Diskussion:Weierstraß-Funktion

Wiener-Metrik ?

Im letzten Abschnitt taucht dieser Begriff auf, sie wird als klassische Metrik auf C[0,1] bezeichnet. Weiß jemand was das ist? --χario 14:08, 24. Sep. 2008 (CEST)

Die Aussage ergibt eigentlich nur Sinn, wenn eigentlich Wiener-Maß gemeint ist. Bezüglich einer Metrik $\gamma$ spricht man für gewöhnlich nicht von einer $\gamma$-Nullmenge. Wie sollte man das auch definieren? -- Christian Jaeh 16:31, 27. Mai 2011 (CEST)

Unterschied zum Artikel Stetigkeit

Im Artikel Stetigkeit wird die Weierstraßfunktion zwar gleich wie hier definiert, aber es wird gefordert, dass der Faktor a im Kosinusargument, hier im Artikel b genannt (a und b sind vertauscht) ungerade ist. Außerdem wird gefordert, dass das gilt $ab>2+{\frac {3}{2}}\pi ,\!\,$ wohingegen hier im Artikel die Einschränkung $ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .\!\,$

Leider finde ich nicht mal im Bronstein eine Definition der Weierstraßfunktion, sodass ich keine Ahnung habe, was richtig ist. --Telli [Diskussion] 19:57, 9. Nov. 2009 (CET)

Ich denke, man sollte im Artikel erklären, wie es zu dieser Einschränkung kommt, dann kann man sie vielleicht auch nachvollziehen und entscheiden, was richtig ist. --Jobu0101 15:15, 11. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe mal eben in den englischen Artikel geschaut. Dort steht ebenfalls $ab>1+{\frac {3}{2}}\pi \,$, weiter unten im Fließtext findet sich dann noch die Anmerkung, dass Hardy die Nichtdifferenzierbarkeit für $ab\geq 1$ zeigen konnte. Der deutsche Artikel krankt hier extrem an Quellen! --Christian1985 16:03, 11. Jul. 2010 (CEST)

Entweder Quellen oder einer kleiner Beweis, das sollte in der Mathematik auch ausreichen, ist sogar sinnvoller, zu zeigen, woran es liegt. --Jobu0101 22:54, 11. Jul. 2010 (CEST)

Beweis nicht differenzierbar

Irgendwie fehlt im Artikel der Beweis dafür, dass sie nicht differenzierbar ist. --Jobu0101 15:13, 11. Jul. 2010 (CEST)

Bedingung für ab

Dort steht ja:

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi$

Das scheint uns noch nicht so klar zu sein, warum das so sein muss. Ich habe aber eine schwächere Bedingung gefunden. Wir haben ja:

$f_{n}(x)=a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\,$

Diese ganzen $f_{n}$ werden dann summiert. Klar ist, dass die Summe für $|a|<1$ gleichmäßig konvergiert. Schauen wir uns nun einmal die Ableitungen an:

$f_{n}'(x)=-a^{n}b^{n}\pi \sin(b^{n}\pi x)\,$

Die Ableitungen konvergieren auch gleichmäßig, wenn $|ab|<1$. Wir sollen aber eine Funktion erhalten, die nicht differenzierbar ist, also wissen wir:

$|ab|\geq 1$

Was meint ihr dazu? --Jobu0101 09:22, 12. Jul. 2010 (CEST)

Du hast nun bewiesen, dass die Reihe für |ab|< 1</math> differenzierbar ist. Aber der Satz, den Du verwendet hast, ist keine genau dann Aussage. Wir wissen also nur, dass die Bedingung $|ab|\geq 1$ notwendig ist, aber ob sie auch hinreichend ist, können wir nicht sagen. Ich vermute mal, dass der Beweis nicht so einfach ist, sonst hätte Weierstraß diesen wohl auch selbst gefunden. Ich habe leider glaube ich auch keine Literatur hier, welche weiterhelfen könnte. --Christian1985 11:57, 12. Jul. 2010 (CEST)

Richtig. Das ist und war mir bewusst. Ich habe nicht gezeigt, dass es für $|ab|\geq 1$ nicht differenzierbar ist. Ich habe nur gezeigt, dass es für $|ab|<1$ differenzierbar ist. --Jobu0101 16:45, 12. Jul. 2010 (CEST)

Ich sehe gerade, dass du oben geschrieben hast, dass Hardy die Nichtdifferenzierbarkeit für $ab\geq 1$ zeigen konnte. --Jobu0101 22:28, 12. Jul. 2010 (CEST)

Ich werde mal die Tage schauen, ob ich einen Beweis finde und ob dieser nicht zu lang für Wikipedia ist. Aber der Artikel krankt auch noch extrem an seinem Aufbau. Direkt nach der Definition kommt eine andere Definition, welche erst verständlich wird, wenn man weiß, dass Hardy die Nichtdifferenzierbarkeit für $|ab|\geq 1$ bewiesen hat. Dann sollten vllt die Reihen genannt werden, welche in den Originalarbeiten verwendet wurden und eine kurze Anmerkung, warum die Reihe für |ab|<1 diffbar ist, würde auch nicht schaden. --Christian1985 00:03, 13. Jul. 2010 (CEST)

Genau, das sehe ich auch so. --Jobu0101 09:24, 13. Jul. 2010 (CEST)

Historische Bedeutung

"Historisch gesehen liegt ihre Bedeutung darin, dass sie das erste publizierte Beispiel ist, das die übliche Meinung änderte, dass jede stetige Funktion differenzierbar bis auf eine Menge isolierter Punkte sei." Also im Königsberger (Analysis 1, 6. Auflage, S.168) steht, dass Bolzano bereits einige Jahrzehnte vor Weierstraß eine Funktion mit diesen Eigenschaften konstruierte. --84.144.231.143 09:38, 24. Mär. 2011 (CET)

Ich würde den Satz über die historische Bedeutung auch umformulieren. Es wäre besser zu schreiben, daß es das erste Beispiel ist, das von der Fachwelt wahrgenommen wurde. Siehe dazu: http://www.springerlink.com/content/n8042q1q43225120/ Bolzano war historisch definitiv der erste (1834), der eine nirgends differenzierbare Funktion publizierte. Allerdings hat er wohl keinen vollständigen Beweis der Nicht-Differenzierbarkeit geliefert. -- Christian Jaeh 16:21, 27. Mai 2011 (CEST)

Nun dann seid mutig! --Christian1985 (Diskussion) 16:29, 27. Mai 2011 (CEST)

Vorschlag zu einem anschaulichen Erklaerungsversuch

"Im Kleinen wird alles linear" (Unbekannter mathematischer Physiker)

Wenn man also in den Graphen einer differenzierbaren Funktion von einem Punkt aus ausgehend immer weiter reinzoomt, dann sieht man etwas, das sich immer mehr einem Geradenstueck annaehrt und schliesslich von einem solchen visuell nicht mehr zu unterscheiden ist. Das entspricht dem vorangestellten Motto und ist, was jeder Physiker oder Ingenieur meint, wenn er etwas wie dW = F * ds hinschreibt.

Eine nichtdiffernzierbare stetige Funktion ist also eine, auf die das nicht zutrifft, sie ist auf jeder Skala detailliert, d.h. sie naehrt sich _nicht_ einem Geradenstueck an, wenn man immer weiter reinzoomt.

Fraktale Kurven sind hier ein offensichtliches Bsp. Meistens sind es allerdings keine Funktionsgraphen, aber hier kann man abhelfen, vgl. Bolzanos Bsp.

Von den angegebenen Bsp. gefaellt mir persoenlich (in leichter Abwandlung) folgendes am besten:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(100^{n}\cdot 2\pi x)}{100^{n}}}$

Die Summanden sind Schwingungen mit Amplitude $100^{-n}$ und Wellenlaenge $100^{-n}$. Auf einer Skala von ~1 kann man keinen Unterschied zur Sinus-Kurve erkennen. Zoomt man ungefaehr um Faktor 100 rein, dann bleibt vom ersten Summanden nur noch ein Geradenstueck uebrig. Allerdings ist der zweite Summand jetzt auf der sichtbaren Skala, er ueberlagert eine sichtbare Schwingung. Das Spiel kann man immer weiter treiben: Geht man nochmal um Faktor 100 rein, dann bleibt von den ersten zwei Summanden nur noch ein Geradenstueck uebrig, aber jetzt sieht man die Schwingung, die der dritte Summand ueberlagert, usw., ad infinitum.

Wer Fourier-Reihen kennt, mag fragen, wo hier beschissen wird. Nirgends, der Trick ist, dass Amplitude und Wellenlaenge korreliert sind. Man muss natuerlich in x- und y-Richtung gleichmaessig reinzoomen, bzw. das beim Konstruieren eines Bsps. beruecksichtigen. Wenn die Amplitude schneller klein wird als die Wellenlaenge, dann wird das natuerlich glattgebuegelt, weshalb Fourier-Reihen sehr wohl auch gegen Glattes konvergieren koennen.

Zum Schluss noch eine Frage: Meine Erlaeuterungen scheinen ganz klar zu machen, warum ab <= 1 sein muss (a und b wie im Artikel). Warum steht im Bsp. 101 statt 100? (nicht signierter Beitrag von 80.187.96.171 (Diskussion) 00:22, 9. Jul 2012 (CEST))

Die Näherung aus einer Fourier-Entwicklung ist mir etwas unanschaulich. Ich stelle folgende Funktion als Beispiel zur Diskussion: Die Plissee-Funktion Zwischen x = 0 und x = 1 sei F(x) = 1/(2 hoch n) für x = m/(2 hoch n) und m ungerade, und F = 0 für m gerade. Und dazu die Verbindenden Linien. Diese Funktion ist stetig und hat einen Differenzenquotienten zwischen +1 und -1 . Sie nähert sich im Limes n >> unendlich F(x) = 0 und hat nirgends einen definierten Differentialquotienten. (Dok21fie)4.2.2018

N.B. Die Dirichlet-Funktion : y = 1 für x rational, und y = 0 für x irrational, ist weder Riemann- noch Lebesgue-integrabel. (Dok21fie)18.2.2018

Animation

Im Artiekl steht, dass die Funktion "mit 0 < a < 1 und b ∈ N ungerade definiert" wurde. Die Bildunterschrift der Animation sagt aber, "für festes a=0.5 steigt b linear von 0,1 nach 5". Bedeutet das, die Animation zeigt nur an den Zwischenschritten b=1 und b=3 und am Ende (b=5) eine Weierstraß-Funktion und ansonsten irgendetwas anderes? (nicht signierter Beitrag von 62.96.194.213 (Diskussion) 11:59, 28. Okt. 2019 (CET))