Diskussion:Unendlichkeitsaxiom

Einige Anregungen: Das Unendlichkeitsaxiom gehört zu ZF und dann natürlich auch zu ZFC. Induktive Menge ist m.E. ein Terminus von ZF, gehört also nicht ganz oben rein, sondern zur Definition. Bei der Darstellung des N-Modells gibt es schon schöner aussehende Formeln, im Artikel "Ordinalzahl" oder "natürliche Zahl"; sie könnten hierher kopiert werden. Ein guter Artikel müsste die Ableitung der Peano-Axiome bringen, nicht nur der Induktion, weil es sich hier um eine Definition von N handelt. Ich würde auch das Symbol N vor dem Omega vorziehen. Die Definition mit dem Durchschnitt gebraucht eine Klassenlogik, denn in der ZF-Mengenlehre auf prädikatenlogischer Basis ist die Klasse der Induktiven Mengen eigentlich nicht existent. Das sollte vermerkt werden. Ich bin für einen klassenlogischen Rahmen, weil hier alles super gut formulierbar ist. Also: Noch etwas um- und ausbauen, dann gibt es einen guten Artikel. Historisches werde ich dann einbringen.--Wilfried Neumaier 11:11, 30. Jun. 2011 (CEST)

Wie in der Diskussion zu ZFC angeregt, schlage ich vor den bestehenden Artikel nach Implemnetierung dieses Artikels, den Artikel induktive Menge auf ihn weiterzuleiten. Daher das zweite Lemme in der Einleitung. Die induktiven Mengen haben in der Mengenlehre eingentlich nur den Zweck das U.Axiom formulierbar zu machen. Auf der anderen Seite behauptet ja auch das Axiom nur die Existenz solcher Mengen. Es ergäben sich ziemliche Redundanzen bei zwei Artikeln.

Brauchen wir wirklich hier die Herleitung der Peano Axiome? Sind die nicht in selbigen Artikel besser aufgehoben (aber Du hast Recht, man sollte das verlinken).

Das mit dem Durchschnitt habe ich geändert. So kommt man ohne Klassen aus (ich bin eher gegen einen klassenlogischen Rahmen - is halt nicht der "Standard-Weg"). --SnowIsWhite 12:51, 30. Jun. 2011 (CEST)

Ich stimme zu zur geplanten Weiterleitung. Im Artikel "induktive Menge" wird schon von der Beweisbarkeit der Peano-Axiome geredet. Daher wäre der Beweis hier schon angebracht. Ich fände es unangemessen, alle Spezialwege, die zu den Peano-Axiomen führen in den Sub-Artikel "Peano-Axiome" im Artikel "natürliche Zahl" zu geben. Solche Spezialsachen gehören m.E. in Spezialartikel. Zu groß wird der Artikel hier deswegen nicht. Hier aber wäre er abgeschlossen. Man kann den Beweis der Peano-Axiome aber irgendwann nachtragen.--Wilfried Neumaier 13:46, 30. Jun. 2011 (CEST)

Ich wusste (bis gerade eben) gar nicht, daß es keinen "richtigen" Peano-Axiome Artikel gibt. Vielleicht, wäre es mal an der Zeit den aus natürliche Zahl auszulagern. Das aber eher langfristig...--SnowIsWhite 15:26, 30. Jun. 2011 (CEST)

P.S. Habe auf meiner Benutzerseite mal eine Übersicht erstellt, was für die Spezialartikel zu tun wäre.--SnowIsWhite 15:47, 30. Jun. 2011 (CEST)

Das Projekt ist gut. Zu Peano: Hier ist alles noch in den Kinderschuhen. Auch Diskussion:Peano-Arithmetik gehört hierher.--Wilfried Neumaier 16:07, 30. Jun. 2011 (CEST)

AHA! Es gibt also doch einen Peano Artikel (Peano-Arithmetik). Nur warum leitet dann Peano-Axiome nicht auf ihn weiter? Aber naja, das soll (erstmal) nicht unser Problem sein.--SnowIsWhite 16:18, 30. Jun. 2011 (CEST)

Das kommt daher, dass der Artikel-Initiator nicht an die übliche Peano-Arithmetik dachte, sondern an die Peano-Arithmetik erster Stufe. Dieser Entartung der Arithmetik Peanos sollte der Artikel gelten. Auch er gehört mit eben dieser Intention als Unterabschnitt in einen eigentlichen Artikel "Peano-Axiome".--Wilfried Neumaier 16:35, 30. Jun. 2011 (CEST)

Im Entwurf ist die induktive Menge der modernen ZF-Version explizit definiert. ZF-Original hat einen anderen Nachfolger-Operator. Es gibt noch andere Formen der induktiven Menge, zum Beispiel ziemlich unten im Artikel "natürliche Zahl", wo als Obermenge R benützt wird und die x+1 mit der Addition aus R als Nachfolger. Daher wäre es taktisch klug, induktive Mengen schon so zu definieren, dass man alle Fälle hierher verlinken kann. Du hast ja auch in der Kopfzeile alle Mengen von irgendwelchen Unendlichkeitsaxiomen als induktiv deklariert. Das müsste dann auch im Artikel umgesetzt werden. Wenn man das macht, ist dann auch die Ableitung der Peano-Axiome ein Kinderspiel. Man könnte aber exemplarisch mit ZF beginnen und dann verallgemeinern. Da Du ja gesagt hast man könne Verbesserungen direkt ins Konzept einbringen, dann mache ich das einmal.--Wilfried Neumaier 19:13, 30. Jun. 2011 (CEST) Ich hoffe, Du kannst meinem ersten Versuch zustimmen.--Wilfried Neumaier 19:44, 30. Jun. 2011 (CEST)

Ja, alles bestens. Hab nur einen Tippfehler ergänzt - und die Navi Leiste mit reingenommen.--SnowIsWhite 20:38, 30. Jun. 2011 (CEST)

Ich werde nun bei mir privat das allgemeine Unendlichkeitsaxiom formulieren und es erst, wenn alles soweit fertig ist, hier einbauen. Das ergibt dann einen größeren Umbau, weil das allgemeine UA dann an den Anfang kommt und die speziellen Fälle dann gekürzt werden können. Falls Du etwas korrigierst oder hinzfügst zum Bisherigen, müsste man das dann später nochmals nachtragen in der neuen Version. Es ist daher vielleicht zweckmäßig, vorläufig nichts zu korrigieren und damit abzuwarten. Es kann sein, dass ich heute noch dazu komme.--Wilfried Neumaier 07:26, 1. Jul. 2011 (CEST) Leider komme ich doch nicht so schnell dazu. Deshalb schlage ich vor, den Artikel in der jetzigen Form in Wiki einzubauen und zu verlinken. Er hat durchaus schon eine gute Form. Verbessere zuvor ruhig eventuelle Fehler. Gruß bis später.--Wilfried Neumaier 08:41, 1. Jul. 2011 (CEST)

Jo, bin Deiner Meinung mit dem Einbauen. Aber findest Du nicht, daß wir den erläuternden Teil (ich meine das ab "Eine induktive Menge enthält...") durch eine neue Überschrift abtrennen sollten? Generell finde ich, das in allen Axiom-Artikeln der formale Teil und die Interpretation der Übersicht halber besser separat stehen.--SnowIsWhite 13:24, 1. Jul. 2011 (CEST)

Hab die Passage mit "den anderen Elementen" (außerhalb von $\omega$) entfernt. Könnte mir vorstellen, daß das eher verwirrt, was diese Elemente sein sollen. Wenn Du drauf bestehst, nehm ichs aber wieder rein.--SnowIsWhite 13:40, 1. Jul. 2011 (CEST)

Ist OK, ich bestehe nicht drauf, würde aber dann im Satz nur das Wort "mindestens" hinzufügen, dann ist schon klar, dass man die kleinste Menge wählen muss. Also stell den Artikel mal als Ersatz für "Induktive Menge" rein. Die kleine Schlusspassage, die dann wegfällt, ersetze ich dann durch eine ordentliche Passage über das Unendlichkeitsaxiom bei Ordinalzahlen. Ist schon bei mir skizziert (nicht im Netz). Aber ich feile noch etwas daran. Die Zwischenüberschriften vorläufig weglassen, der verbesserte Artikel wird eine Neu-Gliederung bekommen. Dann unterhalten wir uns neu darüber. Eine Trennung Axiom/Interpretation wäre schon recht bei einem Axiomatischen System, das viele Interpretationsmöglichkeiten hat. Das ist hier nicht der Fall, weil es um eine Definition geht und schlicht um deren erste Auswertung, eine einfache Rechnung, die doch jeder, der überhaupt den Artikel liest, sofort versteht. --Wilfried Neumaier 15:03, 1. Jul. 2011 (CEST) Die neueste Änderung mit Definition von N ist unpräzise! I ist nicht definiert, z induktiv ist nicht definiert. Beides steht nur lose im Raum.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 15:27, 7. Aug. 2013 (CEST)