Diskussion:Spezielle lineare Gruppe

So wie ich ihn verstehe, ist dieser Satz falsch: A in SL_n(F), x Skalar, dann ist det(xA) = x^n det A = x^n, also im Fall n = 2, F = R positiv. Man kann natuerlich einen Schnitt $F^{\times }\to GL_{n}(F)$ waehlen, also die Skalare z.B. links oben einbetten.--Gunther 23:29, 25. Feb 2005 (CET)

Hmm... Die Frage ist also, ob tatsächlich GL_n(F) / SL_n(F) isomorph zu F* ist. Wenn das gilt, dann ist doch die andere Aussage eine triviale Folgerung davon, oder?

Nach deiner Argumentation gilt diese andere Aussage aber nicht. Also sollte bereits die genannte Isomorphie nicht gelten.

Aber ich bin Laie auf dem Gebiet, kann daher nicht mit einer "ähnlichen, aber richtigen" Aussage aufwarten. :) --SirJective 00:18, 26. Feb 2005 (CET)

Die Matrix mit x in der linken oberen Ecke, Einsen auf der restlichen Diagonale und Nullen sonst hat Determinante x, also ist GL_n(F) -> F^\times surjektiv. Das Problem ist, dass der Skalar x aber kanonisch eher der Matrix mit x ueberall auf der Diagonale entspricht, und die hat eben Determinante x^n, und das ist nicht mehr surjektiv. Aehnlich, aber richtig waere: Man kann jede Matrix aus SL_n(F) mit einer passend gewaehlten Matrix aus GL_n(F) multiplizieren, um eine Matrix mit beliebiger Determinante zu erhalten. Dann kann man nur gleich sagen: GL_n(F) -> F^\times ist surjektiv, und das steht implizit schon da. Deshalb hatte ich den Satz geloescht.--Gunther 00:54, 26. Feb 2005 (CET)

Denkfehler meinerseits. Es gilt

$A\equiv B\mod SL_{n}\Leftrightarrow \det A=\det B$

also ist die Abbildung $GL_{n}/SL_{n}->F^{*}$ injektiv. Die Multiplikation mit Skalaren liefert aber nur n-te Potenzen. Man muss stattdessen z.B., wie du schreibst, mit einer Diagonalmatrix multiplizieren, die auf der ganzen Diagonalen außer an einer Stelle gleich 1 ist.

Woher kommt eigentlich die unterschiedliche Schreibweise $R^{*}$ und $R^{\times }$ für die Einheitengruppe eines Ringes? --SirJective 13:32, 26. Feb 2005 (CET)

Keine Ahnung, woher die Schreibweise kommt. Ich multipliziere halt mit Kreuzen und Du mit Sternen ;-) Passt für meinen Geschmack besser zu kartesischen Produkten. Irgendwann hatte ich auch schonmal $R^{*}=R\setminus \{0\}$ gesehen, aber das kommt so selten vor, dass es keine eigene Bezeichnung verdient.--Gunther 19:08, 26. Feb 2005 (CET)

Sei $A\in SL(n,\mathbb {K} )$ und sei $x\in \mathbb {K}$ ein Skalar. Seien $a_{i},i=1\dots n$ die Spalten von A. Es gilt:

$\det(x\cdot A)=\det(x\cdot a_{1},\dots ,x\cdot a_{n})$.

Aus einer Eigenschaft der Determinante (alternierende Multilinearform) lässt sich Folgendes schließen:

$\det(x\cdot a_{1},\dots ,x\cdot a_{n})=x^{n}\cdot \det(a_{1},\dots ,a_{n})$

Da nun die Matrix aus der speziellen linearen Gruppe kommt, gilt:

$\det(x\cdot A)=\det(x\cdot a_{1},\dots ,x\cdot a_{n})=x^{n}\cdot \det(a_{1},\dots ,a_{n})=x^{n}\cdot \det(A)=x^{n}\cdot 1=x^{n}$

--Nimruth (Diskussion) 17:11, 1. Sep. 2015 (CEST)

Unimodulare Gruppe

Da die Spezielle lineare Gruppe ein Spezialfall der unter unimodulare Gruppe behandelten Gruppe ist, schlage ich vor den Einleitungssatz zu ändern. Vorschlag:

Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung von Symmetrien. Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper $\mathbb {K}$ (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring), $SL(n,\mathbb {K} )$, ist die Gruppe aller $n\times n$ Matrizen mit Koeffizienten aus $\mathbb {K}$, deren Determinante 1 beträgt, die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation. Sie ist eine unimodulare Gruppe und wird auch als die unimodulare Gruppe bezeichnet. Daher werden ihre Elemente auch unimodulare Matrizen genannt.

SU(n,K)

Was soll SU(n,K) für einen beliebigen Körper K sein? Ich kenne die spezielle unitäre Gruppe nur für den Körper der komplexen Zahlen.--Café Bene (Diskussion) 00:37, 20. Dez. 2013 (CET)