen (durch entsprechende Formulierung, wie etwa Sei a ein A. Sei ferner b ein B. ...). Dein erstes Formelbeispiel würde ich z.B. rückübersetzen als: Sei p eine Primzahl äquivalent 1 mod 4. Dann gilt ohne weiteres: es gibt ein a, so dass.... Das wäre natürlich auch ein Satz, nur die Umkehrung wäre reichlich sinnfrei. Die genaue Formalisierung des Satzbegriffes sollte wohl irgendwo zu finden sein. --213.54.192.252 00:38, 5. Apr 2005 (CEST)

Wenn sich aber niemand die Mühe macht, das immer so genau abzutrennen (vgl. meine ursprüngliche Formulierung, die ich durchaus als natürlich empfinde), dann gibt es nicht den Umkehrsatz.--Gunther 01:15, 5. Apr 2005 (CEST)

Man sollte aber etwas abtrennen, da man für den Quantor üblicherweise einen Geltungsbereich angibt (englisch domain). Alternative Übersetzung wäre: Sei p ein "etwas". Dann folgt aus p ist Primzahl und p ... --213.54.192.252 01:35, 5. Apr 2005 (CEST)

Ist aber nicht wirklich üblich, diese Trennung strikt vorzunehmen. Wie gesagt, meine ursprüngliche Formulierung "Ist p eine Primzahl, die..." kommt mir absolut natürlich vor. Ich habe sie nicht extra verunklart. Man wird etwas am Artikel ändern müssen, die Frage ist, wie genau.--Gunther 02:17, 5. Apr 2005 (CEST)

Vorschlag: Für gewöhnlich trennt man denjenigen Teil der Voraussetzung ab, der sowohl für den Satz selbst als auch für seine Umkehrung als gegeben angenommen werden soll. Man nennt dies auch den Gültigkeitsbereich bzw. die Vorbedingung des Satzes. --213.54.194.72 02:51, 5. Apr 2005 (CEST)

Das "für gewöhnlich" halte ich für falsch, manchmal geht es auch einfach nicht: Satz: "Eine Quadratzahl lässt bei Division durch 4 den Rest 0 oder 1." Niemand würde schreiben: "Es sei n eine ganze Zahl. Ist n eine Quadratzahl, so..."

Zur Wortwahl "Gültigkeitsbereich" bzw. "Vorbedingung": Hast Du Referenzen dafür, dass das "übliche" Begriffe sind? Aber auch dann weiß ich nicht, ob es hilfreich ist, diese Bezeichnungen mit in den Artikel aufzunehmen. Ein aussagekräftiges Beispiel dafür, dass der Umkehrsatz nicht eindeutig bestimmt ist, sagt mehr als tausend Worte.--Gunther 03:23, 5. Apr 2005 (CEST)

Das wäre dann eine (Nicht-)Existenzaussage, da braucht es keine Vorbedingung - es sei denn, man will einen hypothetischen Satz formulieren oder dergleichen. --213.54.192.161 03:46, 5. Apr 2005 (CEST)

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Umkehrsatz, neue Runde!

Hab im Artikel ein Beispiel gegeben (oder genauer: Eine Schablone für ein Beispiel), dass der Umkehrsatz davon abhängt, wie man eine Aussage in Voraussetzung und Behauptung aufteilt. Es sollte nicht schwer sein, die undefinierten Aussagen A, B und C durch konkrete mathematische Aussagen zu ersetzen, wo A und C wahr, und B falsch ist.

Die Abtrennung einer "Vorbedingung" ist im Artikel noch nicht erwähnt. Meiner Ansicht nach gibt die "Vorbedingung" den Kontext an, in dem Voraussetzung und Behauptung zu lesen sind, und ohne den sie unter Umständen sinnlos sind. Im Satz

"Sei K ein Körper mit 2 Elementen. Wenn ein Element a von K invertierbar ist, dann ist a+1 = 0."

ist die "Vorbedingung" "K ist ein Körper mit 2 Elementen" für die Sinnhaftigkeit beider Teile des Satzes notwendig, denn andernfalls sind "invertierbar" und "a+1" nicht definiert. Wenn man den Satz unbedingt ins "Voraussetzung -> Behauptung"-Schema pressen will, könnte er so lauten:

"Ist K ein Körper mit 2 Elementen und a in K invertierbar, dann ist a+1 = 0."

Der "Umkehrsatz"

"Ist a+1 = 0, dann ist K ein Körper mit 2 Elementen und a in K invertierbar."

ist dann aber sinnlos. "Richtiger" wäre folgender "Umkehrsatz":

"Ist K ein Körper mit 2 Elementen und a in K mit a+1 = 0, dann ist a invertierbar."

Das stumpfe Schema "Behauptung -> Voraussetzung" für den Umkehrsatz ließe sich nur retten, indem man den Satz so formuliert:

"Ist K ein Körper mit 2 Elementen und a in K invertierbar, dann ist K ein Körper mit 2 Elementen und a in K mit a+1 = 0."

Die "Vorbedingung" wird mit Voraussetzung und mit Behauptung verknüpft, und hier ergäbe sich der "richtigere" Umkehrsatz. Aber wie gesagt, mMn ist die "Vorbedingung" nur der Kontext. --SirJective 22:42, 1. Sep 2005 (CEST)

Danke, genau das meinte ich oben mit "Setting".--Gunther 22:45, 1. Sep 2005 (CEST)

Hierarchie

Ich dachte immer, ein Korollar wäre ein kleiner Hilfssatz (ohne eigenen Beweis), ein Lemma ein etwas größerer Hilfssatz. Die entsprechenden Wikipedia-Einträge bestätigen das. Dementsprechend müsste Korollar in der Hierarchie vor Lemma aufgeführt werden. --Martin von Gagern 08:19, 21. Jul 2005 (CEST)

Nein, ein Korollar ist eine Aussage, die ohne großen Aufwand aus einem vorhergehenden, meist etwas technischen Satz folgt.--Gunther 09:18, 21. Jul 2005 (CEST)

Überarbeitete Einleitung und Beispiele

Hallo, ich habe gerade die Einleitung etwas gerafft und präzisiert (hoffe ich). Die Einschränkung auf die Prädikatenlogik habe ich entfernt, denn es ist durchaus möglich und sinnvoll, andere Logikkalküle zu verwenden. Der Begriff Proposition kommt aus dem Englischen und besagt einfach Aussage. Ich habe den Begriff aus der Liste entfernt, bis jemand einen guten Grund findet, ihn wieder aufzunehmen. Auch Lemma ist unübersetztes Englisch für Hilfssatz. Ich finde auch, dass noch ein paar kleine Beispiele für Sätze angebracht sind, an denen man einfach sieht, wie Sätze formuliert sind, und welche Konventionen versteckt sind. Ich habe mal ein paar Beispiele aufgelistet. Das kann man noch besser machen.

Hier noch mein Senf zu den Begriffen Behauptung und Aussage. Im Englischen heißen die Bestandteile einer Implikation premise und conclusion, auf Deutsch also Voraussetzung und Folgerung. Leider hat Folgerung im Deutschen auch die Bedeutung des Vorgangs (Schlussfolgerung). Mein Kompromissvorschlag: Folgeaussage. Behauptung heißt im Englischen claim. Im Beweis bezeichnet Behauptung die Aussage, die noch zu beweisen ist. Im Satz selber steht also keine Behauptung.--AlfonsGeser 21:19, 10. Mai 2008 (CEST)

Ein Punkt: Lemma ist nicht unübersetztes Englisch, sondern unübersetztes Griechisch. Da hoffentlich niemand die Artikel unter den Lemmata Abelsches Lemma, Lemma von Bézout, Borel-Cantelli-Lemma, Lemma von Goursat, Henselsches Lemma usw. verschieben möchte, sollte die zusätzliche Erwähnung von Lemma=Hilfssatz doch gerne bleiben (viele berühmte Lemmata haben ihren Namen erhalten, bevor Englisch in der Mathematik dominant wurde).--Hagman 13:23, 11. Mai 2008 (CEST)

Ja, das sehe ich ein. Ich habe den Artikel dementsprechend geändert. Auch den Status von "Theorem" habe ich wieder aufgewertet.--AlfonsGeser 18:39, 11. Mai 2008 (CEST)

Ein Satz ist in der Mathematik eine bewiesene Ausage

Viel mehr kann und braucht man dazu eigentlich nicht zu sagen. Diese langatmige formalistische Definition zur Zeit im Artikel versteht doch ohnehin kein Mensch. Vor einigen Wochen haben ich aber schon einmal eine viel sinnvollere Definition gelesen. Wer hat denn den Unsinn jetzt hier verzapft. --84.59.247.160 12:43, 17. Jul. 2008 (CEST)

Du kannst es besser, wie? Dann zeig mal. Welche "sinnvollere" Definition hast Du denn vor "einigen Wochen gelesen"? --AlfonsGeser 19:03, 21. Jul. 2008 (CEST)

wat isn satz?

Der "Satz vom ausgeschlossenen Dritten", der als Beispiel für einen Satz angeführt ist, ist m.E. kein Satz (der nach Definition beweisbar sein muss), sondern ein (unbeweisbares) Axiom. -- Opa aus Prinzip,14:10, 3.Aug.2011(CEST) (nicht signierter Beitrag von 62.47.136.114 (Diskussion) 14:14, 4. Jun. 2011 (CEST))

man kann doch n widerspruchsbeweis versuchen: 1. annahme: es gibt mehr als 2 elemente in der bildmenge... 2. oops... die mächtigkeit der bildmenge ist 2... – aber beweise konnte ich nie gut... --Heimschützenzentrum (?) 17:14, 4. Jun. 2011 (CEST)

Also wenn man den Satz (nach klassischer Logik) äquivalent als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lnot(A\land\lnot A)} formuliert, und Negation als Abkürzung definiert (d.h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lnot A := A\to\bot} ), dann besteht der Beweis praktisch nur aus einer modus-ponens-Anwendung. Als Axiom erforderlich ist er also nicht. Und selbst in intuitionistischen Logiken, wo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\lor\lnot A} i.A. nicht gilt, kann man dennoch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lnot\lnot(A\lor\lnot A)} beweisen (für beliebige A). --Daniel5Ko 13:38, 10. Jun. 2011 (CEST)

Verlinkung (Sprachen)

Sollte dieser Artikel nicht mit z.B. https://en.wikipedia.org/wiki/Theorem verlinkt sein? Stattdesen wird bei https://en.wikipedia.org/wiki/Theorem auf https://de.wikipedia.org/wiki/Theorem verlinkt, was vielleicht auch richtig ist, aber sicher nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch gerecht wird, z.B. Satz von Stokes wird als Stokes' Theorem übersetzt. (nicht signierter Beitrag von 136.206.123.117 (Diskussion) 15:13, 29. Jun. 2015 (CEST))

Sehe ich auch so, ich habe diesen Artikel und den verbundenen luxemburgischen Artikel zu den anderen gesetzt. Unser Theorem ist damit ohne Interwikilinks, da der Artikel sich aber auf den deutschen Sprachgebrauch bezieht sollte das nicht weiter schlimm sein. --mfb (Diskussion) 18:29, 30. Jun. 2015 (CEST)

Aus den Axiomen bewiesen?

Die meisten Gebiete der Mathematik sind nicht so weit axiomatisiert, dass man aus den Axiomen etwas beweisen könnte. Nehmen wir die Gruppentheorie. Was eine Gruppe ist, wird zwar durch Axiome definiert, die Modelle der von den Gruppenaxiomen aufgespannten Theorie sind die Gruppen. Aber mit einer Gruppe beschäftigt sich ja Gruppentheorie kaum. Vielmehr beschäftigt sie sich mit den Beziehungen zwischen verschiedenen Gruppen, was den Rahmen dieser Theorie sprengt. Um einen Satz wie „Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe G ist ein Teiler der Ordnung von G“ formal beweisen zu können, bräuchte man ein formales System, in dem man mindestens definieren kann, wann eine Gruppe eine Untergruppe einer anderen Gruppe ist, und was die Ordnung einer Gruppe ist – also erkleckliche Teile von Mengenlehre und Zahlentheorie. Hat das schon mal jemand so durchgezogen? Falls ja, allenfalls ein Logiker, aber sicher kein Algebraiker. Die verlassen sich nämlich darauf, dass sie nach der Definition von „Gruppe“ damit frei hantieren können, indem sie Mengen, Teilmengen, Abbildungen, Kongruenzrelationen und Quotientenstrukturen frei definieren, ohne jedesmal die formale Sprache und das Axiomensystem erweitern zu müssen. Deswegen war die frühere Intro besser, wo von Definitionen statt von Axiomen als Ausgangspunkt die Rede war. Meinungen? --Lantani (Diskussion) 18:24, 31. Jul. 2018 (CEST)

Ich werde das Thema im Artikel Beweis (Mathematik) noch einmal aufbringen, wo es hingehört. Hier ist nur wichtig, dass ein Satz einen Beweis haben muss, nicht aber, wie der genau funktioniert. Das Wort „Definition“ schreibe ich dazu: es gibt keine Sätze ohne Definitionen. --Lantani (Diskussion) 08:46, 14. Aug. 2018 (CEST)

Mengenlehre wird idR. auch genutzt, basiert aber auch auf Axiomen. Und ja, das haben Mathematiker gemacht. --mfb (Diskussion) 21:59, 14. Aug. 2018 (CEST)

Ich würde die Diskussion lieber in Diskussion:Beweis (Mathematik) fortsetzen, weil meiner Ansicht nach dort etwas geändert werden sollte und nicht hier. Den ersten und dritten Beitrag hier habe ich dorthin kopiert. --Lantani (Diskussion) 15:38, 18. Aug. 2018 (CEST)