Diskussion:Unmöglichkeitssatz von Balinski und Young

Didaktische Aufbereitung

Interessanter Artikel, schön dass man so etwas hier findet! Wir fanden ihn teils etwas schwer nachzuvollziehen und haben darum versucht, ihn didaktisch etwas aufzubereiten. Insbesondere:

• Bei der Populations-Monotonie p's zu q's berichtigt.
• Vektorschreibweise weitgehend vermieden, weil sie nicht zum Verständnis beizutragen scheint (man müsste sonst konsequenterweise auch den Vektorraum angeben usw.).
• Einige Bezeichnungen entfernt (z.B. "Z"), die nicht weiter verwendet werden.
• Hier und da Erläuterungen eingefügt an Stellen, an denen wir selber nachdenken mussten.

Eigentlich haben wir dann insgesamt ziemlich viel umgeschrieben, weil es bei solchen Beweisen schwierig ist, nur einzelne Formulierungen zu ändern. Wir hoffen, das findet Anklang, sonst ändert das gern wieder zurück. :-) --Halber Mensch 22:34, 3. Feb. 2007 (CET)

Beachtenswert, dass ein halber Mensch im Plural steht. ;)--Hagman 18:36, 24. Mär. 2007 (CET)

Klar, erst zwei Hälften machen ein Ganzes :-) Schön, dass der Artikel noch weitere Klärung erfährt! --Halber Mensch 21:52, 24. Mär. 2007 (CET)

Fehler?

Der Artikel behauptet im Eingangssatz Nach dem Unmöglichkeitssatz von Balinski und Young kann kein Sitzzuteilungsverfahren gleichzeitig die Quotenbedingung erfüllen und vom Wählerzuwachsparadoxon frei sein. Ich bin kein Experte, aber nachdem ich den Artikel Sitzzuteilungsverfahren gelesen habe, komme ich zum Schluß, daß bei variabler Größe des Gremiums (automatische Verfahren) die alle selbstabbildenden Divisorverfahren die Quotenbedingung erfüllen, und die Monotoniebedingungen gelten ja sowieso und schließen das Wählerzuwachsparadoxon aus. Mache ich hier einen Denkfehler, oder gilt der Unmöglichkeitssatz wirklich nur für fixe Sitzanzahl? 77.5.16.16 00:56, 18. Mär. 2008 (CET)

Da die mathematische Formulierung N als Konstante einführt, ist strenggenommen dort kein Fehler. Auf den ersten Blick scheint es mir aber auch offensichtlich, dass die automatischen Verfahren beide Bedingungen erfüllen.

Ich finde es problematisch, dass der Artikel die Voraussetzungen, die in dem Theorem an ein Sitzzuteilungsverfahren gestellt werden, nicht deutlicher (bzw. innerhalb der Einleitung: überhaupt) benennt. Insbesondere ist die völlig uneingeschränkte Formulierung in der Einleitung "kein Sitzzuteilungsverfahren" so natürlich falsch. Ich würd's zur Sicherheit vorher noch mal genau durchrechnen, aber es spricht alles dafür, dass die Einleitung korrigiert und im Rest des Artikels die an eine Sitzzuteilung gemachten Vorbedingungen klar herausgearbeitet werden müssten. Habe auch schon mal im Artikel Sitzzuteilungsverfahren in der Einleitung ergänzt, dass sämtliche dort besprochenen Problematiken auch nur dann auftreten, wenn jeder Sitz immer ein Stimmgewicht von 1 haben soll. Bei ungleichen und/oder bruchzahligen Stimmgewichten für Sitze würden viele bzw. alle Probleme wegfallen. — Markus Prokott (Diskussion) 02:27, 7. Jun. 2012 (CEST)

Habe im Artikel Mal minimal-invasiv das Nötigste verbessert. — Markus Prokott (Diskussion) 03:10, 7. Jun. 2012 (CEST)

Bzgl. des Einspruchs möchte hiermit folgendes Beispiel als Denkanstoss vorlegen:

Wahlverfahren: automatisches Sainte-Laguë (bekanntlich ein selbstabbildendes Divisorverfahren) mit Wahlzahl 19

Parteien	A	B	C	D	E	gesamt
Stimmzahlen	60	10	10	10	10	100
Sitzzuteilung	3	1	1	1	1	7
Idealanspruch	4,2	0,7	0,7	0,7	0,7	7

Wählerzuwachsparadoxon natürlich unmöglich, aber Quotenbedingung verfehlt. --Arno Nymus (Diskussion) 23:13, 7. Jun. 2012 (CEST)

Hab's ja geahnt, dass es zu schön war um wahr zu sein. Die Kritik an den Artikeln bleibt trotzdem im Prinzip bestehen. Scheint mir aber jedenfalls so, dass die Wahlzahlverfahren ein großes Potenzial haben, was die Erfüllung der Monotonie- und Quotenbedingung angeht. Schließlich wird wenig darüber gesagt, wie und wann die Wahlzahl festgelegt werden muss. Ich könnte mir vorstellen, dass man eine Wahlzahl immer so wählen kann, dass die Q-Bedingung erfüllt ist.

Wenn man z.B. eine Basissitzzahl (etwa die 598 im dt. BT) wählt und dann die sitzzuteilungsberechtigen Gesamtstimmen durch die Basissitzzahl teilt und dann den gerundeten Wert davon als Wahlzahl nimmt, sieht es ziemlich gut aus. In deinem Beispiel könnte man in einem 2-Schritt-Verfahren zunächst die Gesamtsitzzahl aus deiner Tabelle als Basiszahl nehmen (also die 7), was dann 100/7≈14 gäbe (Standardrundung). Dadurch würde dann im 2. Schritt (dasselbe wie im 1. Schritt, aber mit der neuen Wahlzahl) Partei A einen Sitz mehr bekommen (dann 8 Sitze insgesamt), was dann die Q-Bed. erfüllen würde. Der Witz ist hier, dass die ungerundete Wahlzahl gerade die Zahl ist, mit der man den Idealanspruch mit derselben Formel wie bei der gerundeten Wahlzahl berechnen kann, nämlich: Stimmzahl der Partei durch ungerundete Wahlzahl = Idealanspruch. Der Unterschied in den beiden Rechnungen besteht also nur in der Abweichung der beiden Wahlzahlen durch die Rundung. Und je größer die Ganzzahlteil der Wahlzahl ist, desto weniger fällt die Rundung ins Gewicht. — Markus Prokott (Diskussion) 07:31, 8. Jun. 2012 (CEST)

Ich könnte mir vorstellen, dass man eine Wahlzahl immer so wählen kann, dass die Q-Bedingung erfüllt ist.

Aufgrund der möglichen Triviallösungen ist das auf jeden Fall korrekt: Vergibt man nur einen oder gar keinen Sitz ist die Quotenbedingung auf jeden Fall erfüllt; ebenso wenn man ebensoviele Sitze verteilt wie Stimmen abgegeben wurden.

Entsprechend könnte man also durchaus ein iteratives System nehmen, welches mit einer initialen Sitzzahl (z.B. 598) startet und die Sitzzahl so lange erhöht bis die Quotenbedingung erfüllt ist; theoretisch kann die Sitzzahl dabei sehr groß werden. Praktisch gesehen ist die Quotenbedingung aber eher ein Problem bei Wahlen mit wenigen Sitzen, bzw. genauer gesagt bei Wahlen mit einem niedrigen Sitze/Parteien-Quotienten, insbesondere wenn mehrere Parteien einen Anspruch auf knapp einen Sitz haben. Ich würde davon ausgehen, dass die Quotenbedingung bei einem Parlament der Größe des Bundestages bei reinem Verhältniswahlrecht mit Sainte-Laguë für gewöhnlich nicht verletzt wird. In der Realität wird die Quotenbedingung natürlich durch Überhangmandate (und in geringerem Maße die Sperrklausel) dann doch sehr deutlich verletzt (und im neuen Wahlrecht auch durch die Erstzuteilung an die Länder und durch die Restsitzverwertung). --Arno Nymus (Diskussion) 13:33, 8. Jun. 2012 (CEST)

Ich dachte schon an was anderes als nur die Triviallösungen. So wie ich das sehe, wäre doch das Verfahren, bei dem man den Parteien einfach ihren Standard-gerundeten Idealwert als Sitze zuweist, ein Verfahren, was sowohl die Quote als auch die Monotonie erfüllt, wobei dann halt das N variabel wäre. Das entspräche einem automatischen Verfahren mit einer gebrochenen Wahlzahl, und zwar gerade der Zahl, die zu den Idealquoten führt.

Zudem wäre das N in der Praxis gar nicht sooo variabel. Wäre die Anzahl der Parteien P und für eine beliebige Rundungsregel die max. Abweichung der Parteien von der Idealquote nach oben/unten e^+/− (also z.B. e^+/−=0,5 bei Standard-Rundung, e⁺=1, e⁻=0 bei Aufrundung), und wäre die initiale Sitzzahl V und die resultierende R, dann wäre die Abweichung von R nach oben/unten jeweils <= P*e^+/−. Und dieses P*e^+/− wäre auch stets <= c(V/a)*e^+/−. Wobei a die kleinste Quote sein müsste, mit der eine Partei die max. Abweichung e^+/− haben könnte, c wäre einfach die Aufrunde-Funktion (engl. "ceil"). Das wäre a=5,5 für Standard-Rundung mit 5%-Hürde, a=0,5 ohne Hürde, a=0 bei Aufrundung (ohne Hürde), a=1 bei Abrundung (ohne Hürde). Bei Standard-Rundung wäre also im Bundestag schon ohne Hürde |R−V| <= 0,5*P <= (598/0,5)*0,5 = 598. Hierbei wäre R = 0 oder 1196 allerdings schon ein wirklich unwahrscheinlicher Fall (man bräuchte 1196 Parteien mit einem Idealanspruch von fast 0,5 (R=0) oder genau 0,5 (R=1196) Sitzen). Mit Hürde wäre c(V/a)*e^+/− nur noch 54,5, also effektiv 54. Und im Normalfall könnte man in einem 2. Schritt V noch mal zu einem V' variieren, so dass schließlich das resultierende R' noch näher an V wäre. Gerade in Deutschland sollte ein variables N doch kein Problem sein.

Was aber wirklich ein Problem ist, ist, dass ich an verschiedenen Stellen in der WP (und auch anderswo) immer wieder lese, kein Sitzzuteilungsverfahren könne gleichzeitig quotentreu und monoton sein. Das ist doch völlig irreführend. Vor allem wenn es in Argumentationen benutzt wird, in denen Zuteilungsverfahren mit variablem N genauso zulässig wären wie andere, denn dann ist die Argumentation einfach nur noch falsch. Ich finde, dass sollte man in den entsprechenden Artikeln korrigieren. Siehe z.B. Wählerzuwachsparadoxon, letzter Absatz. Hier wird interessanterweise von Fehlern geredet. Ich denke, die Verletzung der Quote oder der Monotonie würden die meisten Menschen wohl auch als Fehler bezeichnen. Aber ist ein variables N eigentlich ein Fehler oder schlicht ein Phänomen? — Markus Prokott (Diskussion) 09:53, 9. Jun. 2012 (CEST)

So wie ich das sehe, wäre doch das Verfahren, bei dem man den Parteien einfach ihren Standard-gerundeten Idealwert als Sitze zuweist

Es ist ja nicht ganz so einfach, wie diese Formulierung nahelegt. Der Idealwert hängt ja von der tatsächlich verteilten Sitzzahl ab. Somit sind die tatsächlichen Idealwerte der Parteien erst nach der Verteilung der Sitze bekannt. Das sieht man auch an obigem Beispiel. Zur Klarheit: Wie wäre die Sitzverteilung für obiges Beispiel mit dem vorgeschlagenen Verfahren (bei Standardsitzzahl 5)? --Arno Nymus (Diskussion) 18:00, 9. Jun. 2012 (CEST)

Bei V=5 wäre die Sitzverteilung: 3 - 1 - 1 - 1 - 1. In dem Beispiel könnte man die reale Sitzzahl von R=7 auch nicht noch näher an die virtuelle Sitzzahl von 5 ranbringen. Die Wahlzahl (und somit die Idealansprüche) ist natürlich auch schon bekannt, sobald die Gesamtstimmzahl und V bekannt sind – nämlich Z=K/N=100/5=20 – und somit vor Verteilung der Sitze. Die Idealwerte sind: 3 - 0,5 - 0,5 - 0,5 - 0,5. Die max. Abweichung vom Ideal ist hier 0,5, womit wieder die Quote erfüllt wäre.

Ehrlich gesagt kann ich aber auch nicht so recht glauben, dass das Monotonie-Kriterium immer erfüllt ist, obwohl ich es oben behauptet habe und zuhause auch formal bewiesen habe. Aber ich kann einfach nicht glauben, dass das bisher noch keinem (außer natürlich dem, der den Abschnitt hier angefangen hat *lob*) aufgefallen ist. — Markus Prokott (Diskussion) 02:37, 10. Jun. 2012 (CEST)

Aber mit 3 - 0,5 - 0,5 - 0,5 - 0,5 wäre die Quotenbedingung jedenfalls verletzt. Denn für die Quotenbedingung muss natürlich die Hare-Quote bzgl. der tatsächlich vergebenen Sitzzahl herangezogen werden, d.h. der Idealanspruch (insbesondere ist es für die Quotenbedingung also nicht wichtig, welche Gesamtsitzzahl angestrebt wurde, sondern wie sie am Ende tatsächlich ist). Würde man stattdessen den Zuteilungsdivisor als Ausgangspunkt zur Berechnung der Idealansprüche verwenden, wäre Sainte-Laguë ja immer quotentreu; allerdings wäre diese "Quotenbedingung" recht nichtssagend. --Arno Nymus (Diskussion) 10:59, 10. Jun. 2012 (CEST)

Oh ja, wie ärgerlich. Da lag also mein Denkfehler. Allerdings ergibt sich mit einer Sitzzahl von 598 ein Ergebnis, das die Quote wieder erfüllt (bezüglich einer endgültigen Sitzzahl von 599). Wäre also trotzdem interessant (also in einer politischen Diskussion) zu überlegen, ob dieses Verfahren, das ja jedenfalls die Monotonie einhält, vielleicht besser wäre als irendwelche Quotenverfahren. Eine viel bessere Lösung ist mir allerdings auch noch eingefallen: Man nehme einfach ein gewisses Repertoire an Verfahren jeweils mit verschiedenen Rundungs- bzw. Restsitzeregeln und bestimme nach jeder Wahl dasjenige, das Quote, Monotonie und Sitzzahl am besten beachtet. Die drei Kriterien bräuchten dann wohl noch eine gewisse Rangfolge, oder man schreibt eins (z.B. Monotonie) sogar strikt fest.

Trotzdem bleibt das Problem, dass der Satz im Artikel für flexible Sitz-Stimmgewichte nicht gilt und über Systeme mit flexiblem N gar keine Aussage macht. Genau gesagt funktioniert der Beweis ohne konstantes N gar nicht. — Markus Prokott (Diskussion) 01:49, 11. Jun. 2012 (CEST)

Bzgl. des Artikels sehe ich vorerst auch keine Perspektive, die Einschränkung der festen Gesamtsitzzahl aus der Einleitung zu entfernen. Auch wenn die automatischen selbstabbildenen Divisorverfahren keine Beispiele sind, welche diese Einschränkung notwendig machen, ist durch oben geschilderte Iteration ein (zugegebenermaßen pathologisches) Fallbeispiel gegeben.

Bzgl. der "viel besseren Lösung". Da sehe ich gleich mehrere Probleme, aber am Wichtigsten:

• Die Monotonie ist eine Eigenschaft, welche per definitionem etwas über den Übergang verschiedener Wahlergebnisse ineinander aussagt. Verwendet man nun aber für verschiedene Wahlergebnisse unterschiedliche Wahlverfahren, wird damit diese Eigenschaft der Monotonie offensichtlich beeinträchtigt. Insbesondere ist somit die Wahl eines Wahlverfahrens in Abhängigkeit des konkreten Ergebnisses auf Basis dieser Monotonie (welches also bei Ergebnissen "rund um" das tatsächliche Ergebnis möglichst monoton ist), eher nichtssagend, wenn tatsächlich bei diesen Ergebnissen um das tatsächliche Ergebnis herum ein anderes Wahlverfahren Verwendung finden könnte. Die Monotonie ist eine Bedingung zur Beurteilung eines Wahlverfahrens im Ganzen (d.h. verschiedener Wahlergebnisse des Systems zueinander), die Quotenbedingung hingegen eine Bedingung zur Beurteilung eines singulären Wahlergebnisses.

Tatsächlich sind die gängigen Divisorverfahren ja auch jeweils diejenigen, welche mit der Quotenbedingung zusammenhängende Eigenschaften im Mittel am besten erfüllen (z.B. geringste Streuung der Erfolgswerte; siehe hier) --Arno Nymus (Diskussion) 01:26, 13. Jun. 2012 (CEST)

Ich weiß genau was du meinst. Ist mir auch rasch aufgefallen, das so eine lose oder-Verknüpfung zwischen einem Haufen Verfahren gerade die monotonen Eigenschaften der monotonen Verfahren stört. Man kann es sich gut vorstellen, wenn so ein monotones Verfahren gerade so am Vor-sich-hin-Wachsen ist und von einem Wahlergibnis zum einem nächsthöheren weiterwachsen will, dabei aber die Quote an irgendeiner Stelle nach oben durchbricht, dann wird es unvermittelt von einem Quotenverfahren oder ähnlichem abgelöst und zurechtgestutzt, wobei ohne weitere Bedingungen die Wahrscheinlichkeit groß ist, dass hierbei trotz allgemein positivem Stimmenwachstum ein Rückschritt irgendwo innerhalb der Sitzverteilung stattfindet.

Darum bastel ich auch gerade ein einem kombinierten Verfahren, bei dem zwei Verfahren nicht einfach nebeneinanderstehen, sondern aufeinander abgestimmt sind und ein nahtloser Monotonie- und Quoten-erhaltender ständiger Wechsel zwischen beiden Verfahren stattfindet. Allerdings muss ich es erstmal schaffen, bei einem Parlament wie dem Bundestag sinnvolle Fälle zu finden, wo mein gewähltes Divisor-/automatisches Verfahren (ich teile einfach die Standard-gerundeten Idealquoten zu) mal nicht die Quote erfüllt. Ich glaube, wenn die Verhältnisse von Gesamtstimmenzahl zu Gesamtsitzzahl und von Gesamtsitzzahl zu (effektiver) Parteienzahl beide groß sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit von Quotenbrüchen sehr gering. — Markus Prokott (Diskussion) 20:46, 13. Jun. 2012 (CEST)

Ungenauigkeit im Beweis

Habe übrigens im (hiesigen) Artikel am Ende des Beweises gelesen, K müsse durch 6 teilbar sein, damit Quoten wie 1/2 und 1/3 möglich seien. Müsste das nicht eigentlich heißen, K müsse durch 3 teilbar sein, damit Quoten wie 1/2 und 2/3 möglich seien? — Markus Prokott (Diskussion) 09:53, 9. Jun. 2012 (CEST)

Ich habe diesen Teil mal von der obigen Diskussion abgetrennt. Ich glaube, dass der Beweis und auch schon der Abschnitt mathematische Darstellung gleich einige Ungenauigkeiten aufweist, z.B. erscheint mir die Definition der Monotonie nicht diejenige zu sein, welche Balinski und Young verwendet haben - oder die Formulierung ist zumindest ungenau gewählt. Der Artikel müsste wohl anhand der Originalquelle komplett überarbeitet werden. --Arno Nymus (Diskussion) 18:00, 9. Jun. 2012 (CEST)

Ich habe den Beweis gestern mal gründlich durchgearbeitet, gerade weil auch mir dieses Monotoniekriterium seltsam vorkam. Genauergesagt, fand ich da müsste bei dem Term mit den m's ein und- und kein oder-Symbol stehen. Aber das Krit. hat sich sowohl im Beweis als auch in anderen Beispielen als passend erwiesen. Im Beweis insgesamt konnte ich auch keinen Fehler (außer den angesprochenen) finden. Auch alle bloßen Rechenergebnisse, wie das 1/61, sind korrekt.

Habe allerdings zwischenzeitlich ein original englisches Zitat des Satzes irgendwo im Internet gelesen und da hieß es "There is no method ..." – ein engliches Wort oder eine Umschreibung für Sitzzuteilungsverfahren kommt so nicht in dem Satz vor. Dummerweise scheinen die meisten der Verwender dieses Satzes (vor allem in nicht-exakt-mathematischen Zusammenhängen) nicht den angemessenen Umgang mit Zitaten von Sätzen aus Mathematik-Büchern zu kennen. Wenn ein Mathematiker in einem Mathe-Buch sowas ließe wie: "es gibt kein ...verfahren" oder: "there is no method", dann würde er als erstes immer mal nachschauen, wie genau dieser Terminus vorher eigentlich definiert wurde. Denn mit dem umgangssprachlich naheliegenssten Sinn oder mit der allgemeinen, nie so genau eingrenzbaren Bedeutung des Begriffes deckt sich das tatsächlich Gemeinte regelmäßig nicht. Deshalb glaubt jetzt auch alle Welt, es gäbe "kein Sitzzuteilungsverfahren, dass ..." usw. — alle außer höchstwahrscheinlich die, die das Buch gelesen haben. — Markus Prokott (Diskussion) 02:18, 10. Jun. 2012 (CEST)

P.S.: Bzgl. Monotonie hatte ich noch eine Unklarheit entdeckt. Vllt. ist es die, die du meinst: Bei Wahlrecht.de (an versch. Stellen) und im Art. Wählerzuwachsparadoxon steht, dass dieses Paradoxon bedeutet, dass Stimmenveränderungen bei einer Partei zu Mandatswanderungen bei zwei anderen Parteien führen. Bei Wahlrecht.de steht sogar nachdrücklich, dass es bei diesem Paradoxon im Unterschied zu anderen gerade um die Wirkung einer Partei auf zwei andere gehe. Das ist aber aus der Definition im vorliegenden Artikel zunächst mal nicht abzulesen. Wenngleich ich nicht ausschließen kann, dass sich das aus der Definition in Verb. mit anderen Eigenheiten eines Sitzzuteilungsverfahrens letztlich schließen ließe. Klar ist wohl, dass es zu dieser Wechselwirkung zwischen drei Parteien kommen kann und dass das unbestreitbar die paradoxeste Variante dieses Paradoxons wäre. Was wäre aber, wenn man bei einem vorgegebenen Wahlausgang alle Stimmenanteile außer denen von zwei Parteien festhielte und diese zwei dann variierte. Könnte es dann auch (ohne dass es zu Mandatswanderungen bei den anderen Parteien kommt) noch zwischen diesen beiden zu paradoxen Mandatswanderungen kommen? Also z.B. Partei A und B werden variiert und A verbessert sich ggü. B, trotzdem verliert A einen Sitz an B. — Markus Prokott (Diskussion) 03:20, 10. Jun. 2012 (CEST)

Also z.B. sollte für die Monotonie-Bedingung konkret beschrieben werden, dass sie nur in Fällen zieht, wenn sich zwar zwischen zwei Parteien etwas ändert, die Stimmzahlen der anderen Parteien aber unverändert bleiben. Ich muss mir allerdings den Originalbeweis erst noch mal genauer anschauen, um sicher zu gehen. Bis ich das nicht getan habe, werde ich mich bei diesem Abschnitt heraushalten. --Arno Nymus (Diskussion) 10:18, 11. Jun. 2012 (CEST)

Ich würde mal denken, dass die Fixierung der anderen Parteien gerade nicht nötig ist. Im Beispiel des Wählerzuwachsparadoxons ist es gerade so, dass sich bei den beiden Parteien, für die die Bedingung geprüft wird, nichts an ihren absoluten Zahlen ändert. Es ändern sich die Stimmen einer dritten Partei, bewirken dann aber paradoxe Sitzwanderungen bei zwei anderen Parteien. Ich denke, das oder-Zeichen im m-Term ist hierfür ein entscheidender Punkt. — Markus Prokott (Diskussion) 22:37, 11. Jun. 2012 (CEST)

Vermutlich hast Du recht, es erscheint mir halt als eine stärkere Bedingung als zur Vermeidung des Wählerzuwachsparadoxons notwendig, aber bevor ich darauf weiter eingehe, sollte ich die originale Formulierung des Beweises anschauen, um zu sehen, was genau in der ursprünglichen Form tatsächlich bewiesen wurde.

ad kleiner Revert zu "gleichbedeutend". Hierzu ein Gegenbeispiel mit dem "monotonen" Sainte-Laguë:

(I) s=(26,14,16) bei Divisor 10 -> m=(3,1,2); also $\textstyle {\frac {s_{1}}{s_{2}}}={\frac {13}{7}},{\frac {m_{1}}{m_{2}}}=3$

(II) s=(32,17,16) mit Divisor 11 -> m=(3,2,1); also $\textstyle {\frac {s'_{1}}{s'_{2}}}>{\frac {13}{7}},{\frac {m'_{1}}{m'_{2}}}=1,5$

Von (I) zu (II) wird der Quotient ${\tfrac {s_{1}}{s_{2}}}$ größer und $m_{1}$ wird zumindest nicht kleiner, so dass die Pop-Monotonie (wie sie im Artikel steht) erfüllt ist.

Der Quotient ${\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}$ wird jedoch kleiner, weswegen die Aussage hinter "gleichbedeutend" nicht erfüllt ist. --Arno Nymus (Diskussion) 00:21, 13. Jun. 2012 (CEST)

Du hast schon recht, dass ich falsch lag. Habe es mal aufm Papier durchgerechnet und eindeutig bewiesen, dass eine Äquivalenz hier nicht vorliegt. Ich finde diese Formel schon ziemlich tiefgründig und es fällt mir total schwer sie gänzlich in meinen Kopf zu kriegen. — Markus Prokott (Diskussion) 20:11, 13. Jun. 2012 (CEST)